CHƯƠNG 3:

ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƯƠNG TỰ

Nội dung

7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC)
7.2 Giản đồ Bode
7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số
7.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s)
7.5 Mạch lọc Butterworth
7.6 Mạch lọc Chebyshev
7.7 Biến đổi tần số
7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo
7.9 Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:
B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc
lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực
tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ
0 đến ¥. Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp
ứng tần số của hệ LT – TT – BB.
Nhắc lại là với
)(th
, ta dùng ý niệm
)(
w
H
cho biến đổi Fourier và

H
.

7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB
Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng
của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng
st
etf =)( là hàm mủ không
dừng
st
esH )( . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là

stst
esHe )(Þ (7.1)
Đặt
w
j
s
±
=
vào hệ thức trên, ta có:

tjtj
esHe
ww
)(Þ
(7.2a)

tjtj
ejHe


[
]
)](cos)(cos
wwww
jHtjHt Ð+Þ
Nói khác đi, đáp ứng
)(ty
của hệ thống với ngõ vào coswt là
)](cos[)()(
www
jHtjHty Ð+= (7.5a)
Tương tự, đáp ứng với tín hiệu
)cos(
q
w
+
t
là
)](cos[)()(
wqww
jHtjHty Ð++= (7.5b)
Kết quả này có được khi cho
w
j
s
=
, chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ
(7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của
)(sH

)2010cos(15)305010cos(53
000
+=-+ ttx .
Rõ ràng thì )(
w
jH là độ lợi hệ thống, và đồ thị )(
w
jH theo w là hàm của độ lợi
hệ thống theo tần số w. Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự,
)(
w
jH
Ð
là đáp
ứng pha và đồ thị của của
)(
w
jH
Ð
theo w là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi
pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo w, còn gọi là đáp ứng tần số của hệ
thống. Ta thấy
)(
w
jH
có chứa thông tin của
)(
w
jH
và

).
Trong trường hợp này

5
1,0
)(
+
+
=
w
w
w
j
j
jH
Viết theo dạng cực

25
01.0
)(
2
2
+
+
=
w
w
w
jH
và

đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin.

(a) Khi tín hiệu vào
2,2cos)(
=
=
w
ttf
và

372,0
25)2(
01,0)2(
)2(
2
2
=
+
+
=jH00011
3,658,211,87
5
2
tan
1,0
2
tan)2( =-=

(b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 50
0
), thay vì tính các giá trị
)(
w
jH
và
)(
w
jH
Ð

như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình
7.1a khi w = 10. Các giá trị này là: 894,0)10(
=
jH
và
0
26)10( =Ð jH
Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số w = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần
biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 26
0
. Như
vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 50
0
) là
)2410cos(894,0)265010cos(894,0)(

sH

num=[1 5];
den=[1 3 2];
w=.1:.01:100;
axis([log10(.1)log10(100) -50 50])
[mag, phase, w]=bode(num, den, w);
subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag))
subplot(211),semilogx(w,phase) ¤

■ Thí dụ 7.2:
Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của
(a) khâu trễ lý tưởng T giây
(b) khâu vi phân lý tưởng
(c) khâu tích phân lý tưởng

(a) Khâu trễ lý tưởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54)

TjsT
ejHesH
w
w

=Þ= )()(
nên
TjHjH
www
-=Ð= )(1)( (7.6)
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng
(đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả

)
2/cossin
pwwww
+=- tt
. Do đó, biên độ sóng ra là w lần biên độ tín hiệu vào, tức là
biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số w. Hơn nữa, sóng ra có dịch pha p/2
so với sóng vào coswt. Do đó, đáp ứng pha là hằng (p/2) với tần số.
Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [
ww
=)( jH
],
nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị
nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần
có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có
ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng.

