TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
CƠ BẢN
A- MỞ ĐẦU:
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phần quan trọng
của môn Giải tích lớp 12. Các bài toán tích phân rất đa dạng và phong phú, thường có mặt
trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Đây là những bài tập gây
cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của
mình.
Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-
BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng
học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả
năng hợp tác ; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập của học sinh”.
Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực, chủ động và
sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện ra những bài toán mới
từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềm năng sáng tạo còn tiềm ẩn trong
mỗi học sinh.
Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ đề tự chọn
Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích
phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức sâu , rộng về tích phân; có thêm
nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , và giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo.
2. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12 trường THPT Diễn Châu 4.
- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm và tính Tích
phân.
-Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân.
3. Phạm vi của đề tài:
Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12C3,12C4;12C13 trường

nhiều phương pháp giải quyết vấn đề đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương
pháp giải và giải nhiều bài tập cho học sinh ghi nhớ . Theo phương pháp này đôi khi học
sinh cảm thấy sợ vì phải ghi nhớ quá nhiều; thậm chí có học sinh tưởng mình biết tất cả
các phương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tích phân
mới.
2. Cơ sở thực tiễn:
a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:
Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng
lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm và giải bài toán tổng quát.
b) Thực trạng việc học của học sinh:
Giáo Viên: Trần Quang Lực
2
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài mà mình đã
giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới. Nhiều học sinh không hề có chút suy
nghỉ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới.
Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2012-2013:
Lớp Số lượng
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
Số lượng % Số lượng %
12C3 46 40 87 6 13
c)Sự cần thiết của đề tài:
Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tôi nhận
thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu những kinh
nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy tích phân cho học sinh lớp 12.
3. Nội dung vấn đề:
a)Vấn đề được đặt ra:
Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực , chủ động và sáng
tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều đó, chúng ta cần phải đưa ra
được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập,

=


=

, ta có :
1 1
1
( ln ) ( ln ) 1
e
e e
I x x dx x x x= − = − =
∫
.
1.1)Một số tích phân dạng
ln ( )
b
a
u x dx
∫
( với
( )u x
là một trong các hàm số thường gặp),
Ví dụ:
1)
1
0
ln(3 1)I x dx= +
∫
; 2)

∫
; 6)
[ ]
4
0
ln(cos ) tanI x x x dx
π
= −
∫
;
7)
1
0
ln( 1)
1
x
x
x
I e dx
e
 
= + −
 
+
 
∫
; 8)
1
ln(ln )
ln

= +
∫
;
11)
1
0
ln(1 )I x dx= +
∫
; 12)
4
2
0
ln( 9)I x x dx= + +
∫
;
13)
5
2
2
ln( 1)I x x dx= + −
∫
;
1.2) Tìm một số tích phân dạng
( ).ln
b
a
f x xdx
∫
( với
( )f x

1
1
( ).ln
e
I x xdx
x
= +
∫
;
5)
2
1
1
(ln )
x
I e x dx
x
= +
∫
; 6)
2
6
sin
cos ln
x
I x x dx
x
π
π
 

π
 
= +
 
 
∫
;
9)
2
2
4
ln cot
sin
x x
I dx
x x
π
π
 
= −
 
 
∫
; 10)
3
6
ln(cos )
tan ln
x
I x x dx

∫
.
1.3Một số tích phân dạng
'( )ln ( )u x u x dx
∫
( với
( )u x
là một trong các hàm số thường gặp),
Ví dụ:
Giáo Viên: Trần Quang Lực
4
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
a)
1
2
0
ln( 1)I x x dx= +
∫
; b )
2
6
cos ln(sin )I x x dx
π
π
=
∫
; c)
3
0
sin ln(cos )I x x dx

π
π
=
∫
;
h)
3
2
6
ln(cot )
sin
x
I dx
x
π
π
=
∫
; i)
3
2
0
ln(1 1)I x x dx= + +
∫
.
1.4)Một số tích phân dạng
(ln )
b
a
f x

( )
2
1 ln
ln
e
e
x x
I dx
x x
+
=
∫
);

1
2ln 3
(ln 4)
e
x
I dx
x x
+
=
+
∫
;
2
1
1
(ln 4)

