PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giáo dục tiểu học là bậc học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc dân.
Mục tiêu của giáo dục tiểu học được xác định: “Giáo dục tiểu học nhằm giúp
học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu
dài về đặc điểm trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản để học sinh
tiếp tục học bậc trung học cơ sở” [10]. Ở bậc tiểu học, các em được học đầy
đủ 9 môn trong đó Toán học đóng vai trò quan trọng và cần thiết. Những tri
thức, kỹ năng và phương pháp Toán học đã trở thành công cụ để học tập các
môn học khác. Môn Toán ở tiểu học bao gồm 5 chủ đề chính và nội dung
trọng tâm được xác định là các kiến thức và kỹ năng cơ bản về số học.
Các kiến thức số học bao gồm (số tự nhiên, dãy số, số thập phân) được
xây dựng theo quan điểm đồng tâm và được phân bố theo các khối lớp một
cách hợp lí, phù hợp với đặc điểm sinh lí, lứa tuổi và nhận thức của các em.
Trong sách giáo khoa Toán tiểu học, phép chia bắt đầu “xuất hiện” ở lớp 2 và
đến lớp 4 thì các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 9 và 3 được giới thiệu cho học
sinh. Song song với cung cấp kiến thức về lí thuyết, còn có hệ thống bài tập
vận dụng để rèn luyện kỹ năng vận dụng lí thuyết đồng thời củng cố và phát
triển nó. Các bài toán này góp phần phát triển tư duy logic, bồi dưỡng và phát
triển những thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực.
Xuất phát từ vai trò và vị trí của các bài toán về số học, các bài toán về
dấu hiệu chia hết nói trên tôi chọn đề tài “Tìm hiểu kỹ năng vận dụng các
dấu hiệu chia hết để giải bài toán số học của học sinh lớp 4 ở một số
trường tiểu học khu vực thành phố Vĩnh Yên - Vĩnh Phúc”. Qua đó tìm ra
biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học toán ở tiểu học nói chung và các bài
toán số học nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu
1 
Từ việc tìm hiểu thực trạng kỹ năng vận dụng các dấu hiệu chia hết vào
việc giải các bài toán số học của học sinh lớp 4, chỉ ra nguyên nhân của thực
trạng và đề xuất những biện pháp khắc phục.

02 - 2008 đến 4 - 2008: tiến hành điều tra về thực trạng kĩ năng.
05 - 2008: hoàn thành đề tài nghiên cứu.
8. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Cơ sở lý luận
Chương 2: Các bài toán về phép chia hết trong chương trình
môn Toán lớp 4.
Chương 3: Thực trạng kĩ năng vận dụng các dấu hiệu chia hết vào việc
giải các bài toán số học của học sinh lớp 4.
Phần 3: Kết luận
3 
PHẦN 2. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Kĩ năng.
1.1.1. Khái niệm về kĩ năng
Hằng ngày con người sống, phát triển và học tập tất cả đều gắn với việc
hình thành kĩ năng và thực hiện các kĩ năng. Thành công trong việc thực hiện
các kĩ năng quyết định thành công trong cuộc sống. Chính vì thế kĩ năng nói
chung và kĩ năng học tập nói riêng từ lâu đã trở thành đối tượng nghiên cứu
quan trọng của khoa học tâm lý. Tuy nhiên ở nước ta rất có ít công trình
nghiên cứu đi sâu vào vấn đề này mà chủ yếu chúng ta tiếp nhận các thành
quả từ các công trình nghiên cứu của các tác giả nước ngoài. Các công trình
đó có thể khái quát thành các hướng như sau:
Hướng thứ nhất: là các công trình nghiên cứu ở mức độ đại cương, khái
quát về bản chất kĩ năng, các giai đoạn, các quy luật và các điều kiện hình
thành kĩ năng, kĩ xảo và năng lực. Đại diện cho hướng nghiên cứu này là các
tác giả như: N.D. Lêvitop, V.S. Kydin, A.V. Krutetxky, A.C.Covaliov
Hướng thứ hai: là các công trình nghiên cứu kĩ năng ở góc độ tâm lí học
lao động và giáo dục lao động. Các công trình này xem xét vấn đề kĩ năng

