GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN NĂM 2015
1)
I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
0
2 cos 2 .sin 4
x x
x xdx
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
x x
dx
x
7) I =
2
0
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
11) I =
2
2 2
4
cos2
x
dx
x
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
15) I =
3
2 2
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
18) I =
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
22) I =
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
x x
dx
26) I =
1
2
0
1 6 3
x x dx
27) I =
1
2
1
1
1 1
dx
x x
x
x
x x x
e dx
x
30) I =
4
2
0
tan
x xdx
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
I dx
x
34) I =
23
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
35) I =
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
2
1
1
x
x
x e dx
x
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
dx
e e
40) I =
1
4 2
1
3
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM H D GIẢI:
1)
I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
1
2
1
1
1
dt
t
. Đặt t =
3
tanu
=> dt =
3
(1+tan
2
u)du. Đổi cận => I =
3
9
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
cot
cot
2 4 2
sin
sin
4
4
x x
dx dx I I
x x x
I dx dx dx
x x
x
u x
du dx
x
I x x
dv dx
v x
x
x
4
0
4
4
dx
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
Vậy I =
1 2
2
4
I I
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
2
2 2
2
2 . 2 2
1 2 1 6 1
ln 1 ln 2 3
3
2 2 2 2
t t
tdt dt dt dt
I dt
t t
t t t t t t t
t
t
t
4) I =
3
2 2
4
dx
x x x x x
x
x d x x x
5) I =
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
. Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận
2 2 2
1
1 1 1
2 1 .2 2
t t t
I t dt t dt dt
. Đặt:
2
2
ln 2
t
t
du dt
u t
dv dt
v
Tính:
4
4
2
0
2sìn2x.cos 2
I xdx
4
4 5
4
0
0
1 1
cos 2 cos2 cos 2
5 5
xd x x
0
2 2
4 4
2 2 2
0
3 3
sin sin
sin sin
cos cos cos
x x
x x
dx dx dx
x x x
0
4
0
4
2 2
0
3
0
3
1 1
e dx
x
=
2 2 2 2
2
0 0 0 0
sin . 1 sin
1 cos 1 cos 2 1 cos
cos
2
x x x
x
e dx x e dx e x
I dx e dx
x
x x x
2 2
2 2
0 0
2sin .cos
1
Tính: I
1
=
2
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
x
Đặt
2
1
2tan
cos
2
2
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
2
1 2
I I I e
8) I =
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
x x
=
2 2
x
dx
x
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
I
3
3
1 sin
dx
x
=
2
3
2
3
sin cos
2 2
dx
x x
2
2
3
3
2
Vậy I =
4 2 3
3
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
=
2
2
6
3
sin . cos
2
x xdx
0
3 3 1 3
cos 1 cos2 sìn2u 2
4 4 2 16
udu u du u
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
6
0
0
tan
2 2 ln tan 1
tan 1
d x
x
x
3 3
2 ln
3
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
3 cos 4 sin
x x
dx dx
x x
= I
1
+I
2
Tính: I
1
=
2
2
0
sin
3
3 cos
x
dx
x
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
x
dx
x
= - 4
2
2
0
0
sin
sin 2
ln
sin 2 sin 2 sin 2
d x
x
x x x
= ln3
Vậy I =
3
Đặt t = x +
4
=> dt = dx
Đổi cận => I =
3
4
3
2
2 2 2 2
7 sin . .cos 5 cos . sin .
2 2 2 2
1
sin
2 2
t t t t
dt
t
3
4
2
2
1 3
2
2 2sin t
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
x
x
=> I = -
2
6
2
0
tan 1
tan 1
x
dx
x
Đặt t = tanx => dt = ( tan
2
x + 1) dt, đổi cận
I = -
1
1
3
3
2
2 2
1 2
0 0
cos
.cos
2 3sin 1
x
I dx x xdx I I
x
* Tính I
1
=
2
1
0
cos
2 3sin 1
x
I dx
x
3 3 4
I
* Tính
2
2
0
.cos
I x xdx
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
2
2 2
2
0 0
0
.sin sin cos 1
2 2
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
15) I =
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
x x
:sin 3 cos 2sin( )
3
Do x x x
nên I =
2
3
0
1 sin
8
sin
3
sin cos
1
2 2
8 sin
t t
dt
t
=
5
5
6
6
3
3
1 3
cot cot cot
16 16
t td t
=
2
6
cos
6 6
2
3
sin .cos
6
x
dx
x x
2
sin
3
cos
6
x
x
dx
x
x
2
1
sin 3 cot 1
2
x x
Nên I =
2 2
2
6 6
3 cot 1
1 1 2
2 .