(c) Bộ tích phân lý tưởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56))

2/
11
)(
1
)(
p
www
w
j
e
j
j

-=
2
cos
1
sin
1
p
w
w
w
w
tt
. Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch
với w, và đáp ứng pha là hằng số (–p/2) theo tần số.
Do có độ lợi là 1/w, bộ tích phân lý tưởng triệt các thành phần tần số cao nhưng
lại tăng cường các thành phần tần số thấp có w < 1. Do đó, các tín hiệu nhiễu (nếu không
chứa các thành phần tần số rất thấp) sẽ bị bộ tích phân loại bỏ. ■

D
Bài tập E 7.1
Tìm đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB đặc trưng bởi
)(5)(23
2
2
tf
dt
df
ty
dt
dy

, thay vì
-¥
=
t
. Trường hợp này
)/(1)(
w
jssF
+
+
. Hơn nữa, phương trình (6.51) cho
)(/)()( sQsPsH
=
trong đó
)(sQ
là đa thức đặc tính cho bởi
)())(()(
21 n
ssssQ
lll
=
L
. Do đó

))(())((
)(
)()()(
21
wlll
jssss

jHsQsP
js
=
=
. Do đó,

å
=
-
+
-
=
n
i
i
i
js
jH
s
k
sY
1
)(
)(
w
w
l
,
Và
)()()()(

ejH
w
w
)( tồn tại mãi
mãi, còn được gọi là thành phần xác lập của đáp ứng, được cho bởi:
)()()( tuejHty
tj
ss
w
w
=
Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy khi hệ có ngõ vào sin nhân quả
t
w
cos
, đáp ứng xác lập được cho bởi:
)()](cos[)()( tujHtjHty
ss
www
Ð+= (7.10)
Tóm lại, )()](cos[)( tujHtjH
www
Ð+ là đáp ứng tổng với ngõ vào là sóng sin không
dừng
t
w
cos
, và còn được gọi là đáp ứng xác lập với cùng ngõ vào tại
0
=

÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø

bb
aa
K
sH (7.11b) ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç

j
j
a
j
a
j
bb
aa
K
jH
www
w
ww
w
(7.11b)

Phương trình cho thấy là
)(
w
jH
là hàm phức theo w. Đáp ứng biên độ )(
w
jH và đáp
ứng pha
)(
w
jH
Ð
là:


w
+++
++
= (7.12a)
Và
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++Ð-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+Ð-Ð-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è

www
w
ww
w
(7.12b)

Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm chỉ tổng của 3 dạng thừa số: (i) góc
pha của jw, lệch pha 90
0
với mọi giá trị của w. (ii) pha của thừa số bậc một
a
j
w
+1
, và
(iii) pha của các thừa số bậc hai.

÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
3
2
3
2

jH (dB). Các đồ thị (log biên độ và pha) dựng theo phương pháp gọi là
giản đồ Bode. Hàm truyền trong phương trình (7.12a) là biên độ theo log là: w
ww
w
j
a
j
a
j
bb
aa
K
jH log201log201log20log20)(log20
2131
21
-++++=

3
2
3
2
1
)(
1log201log20
b
j
b

1. Hằng số
3121
/ bbaka
Biên độ log của thừa số này cũng là hằng số, )/log(20
3121
bbaKa . Góc pha trong
trường hợp này là zêrô

2. Cực (hay zêrô) ở gốc
Biên độ theo log
Cực dạng này tăng theo thừa số
w
jlog20-
, có thể viết thành

ww
log20log20 -=- j
Hàm này được vẽ theo w. Tuy nhiên, có thể đơn giản hơn khi dùng tỉ lệ log cho biến w.
Định nghĩa biến mới u theo

w
log
=
u
(7.14)
Vậy
u20log20
-
=
-

w
u khi w = 1.
Trường hợp zêrô tại gốc, thừa số biên độ - log là 20logw. Đây là đường thẳng qua
1
=
w
và có độ dốc là 20dB/decade (hay 6dB/octave). Đường thẳng này là ảnh phản
chiếu qua trục w của đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn trong hình 7.3a.

Pha
Hàm pha tương ứng với cực tại gốc là
w
j
Ð
-
(xem phương trình 7.12b). Do đó:

0
90)( -=-Ð=Ð
ww
jjH
(7.15b)
Pha là hằng số (- 90
0
) với mọi w, vẽ trong hình 7.3b. Khi zêrô ở gốc, góc pha là
0
90=Ð