- Có tri thức về hành động.
- Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó.
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích.
- Có thể hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
Một cách cụ thể khi xem xét kĩ năng cần phải lưu ý những khía cạnh chủ
yếu:
5 
+ Kĩ năng trước hết được hiểu là kĩ thuật của thao tác hay hành động
nhất định. Kĩ năng không có mục đích riêng. Mục đích của nó mục đích của
hành động. Không có kĩ năng chung trừu tượng tách rời hành động . Khi nói
tới kĩ năng là nói tới hành động cụ thể đạt tới mức đúng đắn và thuần thục
nhất định. Kĩ năng hành động đồng nghĩa với hành động có kĩ năng.
+ Cơ chế hình thành kĩ năng thực chất là cơ chế hình thành hành động.
Mỗi hành động bao giờ cũng có mục đích khách quan và logic thao tác dẫn
đến mục đích đó. Muốn hình thành kĩ năng hành động thì cá nhân phải biết
triển khai thao tác theo đúng logic phù hợp với mục đích khách quan. Việc
định hướng, điều khiển và điều chỉnh quá trình hình thành và củng cố hành
động.
+ Kĩ năng là mức độ đúng đắn của việc triển khai hành động trong thực
tiễn. Hành động chưa thể có kĩ năng nếu như còn mắc nhiều sai lầm và vụng
về, còn tốn nhiều công sức và thời gian triển khai nó. Vì vậy để có kĩ năng
hành động cá nhân không chỉ hiểu sâu sắc hành động mà chủ yếu triển khai
hành động trong thực tiễn đúng logic của nó với mọi vật liệu có thể. Như vậy
ta có thể hiểu kĩ năng hành động là khả năng triển khai đúng đắn hành động
nào đó trên cơ sở hiểu sâu sắc và đầy đủ hành động đó.
1.1.2. Phân biệt kĩ năng và kĩ xảo
Tuy có sự khác nhau đôi chút về định nghĩa, song hầu hết các nhà nghiên
cứu đều thống nhất: “Kĩ xảo hành động là loại hành động được tự động hóa
nhờ luyện tập. Nó có đặc điểm không có sự kiểm soát thường xuyên của ý
thức. Động tác mang tính khái quát, không có động tác thừa, kết quả cao mà ít

và luyện tập nó để trở thành thao tác kĩ xảo là mục tiêu của trẻ em. Trong đó
quá trình hình thành các kĩ năng hành động được coi là bước khởi đầu, giai
đoạn cơ bản để chuyển từ hành động thành thao tác.
1.2. Kĩ năng học tập
7 
Mỗi hoạt động khác nhau đòi hỏi phải có kĩ năng tương ứng. Căn cứ vào
tính chất của mỗi loại hoạt động, người ta có thể chia thành các loại kĩ năng
sau:
- Kĩ năng hoạt động trí tuệ.
- Kĩ năng lao động sản xuất.
- Kĩ năng tổ chức hoạt động.
+ Như vậy kĩ năng học tập chính là một trong các thành phần của kĩ
năng hoạt động trí tuệ. Kĩ năng học tập là thành phần không thể thiếu để tạo
nên cách học cho học sinh. Trong tâm lí học kĩ năng học tập được hiểu là khả
năng vận dụng có kết quả những tri thức về các phương thức thực hiện hành
động học tập đã được học sinh lĩnh hội để giải quyết các nhiệm vụ học tập đề
ra phù hợp với yêu cầu và điều kiện cho phép.
+ Kĩ năng học tập của học sinh có đặc trưng sau:
Kĩ năng học tập thể hiện mặt năng lực học tập của học sinh, nó có liên
quan chặt chẽ đến hiệu quả học tập và là yếu tố có tính chất quyết định đến
kết quả học tập.
Kĩ năng học tập thể hiện ở mặt kĩ thuật của hành động học tập. Là sự tổ
hợp phương thức thực hiện hiện hành động học tập đã được học sinh nắm
vững và vận dụng có hiệu quả vào việc giải quyết các nhiệm vụ học tập đề ra.
Kĩ năng học tập là một hệ thống phức tạp và phát triển, bao gồm trong
đó những kĩ năng chuyên biệt. Có kĩ năng chung, cơ bản cần thiết cho nhiều
môn học, có kĩ năng riệng của nhiều môn học.
Trên cơ sở lí thuyết hoạt động của A.B.Enconhin, V.V.Đavưđôp và
thông qua thực nghiệm dạy học, tác giả Nguyễn Kế Hào đã chỉ ra một hệ
thống kĩ năng học tập cơ bản của học sinh tiểu học bao gồm: hệ thống kĩ năng

