ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Nguyễn Hữu Việt
ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Hà Tiến Ngoạn
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Phép biến đổi Laplace 5
1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường . . . 5
1.1.1. Định nghĩa hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . 6
1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace . . . . . 8
1.1.4. Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc . . . . . . 12
1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . 14
1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . 17
1.2. Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1. Định nghĩa hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3. Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng 20
1.3. Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach . . 20
1.4. Biến đổi Laplace với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1. Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS - TS Hà Tiến Ngoạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành
kính nhất đến thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học
mà thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên em trong suốt quá
trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các các thầy
cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái
Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại
học Sư phạm Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và làm luận văn này.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban
Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang -
Hà Giang đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được
sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
Học viên
Nguyễn Hữu Việt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
Luận văn trình bày tổng quan cơ sở phép biến đổi Laplace đối với các
hàm số một biến t xác định trên nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu
hạn và phụ thuộc vào tham số vectơ x.

3) f(t) không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → +∞. Nghĩa là tồn tại
M > 0, σ
0
> 0 sao cho
|f(t)| ≤ Me
σ
0
t
, ∀t > 0, (1.1)
trong đó σ
0
được gọi là chỉ số tăng của f(t).
Rõ ràng σ
0
là chỉ số tăng thì mọi số σ
1
> σ
0
cũng là chỉ số tăng.
Ví dụ 1.1. Hàm bước nhảy đơn vị
η (t) =

0 nếu t < 0
1 nếu t ≥ 0
là hàm gốc vì η(t) liên tục với mọi t ≥ 0 và không tăng nhanh hơn hàm
mũ với chỉ số tăng σ
0
= 0.
Ví dụ 1.2. Các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = t
m

0
e
−pt
f (t) dt
xác định với mọi số phức p = σ + iτ sao cho σ > σ
0
và lim
Re(p)→∞
F (p) = 0.
Hơn nữa hàm biến phức F (p) là giải tích trong miền Re(p) > σ
0
với đạo
hàm
F

(p) =
+∞

0
(−t)e
−pt
f (t) dt. (1.3)
Chứng minh. Với mọi p = σ + iτ sao cho σ > σ
0
ta có


f (t) e
−pt


|dt =
+∞

0


f (t) e
−σt
e
−iτt


dt =
+∞

0
|f (t) e
−σt
|dt

+∞

0
Me
(σ
0
−σ)t
dt =
Me
(σ

−pt
dt hội tụ và tích phân
+∞

0
∂
∂p

f(t)e
−pt

dt =
+∞

0
f(t)e
−pt
(−t)dt
hội tụ đều trong miền {p|Re(p)  σ
1
} với mọi σ
1
> σ (theo Định lý
Weierstrass).
Suy ra hàm ảnh F (p) có đạo hàm
F

(p) =
+∞





+∞
0
=
1
p
Ví dụ 1.4. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là
F (p) = L{t}(p) =
+∞

0
e
−pt
tdt =
1
p
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Ví dụ 1.5. Cho hàm f(t) = t
n
, biến đổi Laplace của f(t) là
F (p) = L{t
n
}(p) =
+∞

0

0
e
−pt
sin tdt.
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được
F (p) = −cos te
−pt


+∞
0
−
+∞

0
pe
−pt
cos tdt
= 1 −

pe
−pt
sin t|
+∞
0

− p
2
+∞


e
−pt
[Af(t) + Bg(t)]dt = A
+∞

0
e
−pt
dt + B
+∞

0
e
−pt
dt = AF (p) + BG(p).
Thay vào trên ta có
L{Af(t) + Bg(t)}(p) = AF (p) + BG(p).
Ví dụ 1.8.
L{6 + 7 sin t}(p) = 6L{1}(p) + 7L{sin t}(p) =
6
s
+
7
1 + s
2
.
Tính chất 1.2. Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng.
Nếu F (p) = L{f(t)}(p) thì với mọi hằng số λ > 0 ta có
L{f(λt)}(p) =
1