è
æ
-»+-
aa
j
ww
log201log20
(7.17a)

alog20log20
+
-
=
w
(7.17b)

au log2020
+
-
=

Đây là đường thẳng (khi vẽ theo u, là log của w) với độ dốc là
decadedB /20
-

(hay
octavedB /6
-
). Khi
a

è
æ
+-=+-
2
2
2
1
2
2
1log101log201log20
aaa
j
www
(7.18)
Hàm log chính xác còn được vẽ trong hình 7.4a. Quan sát thấy đồ thị thực và đồ thị tiệm
cận rất gần nhau. Sai số 3dB xuất hiện tại
a
=
w
. Tần số này gọi là tần số góc hay tần số
gãy. Sai số tại các điểm khác đều nhỏ hơn 3dB. Đồ thị sai số theo w vẽ trong hình 7.5a.
Hình này cho thấy sai số tại một octave phía trên hay dưới tần số góc là 1dB là sai số tại
hai octave là 0,3dB. Tìm đồ thị thực bằng cách cộng đồ thị sai số với đồ thị tiệm cận.
Đáp ừng biên độ là zêrô tại – a (đường gián đoạn trong hình 7.4a) tương tự với
trường hợp của cực tại – a với sự thay đổi dấu, và là ảnh phản chiếu (qua đường 0dB)
của đồ thị biên độ của cực tại – a.


1
»
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
a
w

Và khi w >> a,

01
90tan -»
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
a
w

Đồ thị thực cùng tiệm cận được vẽ trong hình 7/4b. Trường hợp này, ta dùng ba đoạn đồ
thị thẳng tiệm cận để có độ chính xác cao. Các tiệm cận là (i) góc pha

4. Cc (hay zờrụ) bc hai
Xột trng hp cc bc hai trong phng trỡnh (7.11a). Mu s l
32
2
bsbs ++ cú
dng chun l
22
2
nn
ss
wVw
++ , thỡ hm biờn log h bc hai trong phng trỡnh (7.13)
vit thnh:

2
21log20
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
++-
nn
j
w
w
w

V
(7.19b)
Biờn log
Cho bi
Biờn log =
2
21log20
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
++-
nn
j
w
w
w
w
V
(7.20)
Khi w << w
n
, biờn log thnh
Biờn log
01log20
=

w
log40log20
2
(7.22a)

n
w
w
log40log04 = (7.22b)

n
u
w
log4004 = (7.22c)
Hai tim cn l (i) zờrụ khi
n
ww
< v (ii)
n
u
w
log4004 = khi
n
ww
> . Tim cn th
hai l ng thng cú dc l
decadedB /40
-
(hay
octavedB /6

ỗ
ố
ổ
+
ỳ
ỳ
ỷ
ự
ờ
ờ
ở
ộ
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ

nn
w
w
V
w
w
(7.23)
Rừ rng, biờn log trong trng hp ny bao hm tham s z, vi tng giỏ tr ca
z, ta cú cỏc th khỏc nhau. Trng hp cú cc phc liờn hp, z < 1. Do ú, ta phi v

ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=Ð
-
2
1
1
2
tan)(
n
n

jH

Do đó, pha
0
180-®
khi
¥
®
w
. Trường hợp biên độ ta có họ các đồ thị với nhiều giá
trị khác nhau của z, vẽ trong hình 7.6b. Các đồ thị thích hợp cho pha trong trường hợp có
cực phức liên hợp là hàm bước có giá trị
0
0
khi
n
ww
< và
0
180-
khi
n
ww
> . Đồ thị sai
số trong trường hợp này vẽ trong hình 7.7 với các giá trị khác nhau của z. Đáp ứng pha
thực là trị tiệm cận cộng với sai số.
Trường hợp có zêrô là phức liên hợp, đồ thị biên độ và pha là ảnh phản chiếu
của trường hợp cực phức liên hợp. Xem hai thí dụ dưới đây về ứng dụng của các kỹ thuật
vừa nêu.


++
+
=
++
+
= (7.25)
Thừa số hằng số là 100 tức là 40 dB (20log100 = 40). Thừa số này là đường thẳng 40 dB
(xem hình 7.8a), tức là ta dời trục ngang lên 40 dB
Ngoài ra, còn có hai cực bậc một tại – 2 và – 10, một zêrô tại gốc, và một zêrô tại
– 100.