9 
Kĩ năng vận dụng các dấu hiệu chia hết vào việc giải các bài toán số học
là khả năng vận dụng các dấu hiệu chia hết vào việc giải các bài toán số học
một cách có hiệu quả, phù hợp với điều kiện cho trước.
Kĩ năng vận dụng được đánh giá qua các tiêu chí sau:
- Tốc độ hoàn thành các bài tập được giao trong một khoảng thời gian
nhất định.
- Độ thành thục trong quá trình giải bài tập: trong quá trình giải học sinh
tự làm được ngay hay giáo viên phải gợi ý.
- Độ chính xác của bài tập: chính xác từng ý của bài, chính xác ở đáp số
của bài tập.
- Kĩ năng được thể hiện trong việc giải các bài tập từ dễ đến khó,từ đơn
giản đến phức tạp, từ tái tạo đến sáng tạo
Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng vận
dụng các dấu hiệu chia hết để giải các bài toán số học nói riêng thì học sinh
phải được luyện tập thực hành thường xuyên qua nhiều dạng bài khác nhau.
Việc hình thành kĩ năng vận dụng các dấu hiệu chia hết có ý nghĩa to lớn
trong việc giải toán. Mà chủ yếu là các bài toán số học. Khi có kĩ năng thì học
sinh làm bài nhanh, chính xác, vận dụng linh hoạt trong các tình huống khác
nhau. Từ đó góp phần giúp học sinh phát triển năng lực giải toán nói riêng,
năng lực toán học nói chung.
Kĩ năng cần hình thành khi vận dụng các dấu hiệu chia hết để giải các
bài toán số học.
- Kĩ năng tìm hiểu yêu cầu của đề bài, xác định dạng bài và định hướng
cách làm.
Để làm đúng yêu cầu của một đề bài học sinh phải:
Bước 1: Đọc kĩ đề bài.
Bước 2: Xác định yêu cầu của đề bài, cách thức thực hiện từng yêu cầu.
10 
Bươc 3: Xác định kiến thức cần huy động để thực hiện yêu cầu của đề,

đóng vai trò trọng tâm, cốt lõi. Thời lượng dành cho nội dung số học khoảng
70% tổng thời lượng môn Toán.
Nội dung số học bao gồm:
* Số tự nhiên, các phép tính với số tự nhiên:
- Lớp triệu: đọc, viết, so sánh các số đến lớp triệu; giới thiệu về tỉ số, hệ
thống hóa về số tự nhiên và hệ thập phân.
- Các phép tính:
Phép cộng và phép trừ các số có đến 6 chữ số, có nhớ không quá 3 lượt;
tính chất giao hoán và kết hợp các số tự nhiên.
Phép nhân các số có nhiều chữ số với số có không quá 3 chữ số; tính
chất giao hoán và kết hợp của các số tự nhiên.
Phép chia các số có nhiều chữ số cho số không quá ba chữ số.
- Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 9 và 3.
- Tính giá trị của biểu thức có đến 3 dấu phép tính, tính giá trị của biểu
thức chứa chữ.
* Phân số, các phép tính với phân số.
* Tỉ số.
* Một số yếu tố thống kê.
12 
2.2. Các bài toán chia hết ở lớp 4
Trong sách giáo khoa Toán lớp 4 các bài học về dấu hiệu chia hết cho 2;
5; 9 và 3 tuy lí thuyết không trình bày nhiều nhưng khả năng vận dụng kiến
thức này để giải toán là rất lớn. Mặt khác nó còn theo các em trong suốt quá
trình học phổ thông.
- Dấu hiệu chia hết cho 2:
Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2.
Chú ý: Các số có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 thì không chia hết cho 2.
- Dấu hiệu chia hết cho 5:
Các số có chữ số tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5.
Chú ý: Các số không có chữ số tận cùng là 0 và 5 thì không chia hết cho 5.