0
e
−
p
λ
t
1
f(t
1
)dt
1
=
1
λ
F (
p
λ
).
Ví dụ 1.9.
L{sin ωt}(p) =
1
ω
1
(p/ω)
2
+ 1
=
ω
p
2

at
t}(p) =
1
(p − a)
2
.
Tính chất 1.4. Phép biến đổi Laplace có tính trễ. Nếu τ là một hằng
số và F (p) = L{f(t)}(p) thì ta có
L{f(t − τ)}(p) = e
−pτ
F (p). (1.7)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có
L{f(t − τ)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f(t − τ)dt.
Đổi biến t
1
= t − τ ta được
+∞

0
e
−pt
f(t−τ)dt =
+∞


là F (p) =
1
p − 2
. Do đó ảnh của hàm f(t − 1) = e
2(t−1)
qua biến đổi
Laplace là
L{f(t − 1)}(p) = e
−p
F (p) =
e
−p
p − 2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Ví dụ 1.12. Hàm xung (impulse) là hàm chỉ khác 0 trong một khoảng
thời gian nào đó
f(t) =



0 nếu t < a
ϕ(t) nếu a < t < b.
0 nếu t > b
Hàm xung đơn vị trên đoạn [a,b] là
η
a,b
(t) =


f(t) = η(t) sin t − η(t − π) sin t = η(t) sin t + η(t − π) sin(t − π)
Vậy
L{f(t)}(p) =
1
p
2
+ 1
e
−πp
p
2
+ 1
=
1 + e
−πp
p
2
+ 1
Ví dụ 1.14. Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang
f(t) =











chất f(t) = 0 với ∀t < 0 thì ta có
L{f(t)}(σ + iτ) = F{e
−σt
f(t)}(τ), (1.8)
trong đó F{g(t)}(τ ) là biến đổi Fourier của g(t) thuộc L
1
(R) và được
xác định theo công thức sau
F{g(t)}(τ ) =
+∞

−∞
e
−itτ
g(t)dt.
Chứng minh. Thật vậy, với f(t) là hàm có tính chất f(t) = 0 với
∀t < 0 thì
L{(f(t)}(σ + iτ) =
+∞

−∞
e
−(σ+iτ)t
f(t)dt =
+∞

−∞
e
−iτt
(e


0
e
−pt
f

(t)dt = e
−pt
f(t)


+∞
0
−
+∞

0
f(t)(−pe
−pt
)dt = e
−pt
f(t)


+∞
0
.
Do |f(t)| ≤ Me
σ
0


(t)dt = pF (p) − f(0).
b. Đạo hàm cấp cao :
Định lý 1.3. Giả sử hàm f(t) có đạo hàm đến cấp n và f(t), f

(t),
f
(n)
(t) đều là các hàm gốc. Khi đó ta có
L{f
(n)
(t)}(p) = p
n
F (p) − p
n−1
f(0) − pf
(n−2)
f

(0) − − f
(n−1)
(0).
(1.10)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có
L{f
(n)
(t)}(p) =
+∞

0

(0).
Áp dụng công thức (1.9) liên tiếp như vậy thì cuối cùng ta được
L{f
(n)
(t)}(p) = p
n
F (p) − p
n−1
f(0) − pf
(n−2)
f

(0) − − f
(n−1)
(0).
1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập
a. Định nghĩa tích chập của hai hàm gốc.
Định nghĩa 1.3. Tích chập của hai hàm gốc f(t) và g(t) với t ≥ 0 là
hàm số được ký hiệu và xác định bởi công thức
(f ∗ g)(t) =
t

0
f(τ)gτ (t − τ)dτ. (1.11)
Ví dụ 1.15. Cho f(t) = 5 và g(t) = sin t, ta có :
(f ∗ g)(t) =
t

0
5 sin(t − τ)dτ = 5 cos(t − τ)|

)dτ
1
= (g ∗ f)(t).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ví dụ 1.16. Tính tích chập e
t
∗ t =
t

0
e
τ
(t − τ )dτ.
Tính tích phân bên vế phải bằng phương pháp tích phân từng phần ta
được
e
t
∗ t =
t

0
e
τ
(t − τ )dτ = t(e
t
− 1) − (te
t
− e
t

lặp lấy trong miền quạt G: 0 < arg(t + jτ) <
π
4
. Vì khi Re(p) > σ + 1
thì do tính chất của tích chập, tích phân lặp này hội tụ tuyệt đối. Do
vậy, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân.
+∞

