TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
———————o0o——————–
TRẦN THỊ TUYẾT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT
LÍ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Giảng viên hướng dẫn: TS. TRẦN THÁI HOA
HÀ NỘI, 5 - 2014
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học
tập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của TS. Trần Thái Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận tôi có kham khảo
một số tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: "Phương pháp giải một
số bài tập vật lí thống kê" không trùng lặp với kết quả các đề tài
khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Tuyết
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận, ngoài sự nỗ lực của bản
thân, tôi còn nhận được sự động viên, hướng dẫn chỉ bảo tận tình
của thầy giáo TS. Trần Thái Hoa và những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô trong tổ lý thuyết.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô
trong khoa Vật lý, các thầy, cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt
là sự chỉ bảo tận tình của thầy TS Trần Thái Hoa - giảng viên khoa
Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp tôi hoàn thành
khóa luận này.

1.2.1.2. Bài tập 14
Trang
1.2.3. Công thức phong vũ biểu 18
1.2.3.1 Phương pháp chung 18
1.2.3.2. Bài tập 18
1.2.4. Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ
khí lí tưởng 23
1.2.4.1. Phương pháp chung 23
1.2.4.2. Bài tập 23
1.2.5. Dạng định lí trung bình động năng và định lí
Virian 28
1.2.5.1 Phương pháp chung 28
1.2.5.2. Bài tập 29
Chương 2. Dạng bài tập về thống kê lượng tử
2.1. Cơ sở lý thuyết 32
2.1.1. Hệ lượng tử và tính chất của chúng 32
2.1.1.1. Hệ lượng tử 32
2.1.1.2. Tính chất 32
2.1.2. Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ
lượng tử 33
2.1.2.1. Cách mô tả hệ lượng tử 33
2.1.2.2. Áp dụng phương pháp thống kê vào
hệ lượng tử 35
2.1.3. Các công thức cần nhớ 36
Trang
2.1.3.1. Phân bố chính tắc lượng tử 36
2.1.1.2 . Hàm phân bố chính tắc lớn lượng tử 38
2.2. Dạng bài tập 41
Chương 3. Tích phân trạng thái và ứng dụng
3.1. Cơ sở lí thuyết 45

về một số dạng bài tập môn vật lí thống kê.
3. Đối tượng nghiên cứu
Vật lí thống kê là một trong những môn học thuộc Vật lí lý thuyết
nhằm nghiên cứu hệ vật lí vĩ mô. Vật lí thống kê là bộ môn khoa học
có đối tượng nghiên cứu là những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt
như nguyên tử, iôn và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay
hệ nhiều hạt.
4. Phạm vi nghiên cứu
Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô
1
của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và quy luật chuyển động của
các hạt vi mô cấu trúc thành hệ.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại và chỉ ra phương hướng chung để giải một số dạng bài
tập trong vật lí thống kê.
6. Phương pháp nghiên cứu
Do đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là hệ nhiều hạt mà
đối với hệ nhiều hạt sẽ xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật
thống kê. Do đó, phương pháp nghiên cứu của vật lí thống kê là
phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. Đối với hệ ít hạt
và hệ nhiều hạt nó tuân theo các quy luật khác nhau đó là quy luật
động lực và quy luật thống kê. Quy luật tính động lực: Là quy luật
dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác của một đại lượng đặc
trưng cho một quá trình hay hiện tượng, ta sẽ tính được giá trị của
một đại lượng khác nhờ vào việc giải phương trình Hamiltonion và
quy luật chỉ có giá trị đối với hệ ít hạt. Quy luật tính thống kê: Là
quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, tính cách của hệ nhiều hạt ở
thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước
(ban đầu). Hai quy luật này tuy độc lập với nhau nhưng phụ thuộc
qua lại lẫn nhau. nhiệt động lực học và vật lí thống kê có mối liên

3
lượng là:
E = E(q
1,
q
2
, , p
1
, p
2
, ) = const
+ Thể tích pha:
dx = dq
1
dq
2
dp
1
dp
2

1.1.2. Định lí Liuvin
+ Tại thời điểm t
1
: dx
1
có dn = ρ
1
dx
1

−→
v : vận tốc chuyển động của chất lỏng.
+ Tương tự
- Vận tốc pha là vận tốc của các điểm biểu diễn pha.
- Các thành phần của vận tốc pha là:
.
q
1
,
.
q
2
, ,
.
q
1N
,
.
p
1
,
.
p
2
, ,
.
p
1N
- Mật độ biểu diễn pha: ρ = ρ(q
k

∂ρ
∂t
+

(
.
q
k
∂ρ
∂q
k
+ ρ
∂
.
q
k
∂q
k
+
.
p
k
∂ρ
∂p
k
+ ρ
∂
.
p
k

.
q
k
∂q
k
+
∂
.
p
k
∂p
k
) = 0 (3)
Từ ρ = ρ(q
k
, p
k
, t) ⇒
dρ
dt
=
∂ρ
∂t
+
fN

k=1
(
.
q


= 0 (5)
Mặt khác





˙p
k
= −
∂H
∂q
k
˙q
k
= −
∂H
∂p
k
⇒







∂ ˙p
k

k
+
∂
.
p
k
∂p
k
) = 0 (6)
Từ (5) và (6)
⇔
∂ρ
∂t
= 0 (7)
Hệ quả:
1. Từ (6) ⇒
∂
v
x
∂x
+
∂
v
y
∂y
+
∂
v
z
∂z