;
2
1
1 ln
e
x
I dx
x
−
=
∫
;
e)
2
1
1
1 ln
e
I dx
x x
=
+
∫
;
2
1
1 ln
e
x
I dx

4
ln 1
(ln 1)
e
e
x
I dx
x x
+
=
+
∫
;
2
2
4
ln 1
(ln 1)
e
e
x
I dx
x x
−
=
+
∫
;

2

α
∫
,
'( )log ( )
a
u x u x dx
β
α
∫
và
(log )
a
f x
dx
x
β
α
∫
(với
( )u x
,
( )f x
là một trong các hàm số thường gặp),
Ví dụ:
Giáo Viên: Trần Quang Lực
5
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
a)
2
2

α
α
= ≠ −
∫
;
2
2
2
1
(3 2 5)logI x x xdx= + +
∫
;
c)
1
2
2
0
log ( 1)I x x dx= +
∫
;
2
2
6
cos log (sin )I x x dx
π
π
=
∫
;


x
I dx
x
π
π
=
∫
;
2
log (ln )
e
e
x
I dx
x
=
∫
.
d)
4
2
2
2
log
(1 log 1)
x
I dx
x x
=
+ −

=
+ −
∫
.
Do học sinh không được làm quen với cách đặt
cosx a t=
hoặc
sinx a t=
trong những
bài toán giải phương trinh vô tỉ có chứa biểu thức
a x+
,
a x−
và
2 2
a x−
nên còn khó
hiểu khi giải bài toán sau đây:
Bài toán 2.Tính các tích phân sau: (Bài tập SGK)
a)
∫
−=
1
0
2
1 dxxI
; b)
2
2 2
0

, với
1x
=
thì
2
t
π
=
. Ta được:
2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
1 1 1
1 sin .cos cos (1 cos2 ) ( sin 2 )
2 2 2 4
I t tdt tdt t dt t t
π π π
π
π
= − = = + = + =
∫ ∫ ∫
.
b)Đặt
sinx a t
=
, với
[0; ]
6

1
.cos
6
1 sin
I tdt dt t
t
π π
π
π
= = = =
−
∫ ∫
.
Sau khi giảng giải cho học sinh hiểu một cách tường minh bài toán trên là tại sao lại
chọn cách đặt đó mà không lựa chọn cách đặt khác . Thì ta có thể bắt đầu với các bài toán
mới như sau :
2.1)Qua bài toán trên ta thấy xuất hiện các biểu thức lượng giác
sin t
và
cost
thay thế vị trí
của biến
x
và
2 2
a x−
; và bài toán tích phân hàm số vô tỉ được chuyển thành bài toán tích
phân hàm số lượng giác. Chính vì thế mà ta nghĩ ngay đến việc thay thế các biểu thức
sin t


− −
∫
;
2) a)
∫
−+
=
1
0
2
1
1
dx
xx
I
; b)
1
2
0
1
4
I dx
x x
=
− −
∫
;
c)
2 2
0

1
x
I dx
x x
=
+ −
∫
; b)
1
2
0
4
x
I dx
x x
=
− −
∫
;
c)
2
2 2
0
a
x
I dx
x a x
=
+ −
∫

x x
−
=
+ −
∫
;
c)Cho
1
2012 2
2012
0
. 1I x x dx= −
∫
. Lập hệ thức giữa
2012
I
và
2014
I
.
5) Cho
(
)
2
2012
2
2012
2013
2
0

0
16 20 5 1I x x x dx= − + +
∫
.
Lưu ý: Nếu đặt
sinx a t
=
thay vào các bài toán tích phân có chứa biểu thức
2 2
a x−

thì ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng
Giáo Viên: Trần Quang Lực
7
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
t 0
6
π
4
π
3
π
2
π
x 0
2
a
2
2
a

là hàm số chẵn trên đoạn [
;
α α
−
] )
(Chứng minh xem bài toán 5), và chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa biểu thức
2 2
a x−
để tạo ra các tích phân mới :
a)
2 2
1
a
x
a
a x
I dx
a
−
−
=
+
∫
(với
0a
>
) ; b)
2
2
2

1
a
x
x
a
a a x
J dx
a
−
−
=
+
∫
(với
0a
>
) ; e)
1
2
2
1
2 . 4
1 2
x
x
x
J dx
−
−
=