Bước 1: Vẽ đồ thị tiệm cận cho từng thừa số (xem hình 7.8a):
(i) Với giá trị zêrô tại gốc, vẽ đường thẳng với độ dốc 20dB/decade qua
1
=
w
.
(ii) Với cực tại – 2, vẽ đường thẳng độ dốc – 20dB/decade (khi
2
>
w
), bắt đầu từ
tần số góc
2
=
w
.
(iii) Với cực tại – 10, vẽ đường thẳng độ dốc – 20dB/decade, bắt đầu từ tần số góc
10
=

=
w
là – 1 dB.
(ii) Hiệu chỉnh tại
2
=
w
do các tần số góc tại
2
=
w
là – 3 dB và do tần số góc tại
10
=
w
là – 0, 17dB. Do tần số góc tại
100
=
w
có thể bỏ qua (xem hình 7.5a).
Do đó, hiệu chỉnh tại
2
=
w
là – 3,17 dB.
(iii) Hiệu chỉnh tại
10
=
w
do các tần số góc tại

và
5
=
w
(do các tần số góc tại
2
=
w
và
10
=
w
) đều là
– 1, 75dB.

Dùng các hiệu chỉnh này đồ thị biên độ được vẽ trong hình 7.8a

Đồ thị pha
Ta vẽ các tiệm cận tương ứng với mỗi trong 4 thừa số
(i) Zêrô tại gốc tạo dời pha
0
90

(ii) Cực tại
2
-
=
s
làm tiệm cận tăng
decade/45

có tiệm cận zêrô trong khoảng
1
<
<
¥
-
w
và độ dốc
decade/45
0
-
, từ
1
=
w
tăng đến
100
=
w
. Giá trị tiệm cận khi
100
>
w
là
0
90-
.
(iv) Zêrô tại
100
-

■■ Thí dụ 7.4:
Vẽ đáp ứng biên độ và pha (giản đồ Bode) cho hàm truyền

10050
1
100
1
10
1002
)100(10
)(
2
2
ss
s
ss
s
sH
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=


Bước 1. Vẽ tiệm cận
decadedB /40
-
(
octavedB /12
-
) bắt đầu từ
10
=
w
cho cặp
cực phức liên hợp, và vẽ đường tiệm cận khác
decadedB /20
, từ
100
=
w
cho zêrô
(thực).
Bước 2. Cộng tất cả các tiệm cận tại
100
=
w

Bước 3: Hiệu chỉnh tại tần số góc
100
=
w
, với 3dB. Bỏ qua hiệu chỉnh tại tần số góc

decade/45
0
, tại
10
=
w
và
100
=
w
lần
lượt là
0
0
và
0
90
. Cộng hai tiệm cận cho ta đường răng cưa tại hình 7.9b. Áp dụng hiệu
chỉnh từ hình 7.7b và hình 7,5b để có đồ thị chính xác. ■

• Thí dụ dùng máy tính C7.2
Giải thí dụ 7.3 và 7.4 dùng m-file trong MATLAB.

Có thể vẽ đáp ứng tần số theo nhiều cách khác nhau. Để vẽ giàn đồ Bode, tốt nhất nân
dùng bode.m, như trong thí dụ minh họa sau.

% Thí dụ C7.2
Num=[20 2000 0]; den=[1 12 20];
bode(num,den)
% Thí dụ C7.4

ç
è
æ
+=-=+
aa
j
a
j
www Do đó, đồ thị biên độ log giữ nguyên khi có các zêrô nằm bên phải hay bên trái
mặt phẳng phức. Tuy nhiên, góc pha của zêrô nằm bên phải mặt phẳng phức là: ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+= Ð=-Ð

wVw
+-
tăng,
tương tự thừa số
22
2
nn
ss
wVw
++
với sự thay đổi dấu của z. Do đó, theo các phương trình
(7.23) và (7.24) thì biên độ là giống nhau, nhưng góc pha đối dấu nhau giữa hai thừa số. 7.2-1 Tìm hàm truyền từ đáp ứng tần số
Trong các phần trước, ta có trước hàm truyến hệ thống, từ đó phát triển các kỹ thuật
để xác định đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Ta cũng có thể làm ngược các bước để
xác định hàm truyền của hệ thống khi biết được đáp ứng hệ thống với ngõ vào sin. Bài
toán này rất hữu ích trong thực tế. Nếu ta có hệ thống trong dạng hộp đen với các ngõ vào
và ngõ ra, ta có thể xác định được hàm truyền thông qua đo lường thực nghiệm tại các
ngõ vào và ngõ ra. Đáp ứng tần số với ngõ vào sin là một trong những khả năng hấp dẫn
do từ bản chất đơn giản của phép đo. Chỉ cần đưa tín hiệu sin vào và quan sát ngõ ra, ta
tìm được độ lợi biên độ )(
w
jH và dời pha tại ngõ ra
)(
w