0
e
−pt
dt
t

0
f(τ)g(t − τ)dτ =
+∞

0
f(τ)dτ
+∞

t
e
−pt
g(t − τ)dτ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Đổi biến t
1

+∞

0
e
−pτ
f(τ)dτ
+∞

0
e
−pt
1
g(t
1
)dt
1
= F (p)G(p).
Nghĩa là L{f ∗ g} = F (p)G(p).
Ví dụ 1.17.
L{t ∗ sin t} = L{t}L{sin t} =
1
p
2
1
p
2
+ 1
=
1
p

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên với nhau ta được
L{f(0)g(t)}+ L{f

∗ g} = f(0)G(p) + [pF (p) − f(0)]G(p) = pF (p)G(p)
⇒ L{f(0)g(t) + f

∗ g} = pF (p)G(p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược
Như ta đã biết, phép biến đổi Laplace biến một hàm gốc cho trước
thành một hàm ảnh. Trong mục này ta sẽ đi xét bài toán ngược lại. Tức
là cho trước hàm ảnh, ta sẽ đi tìm hàm gốc. Tuy nhiên, không phải hàm
nào cũng có thể là hàm ảnh được. Ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một
hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó.
a. Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược.
Định nghĩa 1.4. Cho hàm F (p), nếu tồn tại hàm gốc f(t) sao cho
L{f(t)}(p) = F (p) thì ta nói f(t) là biến đổi Laplace ngược của F (p) và
ký hiệu là
f(t) = L
−1
{F (p)}. (1.17)
Ví dụ 1.18. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là
F (p) = L{t}(p) =
+∞

0
e
−pt
tdt =

.
Công thức (1.18) được gọi là công thức nghịch đảo của Mellin. Ta
thừa nhận mà không chứng minh định lý trên.
c. Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược.
Định lý 1.6 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
biến đổi ngược. Chẳng hạn hàm F (p) = p
2
không thể là ảnh của hàm
gốc nào vì lim
Re(p)→∞
F (p) = ∞.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi
ngược.
Định lý 1.7. Giả sử hàm phức F (p) thoả mãn ba điều kiện sau :
i) F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re(p) > σ
0
.
ii) |F (p)| ≤ M
R
với mọi p thuộc đường tròn |p| = R và lim
R→∞
M
R
= 0.
iii) Tích phân
σ+i∞

σ−i∞

k
ϕ(t) trên K.
Tập D cùng với sự hội tụ trên được gọi là không gian các hàm cơ bản.
Định nghĩa 1.6. Gọi D

= D

(R) là tập gồm tất cả những phiếm hàm
tuyến tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản D. Tập D

cùng với
sự hội tụ yếu trong D

được gọi là không gian các hàm suy rộng. Trong
đó sự hội tụ yếu trong D

được định nghĩa như sau :
Dãy (f
n
)
n=1,2,
∈ D

được gọi là hội tụ về f ∈ D

(viết là f
n
→ f khi
n → ∞ trong D


n
⊂ K.
2) sup
K
|ϕ
n
(t)| → 0.
Ta có
|f, ϕ
n
| =







K
f(t)ϕ(t)dt






 sup
K
|ϕ
n

dt


1
p
< ∞. (1.21)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chứng minh. Ta có L
p
(R) ⊂ L
1
loc
(R), với mọi 1  p  ∞. Thật vậy
a) Trường hợp p = ∞. Hàm f(t) ∈
∞
(R), nên bị chặn đều trên R và
do đó là khả tích địa phương.
b) Trường hợp 1  p < ∞. Giả sử [a, b] là đoạn bất kỳ trên R. Với
hàm f(t) ∈ L
p
(R), theo bất đẳng thức Holder ta có
b

a
|f(t)|dt =
b

a
1.|f(t)|dt 

(R)
,
trong đó 1 ≤ p, q < +∞ và
1
p
+
1
q
= 1.
Do vậy f(t) khả tích trên [a, b].
1.2.3. Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng
a. Phép tính đạo hàm
Cho f ∈ D