(với
0
>
α
,
)(xf
là hàm số lẻ trên
đoạn [
;
α α
−
])(Chứng minh xem bài toán 5.7), ta chọn một số hàm số lẻ đơn giản có chứa
biểu thức
2 2
a x−
, ta được các tích phân mới :
a)
2 2
ln( 1)
a
x
a
I x a x e dx
−
= − +
∫
(với
0a
>
);

a
x e
J dx
a x
−
+
=
−
∫
( với
0a
>
);
1
2
2
1
ln( 1)
4
x
x e
J dx
x
−
+
=
−
∫
;


a x
I dx
a x
−
=
+
∫
( với
0a
>
);
1
2
1
0
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
;

1
2
0
2

0
1
1
x
J dx
x
+
=
−
∫
;

1
2
0
2
2
x
J dx
x
+
=
−
∫
;
c)
0
1
a
I dx

;
d)
2
1
a
a
J dx
a x a x
=
+ − −
∫
( với
0a
>
);
1
1
1
2
1
1 1
J dx
x x
=
+ − −
∫
;

2
2

( với
0a
>
);
1
2
1
0
1
1
x x
I dx
x
+ −
=
+
∫
;

1
2
0
2
2
x x
I dx
x
+ −
=
+

;

1
2
0
2
2
x x
I dx
x
+ +
=
−
∫
;
c)
2
0
a
a x
e a x
I dx
a x
+
+ −
=
+
∫
(với
0a

+
+ −
=
+
∫
;
d)
1
0
2 ln( 2 1)
2
x x
I dx
x
− + + −
=
+
∫
.
2.6)Từ các bài toán tích phân trên ta thấy cặp biểu thức
a x+
và
a x−
quá quen thuộc
nên ta tìm cách thay đổi cặp biểu thức đó , ví dụ thay
t a x= −

( với
0a >
) vào các tích phân trong bài 2.4) ta có các tích phân :

4
x
I dx
x
=
−
∫
;
Giáo Viên: Trần Quang Lực
9
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
b)
2
2
a
a
a x
I dx
x
−
=
∫
( với
0a
>
);
1
1
1
2

);
1
1
0
1
2
I dx
x x
=
− +
∫
;
2
2
0
1
4
I dx
x x
=
− +
∫
;
d)
2
0
1
2
a
J dx

;
2.7) Từ các tích phân trong bài 2.4) và 2.6) ta đưa ra các tích phân mới có chứa cặp biểu
thức
a x+
và
b x−
dạng
a x
I dx
b x
β
α
+
=
−
∫
hoặc
b x
J dx
a x
β
α
−
=
+
∫
bằng cách đặt
2
a b
a x t

b a−
3
4
b a−
2( )
4 2
a b a b+ −
−
3( )
4 2
a b a b+ −
−
b
ví dụ :
a)
5
2
1
2
1
3
x
I dx
x
−
=
−
∫
;
5

3
x
J dx
x
−
=
+
∫
;
b)
5
2
1
2
1
3
x x
I dx
x
+ −
=
−
∫
;
5
2
1
2
3
1

=
+
∫
;
c)
3
3
1
5
3
x
e x
I dx
x
+
+ −
=
+
∫
;
3
1
5 ln( 3 1)
3
x x
I dx
x
− + + −
=
+

1
3 5
J dx
x x
=
+ − −
∫
;
e)
2
1
b
b a
J dx
a x b x
−
=
+ + −
∫
;
3
1
2
1
1 3
J dx
x x
=
− + −
∫

2
2
1
1 3I x x dx= + + −
∫
;
c)
( )
5
2
4
1
3 5I x x dx= + + −
∫
.
2.9)Ta xét thêm tích phân :
Giáo Viên: Trần Quang Lực
10
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2
2 2
b b
ax bx cdx a x x dx
a a
β β
α α
  
+ ∆ ∆ −
+ + = + −

a a
∆
+ =
, và ta có thể chọn một trong các giá trị của cận tương ứng trong bảng
u 0
6
π
4
π
3
π
2
π
x
2
b
a
−
2
4
b
a
∆ −
2 2
4
b
a
∆ −
3 2
4

1
2
0
1
3 2
I dx
x x
=
+ −
∫
;
e)
1
2
1
1
3 2
I dx
x x x
−
=
+ + −
∫
; g)
1
2
1
2
1 3 2
x