=
∂ω
∂t
+

(
.
q
k
∂ω
∂q
k
+
.
p
k
∂ω
∂p
k
) =
∂ω
∂t
+ [H.ω]
Mà
dω
dt
= 0 ⇒
∂ω
∂t
= −[H.ω] phương trình Liuvin

kT

6
Hàm phân bố của mật độ số hạt theo độ cao z:
n(z) = n
0
exp

−
mgz
kT

Ở một nhiệt độ nhất định áp suất của chất khí tỉ lệ với mật độ
⇒ công thức phong vũ biểu biểu
p(z) = p
0
exp

−
mgz
kT

p
0
là áp suất tại z = 0, p là áp suất tại z
1.1.4. Dạng áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ
khí lí tưởng
- Đối với hệ N hạt khí lí tưởng:
H =
N

exp

−
p
2
k
2mθ
−
U
k
(x)
θ

dX
Vậy Z
k
= (2πmθ)
3
2
V (Sử dụng tích phân Poatxông)
Đối với hệ N hạt:
Z =
1
N!
(2πmθ)
3N
2
V
N
(Vì các hạt độc lập nhau)

∂ψ
∂T

V
= kN ln V +
3
2
kN ln T +
S
0
+ Nội năng:
U = ψ + TS =
3
2
NkT
+ Nhiệt dung:
C
V
=

∂U
∂T

V
=
3
2
kN
Đối với 1mol C
V

⇔
E =
1
2
f

k=1
p
k
∂H
∂
p
k
8
- Nội dung định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do:
“Động năng trung bình ứng với 1 bậc tự do là bằng nhau và bằng
1
2
kT ”.
- Ứng dụng của định lí: Đúng với bất kì hệ nào tuân theo thống kê
cổ điển.
- Đối với một bậc tự do của dao động:
¯
E =
¯
H = ¯ε +
¯
U
Mà ¯ε =
¯

kT ”.
- Định lí trung bình động năng và định lí Virian thường áp dụng để
tính năng lượng trung bình của một chuyển động bất kì.
1.2. Dạng bài tập
1.2.1. Không gian pha
1.2.1.1. Phương pháp chung
- Xác định số bậc tự do của 1 hạt và không gian pha của hạt.
- Chọn trục tọa độ suy rộng.
- Viết phương trình Hamintơn cho mỗi hạt.
9
- Dùng phương trình chính tắc (hoặc các phương trình chuyển
động) để tìm ra phương trình của q, p suy ra quỹ đạo của hạt.
- Vẽ quỹ đạo, thể tích pha (nếu cần).
1.2.1.2. Bài tập
Bài 1
Viết phương trình quỹ đạo pha của hạt khối lượng m dao động
điều hòa ba chiều độc lập với các tần số tương ứng ω
1
, ω
2
và ,ω
3
. Biết
ở thời điểm đầu trạng thái của hạt nằm ở điểm (p
x0
, p
y0
, p
z0
,x

1
2
mω
2
y
2
+
1
2
mω
3
z
2
+ Sử dụng phương trình Hamillton
˙p
k
= −
∂H
∂q
k
; ˙q
k
=
∂H
∂p
k
Với p
k
, q
k

cos(ω
1
t + ϕ) ⇒
x
2
x
2
0
+
p
2
x
p
2
x0
= 1
Phương trình của quỹ đạo pha sẽ là
x
2
x
2
0
+
p
2
x
p
2
x0
=

x
2
0
+
p
2
p
2
0
= 1
Bài 2
Hãy chứng minh rằng thể tích của không gian pha Γ của khí lí
tưởng đơn nguyên tử gồm N hạt chứa trong thể tích V bằng:
Γ = constV
N
(2m)
3N/2
E
3N/2
Trong đó m là khối lượng của một hạt và E là năng lượng của hệ N
hạt.
Giải
Số trạng thái vi mô của 1 hạt trong thể tích pha
dX = dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
Nếu kể đến nguyên lí bất định:

=
dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
h
3
Số trạng thái vi mô nằm trong thể tích V có:
p
x
→ p
x
+ dp
x
, p
y
→ p
y
+ dp
y
, p
z
→ p
z
+ dp
z
dn (p
x

2m
⇒ 2pdp = 2mdE
→dp =
m
p
dE ⇔ dp =
mdE
√
2mE
=
√
mE
E
√
2
dE
dp
x
dp
y
dp
z
= 4π2mE
√
mE
E
√
2
dE⇔dΓ = 4π
√

