Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

1

(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2013)



Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

2

MỤC LỤC LÝ TUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……………………………………………………………….1

MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ………………………………………………………………………………….8

Dạng 1……………………………………………………………………………………………………….8

Loại 1: ………………………………………………………………………………………………………9

Loại 2: …………………………………………………………………………………………………… 11

Loại 3: …………………………………………………………………………………………………… 17

Loại 4: …………………………………………………………………………………………………… 22

Loại 5: …………………………………………………………………………………………………… 31


Cho hai hm s
( ), ( )
u x v x
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú

' '
' ' ' '
uv u v uv uv dx u vdx uv dx


( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv



b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu


.
Ta cú cụng thc:

1
b b
b

=

b
a
dxxfxf .)().(
21

Bc 2: t:


1
1
2
2
( ) '
( )
( )
( )
du f x dx
u f x
dv f x dx
v f x dx










khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu

phi n gin hn tớch phõn
b
a
udv


Cỏch 2:
Phõn tớch
'
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx


v s dng trc tip cụng thc (2)

- Nhn dng: s dng tớch phõn tng phn thỡ du hiu thng gp ú chớnh l tớch ca hai loi
hm s khỏc nhau (ụi khi l tớch ca cựng mt loi hm)
- í ngha: Phng phỏp TPTP nhm a tớch phõn phc tp v tớch phõn n gin hoc kh bt
hm s di du tớch phõn (cui cựng ch cũn li 1 loi hm s di du tớch phõn)
- Cỏch t hp lý: nh nhanh cỏc dng ny ta khi t cho
u

;
cos
x
;
tan
x
hoc
cot
x
), t
m (hm s m gm
x
a
hoc
x
e
) Vi a thc s m õm, khụng nguyờn ta vn xp vo a thc

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

4
- Đối với nguyên hàm còn lại
vdu


x
là có nguyên hàm nên ta sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
    
thì lấy nguyên hàm được
Ta biến đổi
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x




Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv

- Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1 1
(tan ) tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx x
x
  
 
 
 
       
 
 
  

- Đừng quên
1
2
trước dấu tích phân nhé
Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau
2
1
3

 
 

 
 
 

Khi đó
1 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2 2 2
t t t t
e
I te dt te e dt e
     
 
(sử dụng công thức 2)
Chú ý:

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:


 
 
4 4 4
2
0 0 0
2cos 1 2 1 cos2 1 cos2
I x x dx x dx x xdx
  
     
 
 
  

Đặt
sin 2
cos2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v






 


ln
32
e
e
I x xdx

 


Giải:
Đặt
2
4
3
2ln
ln
4
dx
du x
u x
x
x
dv x
v





 

ln .
e
I x x dx


. Đặt
3 4
ln
4
dx
du
u x
x
dv x
x
v







 








Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln
e
x
I dx
x



Giải:

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

6
Đặt
2
ln
2ln
ln
dx
u x

x
   


Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được
1
3
I


Chú ý:
- Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số
Đặt ln
dx
t x dt
x
   . Đổi cận
1
1 0
x e t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
1

t
t
e x
t x
e dt dx



 




sau đó mới TPTP
Ví dụ 2: Tính tích phân sau
4
2
0
(sin cos 1)
(1 cos )
x
e x x
I dx
x

 








Đặt
 
2
sin
1
1 cos
1 cos
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
v
x
x







 


 

4
1
2
2
1
2
e
I

 


Chú ý:
Nếu như ta tính đồng thời
1 2
và
I I
thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính
1
I
hoặc
2
I
để
làm triệt tiêu đi
2
I
hoặc
1
I

x
I dx
x
 



Giải:
Cách 1:
Ta có
3
2
1
1 ln( 1)
x
I dx
x
 


=
3 3
2 2
1 1
1 ln( 1)
x
dx dx
x x



 
2
1
ln 1
1
1
1 1
1
u x
du dx
x
x
dv dx
v
x
x x

  


 


 


 
    



I   
Trong bài này chọn C = -1 để dễ tính tích phân
vdu

. Chúng ta vẫn có thể làm bình thường nhưng
tích phân còn lại là tích phân hàm phân thức với mẫu có hai nghiệm đơn phân biệt
Các em có thể chọn
1
v
x
 
thì khi đó
Đặt
 
2
1
ln 1
1
1
1
u x
du dx
x
dv dx
v dx
x
x

  


 
         
 
 
 
     

  

Vậy
2 1 3
ln 2 ln
3 3 2
I   
Cách 2:
Đặt
 
2
1
1 ln 1
1
1
1
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x

 
3 3
1 1
1
1 ln( 1) ln
1
x
x
x x
   

=
2 2
ln2 ln3
3 3
 

Ví dụ 2: Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
I dx
x





x


 



 


 


 
  




Khi đó
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
I x x x dx
x



với


n
P x
là một đa thức bậc n và
 
2 2
1 1
; ;sin ;cos ; ,
cos sin
x x
x x
x
Q e
x
x
a
 hoặc các hàm này cộng thêm một hằng số thì cách đặt vẫn tương tự
Đặt


 
n
P x
Q x dx
u
dv

 

Đặt


 
n
Q x
P x dx
u
dv






(nếu


ln
n
Q x x

ta phải tính n lần tích phân)
- Khi







1;
k
n
P x Q x x
 
cho đơn giản)
Chú ý:
Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích
phân ban đầu)
Để nhớ nhanh các dạng này ta khi đặt cho u theo quy tắc


ln sin
x
x x x e
  
Đọc là Nhất lô (hàm logarit), nhì đa (hàm đa thức), tam lượng (hàm lượng giác), tứ mũ (hàm số mũ) Loại 1: Khi
 
2 2
1 1
;
cos sin
Q x
x x


sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 
 





Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
 
3 3
2
4 4
9 4 3
1 1 3
3 3
cot cot . ln sin ln
3 36 2 2


Bài 2: Tính tích phân sau
3
2
0
cos
x
I dx
x




Giải:
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x







x
  

 

 
      
   
   

Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
 
3 3
2
0 0
tan
cos
x
I dx xd x
x
 
 
 Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau
1
2

 







Hoặc

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

10
- Tách thành tổng hai tích phân
1 2
3 3 3
2 2 2
0 0 0
sin sin
cos cos cos
I I
x x xdx x
I dx dx
x x x

0
1
ln2
1 cos2 8 4
x
I dx
x


  



HD:
Sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
    

Khi đó
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x

0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ln ln 2
4 4
2 2 2 4 8 42cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx
x
  
 
 
 
       
 
 
  

Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:
 
1
2
0
tan tan1 ln cos1 0,5
I x xdx   


HD:
Phân tích
1 1



Chú ý: Công thức
2
2
1
tan 1
cos
x
x
 

Bài 4: Tính tích phân sau:
2
0
1 sin 2
xdx
I
x





HD:
Biến đổi
2
1 sin 2 1 cos 2 2cos
2 4
x x x

P x
)
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) :





( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos
p x x A x B x A x B x
 
   

Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)