=
∫
;
c)
2
1
1
3 2ln ln
e
I dx
x x x
=
+ −
∫
.
2.11)Thay
2
t
x =
hoặc
3
t
x =
vào các tích phân trong bài 2.9) ta có các tích phân:
a)
0
1
1
2 4
x x

∫
; b)
2
1
1
0
x
I xe dx
−
=
∫
;
c)
1
2
0
ln(1 1 )I x x dx= + −
∫
.
Ta đã khai thác các bài toán tích phân có chứa biểu thức
2 2
a x−
thì nên tìm đến
bài toán tích phân có chứa một trong các biểu thức
2 2
x a+
,
2 2
x a−
để so sánh :

∫
adx
ax
I
a
; (
5
2 2
2
1
,( 0)
a
a
J dx a
x a
= >
−
∫
).
3.1)Tính tích phân:
a)
)0(,
1
0
22
>
+
=
∫
adx

t
π
∈
, ta có :
2
2
1
(1 tan )
cos
dx dt t dt
t
= = +
, và với
0x
=
thì
0t
=
,
với
x a=
thì
4
t
π
=
. Ta được:
4 4 4
2 2
2

++
=
+
+=

2 2
dt dx
t
x a
⇔ =
+
; với
0x t a
= ⇒ =
, với
atax )21( +=⇒=
.
Suy ra
(1 2 )
(1 2 )
(ln ) ln(1 2)
a
a
a
a
dt
I t
t
+
+

2 2
dt dx
t
x a
⇔ =
−
;với
2 (1 2)x a t a= ⇒ = +
, với
5 (2 5)x a t a= ⇒ = +
.
Suy ra
(2 5)
(2 5)
(1 2 )
(1 2 )
2 5
(ln ) ln
1 2
a
a
a
a
dt
J t
t
+
+
+
+

Cách 1: Đặt
tanx a t=
với
[0; ]
4
t
π
∈
, ta có :
2
2
1
(1 tan )
cos
dx dt t dt
t
= = +
, và với
0x
=
thì
0t
=
,
với
x a=
thì
4
t
π


=

 
= +
⇒
+
 
=



=

. Suy ra
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
0 0 0
( ) ( )
a a a
a a
x a
I x x a dx x x a x a dx dx
x a x a
= + − = + − + +
+ +
∫ ∫ ∫
2

.
b)Tính
5
2 2
2
,( 0)
a
a
J x a dx a= − >
∫
Đặt
2 2
2 2
x
du dx
u x a
x a
dv dx
v x

=

 
= −
⇒
−
 
=



a
a
a
a
a
J x x a dx
x a
⇔ = − −
−
∫
5 5
2 2 2 2 2
2 2
2 ( ) ln( )
a a
a
J x x a a x x a⇔ = − − + −
.
Vậy
5
2 2 2
5
2 2 2 2
2
2
2 5
( ) ln( ) (2 5 2) ln
2 2 2 2
1 2
a

4
I dx
x
=
+
∫
;
5
1
2
2
1
1
J dx
x
=
−
∫
;
b)
3
2
1
0
1I x dx= +
∫
;
5
2
2

x x
=
− +
∫
;
5
1
2
2
1
1
J dx
x x
=
+ −
∫
.
3.4)Từ các bài toán 3.1), 3.2) và 3.3) ta đưa ra những bài toán tích phân có chứa một trong
các biểu thức
2 2
x a+
và
2 2
x a−
nhưng được giải theo phương pháp khác (đặt
2 2
t x a= +
hoặc
2 2
t x a= −

2
2
1
x
J dx
x
=
−
∫
;
Giáo Viên: Trần Quang Lực
13
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
b)
3
2
1
0
1I x x dx= +
∫
;
5
3 2
2
0
4I x x dx= +
∫
;
5
5 2

2
0
4
x x
I dx
x
+
=
+
∫
; c)
5
1
2
2
1
1
x
J dx
x
+
=
−
∫
;(
5
1
2
1
1

dx
xx
x
I
.
3.6)Từ công thức :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ).(
, ta xem tích phân trong bài toán 3.1) và 3.2) là biểu
thức
∫
b
a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có các tích phân sau:
a)
2 2
0