Ví dụ 1: A =
2008xy
. Tìm x, y = ? để A chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải
Để A chia hết cho 2 và 5 thì chữ số tận cùng của A phải là 0 vậy y = 0;
A =
2008x0
.
Tổng các chữ số của A là: (2 + 0 + 8 + x + 0) = (10 + x)
Vì x là số tự nhiên có một chữ số nên để A chia hết thì x = 8
Lúc đó: A = 200880.
Ví dụ 2: Viết thêm vào bên phải và bên trái số 15 mỗi bên 1 chữ số để
được số mới chia hết cho 15.
Giải
Gọi số mới đó là B =
a15b
(a, b là các số tự nhiên và a khác 0)
Theo bài ra: B chia hết cho 15 tức là B chia hết cho 3 và 5 (15 = 3 x 5).
B chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng của b phải là 0 hoặc 5 (b = 0 hoặc
b= 5).
14 
- Nếu b = 0: B =
a150
Tổng các chữ số của B là (a + 1 + 5 + 0) = (a + 6)
(a + 6) chia hết cho 3 thì a = 3; 6; 9
Vậy B là 3150; 6150; 9150.
- Nếu b = 5: B =
a155
Tổng các chữ số của B là (a + 1 + 5 +5) = (a + 11)
(a + 11) chia hết cho 3 thì a = 1; 4; 7.

Để chia hết cho 2 và 5 thì chữ số tận cùng của (A - 1) phải là 0.
Do đó y = 1 (chữ số tận cùng của A là 1).
Ta có A =
x4591
làm tương tự cách 1 để tìm x.
Dạng 4: Vận dụng tính chất chia hết để giải bài toán có lời văn.
Ví dụ: Một lớp học có ít hơn 35 học sinh, nhiều hơn 20 học sinh. Nếu
học sinh trong lớp xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu
bạn nào. Tìm số học sinh của lớp đó?
Giải
Số học sinh của lớp cần tìm là số chia hết cho 3 và 5 (vì xếp thành 3
hoặc 5 hàng thì không thừa hoặc không thiếu bạn nào).
Số học sinh trong lớp là một số tự nhiên nằm trong khoảng từ 20 đến 35.
Trong khoảng 20 đến 35 có những số chia hết cho 5 là 25 và 30.
Trong hai số 25 và 30 chỉ có số 30 chia hết cho 3.
Vậy số học sinh của lớp đó là 30 học sinh.
Đáp số: 30 học sinh.
Dạng 5: Bài toán chứng minh.
Ví dụ: Chứng minh rằng tổng của các số có 3 chữ số chia hết cho 2 và 5.
Giải
Tổng của các số có 3 chữ số là:
I = 100 + 101 + … + 998 + 999.
I = 100 + (101 + 999) + … + (549 + 551) + 500
16 
Số các số có 3 chữ số là:
999 100
1
1
−
+