, khi đó đạo hàm cấp k của f, kí hiệu là f
(k)
được định nghĩa
theo công thức sau
f
(k)
, ϕ = (−1)
k
f, ϕ
(k)
. (1.22)
b. Phép nhân với hàm khả vi vô hạn
Cho ψ(t) là hàm khả vi vô hạn trên R. Khi đó phép nhân hàm f ∈ D

với ψ(t) được định nghĩa theo công thức sau
ψ(t)f, ϕ = f, ψϕ. (1.23)

(t), ϕ = ϕ(0)a. (1.24)
Khi đó, δ
a
(t) ∈ D

(E).
1.4. Biến đổi Laplace với hàm suy rộng
1.4.1. Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compact
Định lý 1.8. (Định lý Paley-Wiener) Giả sử ϕ(t) ∈ D(R), trong đó
D(R) là tập các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên R, tức là với
mọi A > 0 thì
suppϕ ⊂ [−A, A] ⊂ R,
trong đó,
suppϕ = {t ∈ R; ϕ(t) = 0}.
Khi đó biến đổi Laplace
L{ϕ}(p) =
A

−A
e
−pt
ϕ(t)dt
xác định với mọi p ∈ C và là hàm giải tích trên C, hơn nữa với ∀N ∈ N,
∃C
N
> 0 sao cho
|L{ϕ}(p)| C
N
e
A|Re(p)|

sup
C
(e
−A|Re(p)|
(1 + |p|)
N
|F
n
(p)|) → 0, khi n → ∞.
Tập hợp L(D(R)) với sự hội tụ trên là không gian vectơ tôpô.
1.4.2. Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng
nhận giá trị trong không gian Banach
Như ta đã biết ở phần trước, biến đổi Laplace của một hàm f(t) được
xác định bởi công thức
L{f}(σ + iτ) =
+∞

0
e
−(σ+iτ)t
f(t)dt, (1.27)
trong đó σ + iτ là một biến phức (thường được ký hiệu là p).
Ta có thể mở rộng cận lấy tích phân ra toàn bộ trục thực bằng cách đặt
f(t) = 0 với ∀t < 0. Khi đó công thức (1.27) được viết lại như sau
L{f}(σ + iτ) =
+∞

−∞
e
−iτt

(E). Khi đó ta sẽ mở rộng
phép biến đổi Laplace cho các hàm suy rộng T ∈ D

+
(E).
Giả sử f(t) là hàm gốc thông thường và ϕ(t) ∈ D(R). Khi đó e
−σt
f(t) ∈
L
2
(R), e
σt
ϕ(t) ∈ L
2
(R).
Do đó theo công thức Parseval ta có
f, ϕ =
+∞

0
f(t)ϕ(t)dt =
+∞

0
(e
−σt
f(t))(e
σt
ϕ(t))dt
=

itτ
e
σt
ϕ(t)dt
=

R
e
−itτ
e
−σt
ϕ(−t)dt = F{e
−σt
ϕ(−t)}(τ)
= L{ϕ(−t)}(σ + iτ). (1.32)
Từ (1.31) và (1.32) ta có
f, ϕ =
1
2π

R
L{f(t)}(σ + iτ)L{ϕ(−t)}(σ + iτ )dτ
=
1
2π
L{f(t)}(σ + iτ), L{ϕ(−t)}(σ + iτ). (1.33)
Giả sử T ∈ D

(E). Từ công thức (1.33) ta suy ra định nghĩa biến đổi
Laplace đối với T như sau

−∞
e
(σ+iτ)t
L{ϕ(t)}(σ + iτ)dτ



t=0
=
+∞

−∞
L{ϕ(t)}(σ + iτ)dτ = 1
p
, L{ϕ(t)}(p).
1.4.3. Công thức nghịch đảo
Ta có công thức nghịch đảo cho khai triển Laplace như sau
T = F
−1
{e
σt
L{T }(σ + iτ)}. (1.36)
Trong công thức trên, F
−1
là biến đổi Fourier ngược, biến đổi các hàm
suy rộng biến τ thành các hàm suy rộng biến t, σ đóng vai trò là tham
số.
Công thức (1.36) có thể được viết lại như sau
T = (2π)
−1