+
=
5
3
5
3
2
259
1
( Bài tập SGK ).
Giải:
a)Đặt
tanx t=
,với
[0; ]
4
t
π
∈
, ta có :
2
2
1
(1 tan )
cos
dx dt t dt
t
= = +
, và với
0x

.
b) Đặt
3
tan
5
x t=
,với
[ ; ]
6 4
t
π π
∈
, ta có :
2
2
3
3
5
(1 tan )
cos 5
dx dt t dt
t
= = +
, và với
3
5
x =
thì
6
t

+
∫ ∫
.
4.1)Đặt
x
vào vị trí
tant
của các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản ta có các
tích phân sau:
Giáo Viên: Trần Quang Lực
14
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
a)
dx
x
x
I
∫
+
+
=
1
0
2
1
1
; b)
dx
x
xx

I dx
x
+
=
∫
;
e) Cho
1
2
0
1
n
n
x
I dx
x
=
+
∫
(với
*
n∈¥
). Lập hệ thức giữa
n
I
và
2n
I
+
.

−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ).(
, ta xem tích phân trong bài toán 4) là biểu thức
∫
b
a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có các tích phân :
a)
1
2
0
ln(1 )I x dx= +
∫
; b)
1
2 2
2
2

t
π
∈
, ta có:
2
2
(1 tan )
cos
a
dx dt a t dt
t
= = +
,
và với
0x
=
thì
0t
=
, với
x a=
thì
4
t
π
=
. Ta được:
4 4
2
4

=
+ +
 
−∆
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
(với
0a
≠
,
2
4 0b ac∆ = − <
) bằng cách đặt
2
.tan
2 4
b
x t
a a
−∆
+ =
, và ta có thể chọn một trong
các giá trị của cận tương ứng trong bảng
t 0
6

Giáo Viên: Trần Quang Lực
15
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
a)
dx
xx
I
∫
+−
=
2
1
2
22
1
; b)
1
2
1
3
2 5
x
I dx
x x
−
+
=
+ +
∫
; c)

Bài toán 5: Cho
)(xf
là hàm số chẵn trên đoạn [
;
α α
−
]. Chứng minh rằng :

∫∫
=
+
−
αα
α
0
)(
1
)(
dxxfdx
a
xf
x
(với
0,0 >>
α
a
).
Hướng dẫn:
Đặt
dxdtxt

)(
)(
1
)(
1
)(
∫∫
−−
=
+
⇔
α
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
)(
1
)(
2
∫∫
=
+
⇔
−
αα
α

∫
−
+
+
=
1
1
2
1
1
dx
e
x
I
x
; b)
∫
−
−
+
+
=
1
1
1
dx
e
ee
J
x

=
+
∫
;
f)
∫
−
+
+
=
2
2
2
1
cos)1(
π
π
dx
e
xx
M
x
; đ)
2 2
1
a
x
a
a x
N dx

P dx
e
α
α
−
+
=
+
∫
(
0,0 >>
α
a
);
1
2
1
1
1
1
x
x
P dx
e
−
+
=
+
∫
;

−
+ +
=
+
∫
;
h)
4
4
sin 2 ln( ) ln( )
2 2
1
x
x x x
Q dx
e
π
π
π π
−
 
− − +
 ÷
 
=
+
∫
; i)
1
2

∫
b
a
udv
, ta có các tích phân :
a)
∫
−
+
+
=
1
1
2
3
)1(
)(
dx
e
exx
I
x
x
; b)
∫
−
+
=
2
2

+
∫
(
0,0 >>
α
a
);
1
2
1
2
1
ln( 1)
( 1)
x
x
e x x
J dx
e
−
+ +
=
+
∫
;
d)
2 2 3
2
2
2

+
∫
;
5.3)Thay
)(xf
bởi một số hàm số cụ thể và chọn
e
a
1
=
ta có các tích phân sau:
a)
∫
−
+
+
=
1
1
2
1
)1(
dx
e
ex
I
x
x
; c)
∫