- Tốc độ giải bài toán về dấu hiệu chia hết: với hai bài kiểm tra, mỗi bài
trong khoảng thời gian từ 35 – 40 phút.
18 
- Độ thành thục trong quá trình giải toán: xét xem trong quá trình làm
bài, học sinh giải được ngay hay cần sự hướng dẫn, giúp đỡ của giáo viên.
- Độ chính xác của bài giải: yêu cầu chính xác từng ý, chính xác ở đáp số
cuối cùng của bài toán.
- Khả năng vận dụng vào các tình huống từ đơn giản đến phức tạp: xét
xem học sinh có khả năng vận dụng bài toán này để giải các bài toán tương tự
có liên quan, học sinh có khả năng kết hợp các bài toán đơn để tạo thành bài
toán phức, từ bài toán ban đầu học sinh có thể vận dụng sáng tạo vào nhiều
bài toán mới (bài toán tương tự với bài toán đã giải, bài toán ngược với bài
toán đã giải, lập bài toán theo cách giải cho sẵn, bài toán cần phải biến đổi
mới đi đến các dạng cho sẵn ).
3.1.1.4. Cách tiến hành nghiên cứu
- Soạn đề bài kiểm tra
- Cho học sinh làm bài kiểm tra, thu các bài kiểm tra ở mỗi lớp sau đó
chấm và thống kê theo các chỉ số sau:
+ Số ý học sinh đã làm.
+ Số ý học sinh làm đúng.
+ Số ý học sinh làm sai phương pháp.
+ Số ý học sinh làm sai đầu bài.
+ Số ý học sinh làm sai kết quả.
Tổng hợp các chỉ số trên có thể phân loại trình độ kĩ năng của học sinh
thành các mức độ sau:
Mức độ 1:
Làm nhanh: Thời gian dành cho một tiết kiểm tra là 35 phút với ba bài.
Học sinh có thể phân bố thời gian vào các bài trung bình từ 10 – 12 phút.
Làm đúng: đúng kết quả của bài toán, trình bày đúng, khoa học.
Học sinh tự làm, không cần có sự hướng dẫn của giáo viên.

Bài 2: Từ 1; 2; ; 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác
nhau mà các số đều chia hết cho 3.
Đáp số: 20 số.
Bảng 1: Kết quả đánh giá học sinh làm bài tập dạng 1
Các mức độ
Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4
SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ %
110 19 17,2 76 69 8 7,2 7 6,6
Đây là dạng toán dễ nhất về dấu hiệu chia hết. là dạng cơ bản được trình
bày nhiều trong sách giáo khoa. Yêu cầu tối thiểu với một học sinh bình
thường là phải biết cách làm. Học sinh chỉ cần vận dụng trực tiếp lí thuyết về
dấu hiệu chia hết. Dấu hiệu chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết
cho 3. Một số bất kì chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3, ngược lại số
chia hết cho 3 thì chưa chắc chia hết cho 9. Học sinh không những cộng đúng
tổng các chữ số mà còn phải thuộc bảng chia 9, bảng chia 3.
Nhìn vào bảng 1 ta thấy rằng: có 19 học sinh đạt mức 1 chiếm 17,2%;
chủ yếu đạt mức 2 (76 em chiếm 69%); chỉ có 8 em đạt mức 3 chiếm 7,2%; số
còn lại đạt mức 4 là 7 em chiếm 6,6%. Điều đó chứng tỏ rằng học sinh đã có
những kĩ năng cần thiết để giải bài toán tìm các số tự nhiên theo dấu hiệu chia
hết. Độ thuần thục đã đạt mức độ nhất định, có nhiều học sinh giải toán dạng
này cho kết quả nhanh và chính xác.
Dạng 2: Dùng dấu hiệu chia hết để tìm các chữ số chưa biết.
Bài 1: Tìm chữ số thích hợp để điền vào ô trống sao cho:
a/ 94□ chia hết cho 9.
b/ 2□5 chia hết cho 3.
c/ 76□ chia hết cho 3; 2.
21 
Đáp số: a/ 5; b/ 8; c/ 2.
Bài 2: Số này nằm trong phạm vi các số tự nhiên từ 1 đến 58. Khi viết số
đó không sử dụng các chữ số 1; 2; 3. Ngoài ra nó là số lẻ không chia hết cho