dạng hữu tỷ. Hệ thống có chứa khâu trễ lý tưởng (khâu chết) là thí dụ của hệ không hữu
tỷ.
Trong các trường hợp này, ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ vòng hở theo kinh
nghiệm và dùng dữ liệu để thiết kế hệ vòng kín. Phần này thảo luận về phương pháp thiết
kế hệ thống phản hồi từ mô tả của đáp ứng tần số. Tuy nhiên, phương pháp thiết kế dùng
đáp ứng tần số thì cũng không thích hợp như phương pháp thiết kế trong miền thời gian
theo quan điểm về các đặc tính sai số quá độ và xác lập. Do đó, phương pháp thiết kế
dùng đáp ứng tần số trong phần 6.7 và phương pháp đáp ứng tần số cần được xem là các
phương pháp hỗ trợ và bổ sung cho nhau, chứ không cạnh tranh nhau.
Thông tin về đáp ứng tần số có thể giới thiệu trong nhiều dạng mà giản đồ Bode là
một. Còn dạng thông tin khác như đồ thị Nyquist còn gọi là đồ thị dạng cực hay đồ thị
Nichols còn được biết là phương pháp biên độ log theo đồ thị góc. Phần này chỉ thảo luận
về kỹ thuật dùng giản đồ Bode và Nyquist. Hình 7.10b vẽ đồ thị Bode cho hàm truyền hệ
vòng hở
)4)(2(/
+
+
sssK
khi
24
=
K
. Thông tin này còn được vẽ theo dạng cực trong
đồ thị Nyquist trong hình 7.10c. Thí dụ, tại
1
=
w
, 6,2)( =
w
jH và

. Thực hiện với nhiều giá trị của w từ w = 0 đến ¥, rồi nối đường
cong giữa các điểm này để có đồ thị Nichols. Dùng giản đồ Bode hay Nyquist (hay
Nichols) vẽ hàm truyền vòng hở, ta nghiên cứu được tính ổn định của hệ vòng kín tương
ứng.

7.3-1 Ổn định tương đối: biên độ lợi và biên pha.
Trong hệ thống ở hình 7.10a, phương trình đặc tính là
0)()(1
=
+
sHsKG
và nghiệm
đặc tính là
1)()(
-
=
sHsKG
. Hệ thống không ổn định khi quỉ đạo nghiệm xuyên qua bên
phải mặt phẳng phức. Giao điểm xuất hiện trên trục ảo với
w
j
s
=
(xem hình 6.43). DO
đó, hệ thống ở biên ổn định: p
ww
j

phức khi K > 48. Khi K <48, hệ thống ổn định. Xét trường hợp K = 24. Hình 7.10b vẽ
giản đồ Bode khi K =24. Gọi
p
w
là tần số mà đồ thị pha xuyên qua
0
180-
(tần số đảo
pha: the phase crossover frequency). Quan sát thấy tại
p
w
, độ lợi là 0,5 hay
dB6
-
.
Điều nay cho thấy độ lợi K sẽ tăng đôi (đến trị 48) để có độ lợi đơn vị, và ở biên ổn
định. Do đó, ta nói hệ thống có ngưỡng độ lợi
dB
M
6=
a
. Mặt khác, nếu gọi
g
w
là tần số
để có độ lợi đơn vị hay 0 dB (tàn số đảo độ lợi: the gain crossover frequency), cho nên ,
tại tần số này, pha vòng hở là
0
5,157- . Góc pha phải giảm từ giá trị này xuống
0