+
=
+
∫
; đ)
2
2
sin
1
x
x
e x x
M dx
e
π
π
−
=
+
∫
;
e)
2 2
1
a
x
x
a
e a x
N dx

x
x
e x a
P dx
e
α
α
−
+
=
+
∫
(với
0,0 >>
α
a
);
1
2
1
1
1
1
x
x
e x
P dx
e
−
+

x
x
I dx
−
+
=
+
∫
.
5.5)Từ các bài toán 5.1) và 5.3) ta rút ra bài toán sau:
Cho
)(xf
là hàm số chẵn trên đoạn [
;
α α
−
].Chứng minh rằng:
0
( ) ( )
( )
1 1
x
x x
a f x f x
dx dx f x dx
a a
α α α
α α
− −
= =

b
a
vduvuudv ).(
, ta xem các tích phân trong bài 5.3) là biểu thức
∫
b
a
vdu
để hướng đến tích phân cần tìm là biểu thức
∫
b
a
udv
, ta có các tích phân sau:
a)
∫
−
++=
1
1
3
)1ln()( dxexxI
x
; b)
∫
−
+=
2
2
)1ln(sin

]. Chứng minh rằng :

∫∫
=+
−
αα
α
0
)()1ln()( dxxxfdxexf
x
(với
0
>
α
).
Giáo Viên: Trần Quang Lực
17
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
5.8)Từ bài toán 5.7) thay
te
x
=
, ta có bài toán sau:
Cho
)(xf
là hàm số lẻ trên đoạn [
1;1−
].Chứng minh rằng:
∫∫
=+

e
x
dx
xxxI
1
2
)1ln()1lnln(ln
.
5.10) Từ bài toán 5.7) thay
tx cos=
, ta có bài toán sau:
Cho
)(xf
là hàm số lẻ trên đoạn [
1;1−
].Chứng minh rằng:

∫∫
=+
1
00
cos
)()1ln()(cossin dxxxfdxexxf
x
π
.
5.11) Thay
xxf =)(
vào bài toán 5.10) ta có các tích phân sau:
a)

2
2
sin
)()1ln()(sincos dxxxfdxexxf
x
π
π
.
5.13)Thay
xxf =)(
vào bài toán 5.12) ta có các tích phân:
∫
−
+=
2
2
sin
)1ln(2sin
π
π
dxexI
x
.
5.14)Từ các tích phân
1
1
( )
1
x
f x

( 1)
e
e
f x
I dx
x x
=
+
∫
và
1
(ln )
1
e
e
f x
J dx
x
=
+
∫
, ví dụ :
a)
2
1
ln
( 1)
e
e
x

=
+
∫
;
2
1
1 ln
1
e
e
x
J dx
x
−
=
+
∫
;
c)
2
1
1 ln
( 1)
e
e
x
I dx
x x
+
=

+ −
=
+
∫
;
2
1
ln(ln 1 ln )
1
e
e
x x
J dx
x
+ −
=
+
∫
.
d) Kết quả cụ thể:
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ qua tiết
học, lớp được dạy thử nghiệm 12C3,12C4,12C13.
Đa số các em giải toán đạt đô chính xác cao.
Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em giải toán tích
phân đạt kết quả chính xác cao. Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được
cho những năm học sau.
C- KẾT LUẬN:
Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh hiểu
sâu kiến thức về tích phân, có nhiều bài tập cho các em rèn luyện kỷ năng và phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh các lớp 12C3,12C4,12C13 trường THPT Diễn Châu 4, Tôi

Nhận xét , đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Diễn Châu 4:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo
1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) và các tác giả: Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách
giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008.
2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: Giải tích 12 –
NXBGD,2008.
3. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Môn Toán - NXBGD,1996.
4. Trần Văn Hạo (Chủ biên) và các tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học Giải tích –
đại số tổ hợp-NXBGD,2002.
5. Bộ Giáo dục và Đào tạo :Tạp chí Toán học& Tuổi trẻ-NXBGD.
6. Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An : Kỷ yếu hội thảo đổi mới cách dạy, cách học bộ môn
Toán trung học phổ thông,2008.
MỤC LỤC
Trang
A- MỞ ĐẦU 01
1- Lý do chọn đề tài 01
2- Đối tượng nghiên cứu 01
Giáo Viên: Trần Quang Lực
20
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3- Phạm vi nghiên cứu 01
4- Phương pháp nghiên cứu 02
B- NỘI DUNG 02
1- Cơ sở lý luận 02
2- Cơ sở thực tiễn 03
3- Nội dung vấn đề 03