là rất lớn; số còn lại ở mức 3 với 14 học sinh chiếm 12,7%. Điều đó chứng tỏ
đa số các em làm bài cho kết quả đúng, làm được cả bài tập vận dụng và bài
tập sáng tạo, nhưng số lượng học sinh làm bài đúng và cho kết quả nhanh
chưa nhiều.
Dạng 3: Bài toán về phép chia có dư.
Bài 1: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho
4 dư 3, chia cho 5 dư 4.
Đáp số: 59.
Bài 2: Xét số X = 893623 có chia hết cho 3 không? Nếu không chia hết
cho 3 thì dư mấy?
Đáp số: X không chia hết cho 3.
X chia cho 3 dư 1.
Bảng 3: Kết quả đánh giá học sinh làm bài tập dạng 3
Các mức độ
Mức 1 Mức 2 Mức 3 Mức 4
SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ % SL Tỉ lệ %
110 5 4,7 62 56,3 17 15,4 26 23,6
Đây là bài toán vận dụng tổng hợp các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5
dưới dạng gián tiếp. Bài toán có sử dụng tính chất sau: số tự nhiên cần tìm là
A. A chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của A phải là số tự nhiên lẻ (1, 3, 5,
7, 9). Nên (A+1) sẽ chia hết cho 2. A chia cho 3 dư 2 nên (A +1) sẽ chia hết
cho 3. Tương tự (A + 1) chia hết cho 4; 5.
Để (A + 1) chia hết cho 2; 5 thì (A + 1) có chữ số tận cùng là 0. Vậy (A
+ 1) có dạng
x0
,
x0
mà chia hết cho 3 thì x = 3; 6; 9. (A + 1) là những số 30;
23 
60; 90. Trong ba số này chỉ có 60 là chia hết cho cả 3; 4. Vậy (A + 1) là 60,

110 8 7,2 55 50 36 32,4 16 14,4
24 
Qua bảng 4: Số lượng học sinh đạt mức 1 là 8 em chiếm 7,2%; số lượng
học sinh đạt mức 2 là 55 em chiếm tỷ lệ cao nhất lên tới 50%; Có 36 học sinh
đạt mức 3 chiếm 32,4%; số còn lại đạt mức 4 với 16 em chiếm 14,4%. Điều
đó chứng tỏ: có nhiều học sinh làm bài đúng nhưng chưa làm nhanh; học sinh
làm bài cần có sự giúp đỡ của giáo viên; số lượng học sinh có kĩ năng vận
dụng các dấu hiệu chia hết còn rất ít.
* Về các lỗi có trong bài làm:
Dạng 1:
- Học sinh cộng sai tổng các chữ số dẫn đến tính sai kết quả.
Dạng 2:
- Hầu như các em chỉ làm đúng một đáp số; ở câu b, c có nhiều đáp số
khác nhau. Do vậy học sinh không đạt mức 1.
- Khả năng xử lí bài giải chưa được linh hoạt: nếu câu c học sinh điền số
thỏa mãn dấu hiệu chia hết cho 3 trước thì sẽ khó khăn hơn dấu hiệu chia hết
cho 2.
- Học sinh biết chia làm nhiều trường hợp khác nhau nhưng đến phần kết
luận các em chưa biết cách tổng hợp.
Dạng 3:
Đây là dạng toán khó nhất trong ba dạng trên, học sinh chủ yếu mắc
nhiều lỗi trong quá trình làm bài ở dạng này.
- Học sinh chưa biết cách phân tích đầu bài để có hướng đi đúng cho
cách làm.
- Các bước tính của học sinh chưa chính xác dẫn đến sai lầm ở phần tiếp
theo.
- Học sinh lập luận không đúng với yêu cầu của bài toán.
- Trong quá trình vận dụng các dấu hiệu chia hết để làm bài học sinh vận
dụng chưa linh hoạt.
25 