EdE
⇔ Γ = V 4π
√
2m
3
/
2
2
3
E
3
2
=
4
3
πV

(2mE)
3
Vậy đối với một hạt ta có:
Γ =
4
3
πV

(2mE)
3
Đối với N hạt mà ta xét:
dΓ = dΓ
1

3
π

N
(2mE)
3N
2
Hay Γ = constV
N
(2mE)
3N
2
(đpcm)
1.2.2. Định lí Liuvin
1.2.2.1. Phương pháp chung
- Xác định số bậc tự do f suy ra số chiều của không gian pha.
- Chọn tọa độ và xung lượng suy rộng.
- Xác định hình dạng và thể tích pha ban đầu.
- Xác định thể tích pha ở thời điểm ban đầu và thời điểm t:
dΓ
0
, dΓ .
- Chứng minh dΓ = dΓ
0
có thể dùng phương trình động học hay
dùng phép biến đổi Jacôbiên.
1.2.2.2. Bài tập
Bài 1
Kiểm nghiệm lại định lí Liuvin đối với chất điểm chuyển động
trong trường trọng lực có gia tốc g = const.

B → B
′
(q
D
′
, p + dp)
Nguyên tố thể tích pha ở thời điểm t là: dΓ = dqdp
Trong đó:
dq = q
B
′
− q
A
′
dp = p
D
′
− p
A
′
Ta có:
q
A
′
= q
A
+
p
A
m

0
+
p
0
m
t + g
t
2
2
Suy ra
q
B
′
− q
A
′
= dq
0
→ dq = dq
0
(1)
Ta còn có:
p
D
′
= p
D
+ mgt = p
0
+ dp

= DC,
A
′
B
′
= AB,
D
′
C
′
//A
′
B
′
14
Vì vậy A
′
B
′
C
′
D
′
là hình bình hành.
Vậy thể tích pha không đổi nhưng hình dạng lại thay đổi.
Bài 2
Nghiệm lại định lí Liuvin đối với chuyển động của ba hạt trong
trường trọng lực không đổi. Trạng thái ban đầu của chúng được cho
bởi các điểm pha.
A (z

ab
⇒ dΓ
0
=
1
2
ab (3)
Xét tại thời điểm t:
A → A
′
(z
1
, p
1
)
B → B
′
(z
2
, p
2
)
A → A
′
(z
3
, p
3
)
Chọn chiều dương hướng xuống dưới

2
= z
1
+ a
z
3
= z
0
+
p
0
+ b
m
t +
1
2
gt
2
= z
1
+
b
m
t
15
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác theo các đỉnh
S =
1
2


1
z
2
+ z
1
p
3
+ p
2
z
3
− z
2
p
3
− p
1
z
3
− z
1
p
2
)
=
1
2




+
b
m
t

− z
1
p
1





Hay là
S =
1
2
ab ⇒ dΓ =
1
2
ab (4)
Từ (3) và (4) suy ra dΓ = dΓ
0
=
1
2
ab
Do ban đầu A, B cùng vận tốc v
0

nằm trong trường trọng lực (g
là gia tốc trọng trường). Tìm phân bố các hạt theo độ cao z và suy
ra công thức phong vũ biểu.
Giả sử nhiệt độ không khí là 0
0
C và coi không khí như một chất khí lý
tưởng có phân tử lượng là 29. Cho gia tốc trọng trường, số Avogadro
N
A
= 6, 022.10
23
mol
−1
, hằng số Boltzman k
B
= 1, 38 .10
−23
J/K, sử
dụng công thức phong vũ biểu để tính tỉ số giữa mật độ không khí ở
độ cao 100m và mật độ không khí ở sát mặt đất.
Giải
+ Khí lý tưởng tự do là một hệ không tương tác.
+ Năng lượng của khối khí là tổng năng lượng của từng hạt
E =
N

i=1
E
i
=

dX
= co ns t. exp

−
E
1
kT

dX
1
exp

−
E
N
kT

dX
N
=

A exp

−
ε
kT

dV dp
x
dp

y
+ p
2
z
2mkT

dp
x
dp
y
dp
z
17
Hay
ω(p
x
,p
y
,p
z
) = A exp

−
p
2
x
+ p
2
y
+ p


dz ⇒ ω( z) =
dW(z)
dz
= B exp

−
mgz
kT

Số hạt nằm từ độ cao z đến z + dz bằng
dn(z) = n(z)dz = NdW(z) = Nω(z)dz
. Ở đây N là số hạt toàn phần của khối khí.
Suy ra
n(z) = n
0
exp

−
mgz
kT

là phân bố số hạt theo độ cao z.
Vì ở một nhiệt độ xác định áp suất chất khí tỉ lệ với mật độ , ta
suy ra công thức phong vũ biểu:
p(z) = p
z=0
exp

−

B
T

Cứ N
A
phân tử (1 mol) thì có A gram, vì vậy 1 phân tử sẽ nặng
(vì tính ra kg nên A phải nhân với 10
−3
)
m =
A
N
A
=
29
6, 022.10
23
≈ 4, 816.10
−23
g
Suy ra
ρ = exp

−
10
−3
Agz
k
B
N

p
z
= p
0
exp

−
mgz
kT

⇔
p
z
p
0
= exp

−
mgz
kT

Theo đầu bài ta có:
p
z
p
0
=
1
3
⇔