không ổn định. Khi K > 48, đồ thị xuyên qua và đi qua điểm – 1. Do đó, điểm tới hạn –
1 nằm bên trong đường cong, tức là đường cong bao điểm tới hạn – 1. Khi đồ thị Nyquist
của hệ vòng hở bao điển tới hạn – 1, thì hệ vòng kín tương ứng trở thành không ổn định.
Điều này là dạng đơn giản của tiêu chuẩn Nyquist. Đồ thị Nyquist vẽ trong hình 7.10b
(khi K =24), độ lợi cần phải tăng đôi trước khi hệ thống trở thành không ổn định. Do đó,
dự trữ độ lợi trong trường hợp này là 2 (6 dB). Nói chung, nếu đồ thị Nyquist xuyên qua
trục thực âm tại
m
a
- , thì dự trữ độ lợi là
m
a
/1 . Tương tự, nếu
m
qp
+- là góc tại đó đồ
thị Nyquist xuyên qua vòng tròn đơn vị, thì dự trữ pha là
m
q
, trường hợp này
0
5,22=
m
q
.
Để bảo vệ hệ thống không bị mất ổn định do thay đổi các tham số hệ thống (hay môi
trường), hệ thống cần được thiết kế với độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha hợp lý. Độ dự
trữ bé cho thấy các cực của hệ vòng kín nằm bên trái mặt phẳng phức, nhưng rất gần trục
jw. Đáp ứng quá độ của hệ thống loại này sẽ có độ vọt lố lớn. Mặt khác, độ dự trữ biên
độ (dương) và dự trữ pha rất lớn có thể cho thấy hệ đáp ứng chậm. Thường ta nên chọn

, cho thấy độ ổn định tương đối của hệ thống. Đáp
ứng đỉnh càng cao thường cho trị z nhỏ (xem hình 7.6a), làm cho cực tiến gần đến trục
ảo, làm độ ổn định tương đối giảm. M
p
càng lớn tức là độ vọt lố PO càng lớn. Thường trị
chấp nhận được của M
p
trong thực tế từ 1,1 đến 1,5. Tần số 3dB
w
b
của đáp ứng tần số
cho thấy tốc độ của hệ thống. Ta có thể chứng tõ là
w
b
và t
r
là tỉ lệ nghịch. Do đó,
w
b

càng cao thì t
r
càng bé (đáp ứng càng nhanh). Đối với hệ bậc hai trong phương trình
(6.81), ta có:

22
2
2)(
)(
nn

np( )
[
]
2
1
242
24421 +-+-=
VVVww
nb
(7.27)
Các phương trình này cho phép ta tìm z và
w
n
từ M
p
và
w
p
. KIến thức về z và
w
n
giúp ta
xác định các tham số quá độ, như độ vọt lố PO, t
r
và t
s
theo các phương trình (6.83),

)(
)(
sKG
sKG
sT
+
=
)(1
)(
)(
w
w
w
jKG
jKG
jT
+
=
Gọi
)(
)(
wa
w
j
MejT = và
)()()(
w

÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
M
M
y
M
M
x

Đây là phương trình vòng tròn có tâm tại
ú
û
ù
ê
ë
é
-
- 0
1
2
2
M
M

truyền vòng kín là 1,3.
Để có đáp ứng tần số vòng kín, ta đặt chồng lên các đường mức đồ thị Nyquist của
hàm truyền hệ vòng hở
)(
w
jKG
. Với từng điểm của
)(
w
jKG
, ta xác định được giá trị
tương ứng của M, đáp ứng biên độ hệ vòng kín. Từ đường mức tương tự của hằng số a
(đáp ứng pha của hệ vòng kín), ta xác định đáp ứng pha của hệ vòng kín. Vậy, tìm được
đáp ứng tần số chung của hệ vòng kín từ đồ thị này. Ta chủ yếu quan tâm đến việc tìm
M
p
, trị đỉnh của M và
w
p
, tần số mà M
p
xuất hiện. Hình 7.12b cho thấy phương thức xác
định các trị này. Vòng tròn mà đồ thị Nyquist tiếp tuyến tương ứng với M
p
, và tần số
tương ứng là
w
p
. Đối với hệ thống có đồ thị Nyquist vẽ trong hình 7.12b, thì M
p

p
tương ứng. Nếu điều này chưa đủ, ta cần xem xét một số dạng bù như
mạng trễ và sớm. Dùng máy tính, ta có thể quan sát được ảnh hưởng của các dạng bù đặc
thù cho M
p
và
w
p
.