sin
3 cot 1 3
3 cot 1
d x
dx
x
x
x
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
Đặt t = lnx =>dt =
1
dx
x
, đổi cận
I =
1 1
3
2 2
2 2
0 0
1
4 4
2
4 4
t
dt t t t dt
t t
Đặt t =
2 2
4 ln 4 ln
x x
2 2 4
8 2 16 8 2 16 ln
t x t x
4 2 4 4 2 4
64 16 4 16 ln 4ln 16
t t x x t t
3 3
ln
2
4
x t
dx t dt
x
,đổi
cận => I =
dx
x x x
=
2
2
0
1 1
1 1 3
x
dx
x x
2 2
1 2
2
2 2
0 0
1
(1+ tan
2
t)dt, đổi cận
2
3
1
2
6
3 1 tan
3
18
3 1 tan
t
I dt
t
Tính: I
2
=
Vậy I =
3 3ln3
18
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
x e
dx
x e
I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2015
2015
2013
2013ln
e
e
e
t
dt t t
t
3 2013
3 2 2013ln
2015
e
e
20) I =
Tính
I
1
=
3
1
2
0
.
x
x e dx
Đặt t = x
3
=> dt = 3x
2
dx => I
1
=
1
0
1 1
3 3
t
e
e dt
1
4 . 4 1 4 4
1 1 3 1
t t dt
I t dt t dt t
t t t
8
4
3
J
Với
1
2
0
1
dt
J
t
Vậy I =
9 3
3
e
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
I =
2
2 2
2
sin
0
2 sin . sin
x
x e d x
Đặt
sin
sin
sin
cos
sin
x
x
u x
du dx
dv e d x
v e
2
2
2
0
sin .cos
2cos 8
x x
dx
x
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận
I
2
=
1
1 1
2
2 2
0 0
0
1 1 4 1 1 2 1 ln3
1 ln
2 4 2 4 2 2 2 2 2
t t
dt dt
t t t
cos
x x x
e dx e dx x e dx I I I
x
Tính: I
1
=
4
2
0
1
.
cos
x
e dx
x
Đặt
2
1
tan
cos
x
x
u e
Tính: I
2
=
4
4
4
0
0
1
x x
e dx e e
Vậy I = 1
23) I =
1
1
2 ln 1
ln
e
1 1 1
1
t t t
t t t
e t e e
dt dt dt J
e e t e t
Tính:
J =
1
0
1
t
t
e
dt
e t
Đặt u =
Đặt
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
8
8
3
2
– 1, đổi cận
3
2
2
.2
1
t
J tdt
t
3
3
2
2
1 1 1
2 2 ln
1 1 1
t
dt t
t t t
2 9 3
2
x x x
x x
x
x
I dx dx
1
0
2
2 9 3.2 2
x
x x
dx
Đặt
2
2
25 2
3.2 2 3.2 2 2 9 2
3 3ln 2
x x x x
1 3 2 1 9
ln ln .ln
5ln 2 7 3 5ln 2 14
26) I =
1
2
0
1 6 3
x x dx
1
2
2
0
2 3 1
I x
dx Đặt
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
0
3
2 1 2 1 3
sin 2
2 3 2 2
3 3
t t
Vậy
2 1
2
3 3
I
2 2
x x
dx dx
x x
1 2
I I
Tính:
1
1
1
1
1
1 1 1
1 ln 1
2 2
I dx x x
x
1 1
1 2
2
2
0 0
1
10 3 10 3
1
1
x
dx dx I I
x
x
1
2
1 1
2
0
; 1 2 1
1
x
I dx t x I
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
2
2
2
cot cot 1
2
4
3
1
2 1 1
t
dt u du I t e dt
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
3
3
2
1
1
1
1 1
t t
t t
u t du dt
dv e dt v e
I e t e dt e e
4
2
0
2
1
. ;
1
tan
cos
cos
u x
du dx
J x dx
v x
x
dv dx
x
ln 2
4 2 32
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
1
2
2
2
3
2
4
3 3
2
4 4
2
; tan 2 tan
1
tan
cos
cos
u x
du xdx
x
M dx M x x x xdx
v x
x
dv dx
9
16
e e
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
Đặt
2 .ln 2.
2
1
cos4
sin 4
4
x
Đặt
2 , 2 ln 2
sin 4
1
cos4
4
x x
u du dx
dv xdx
v x
2
2
0
0
ln 2 1 ln 2 1
.2 .cos 4 . .ln 2. 2 .cos4
2
2
2 1 .ln 2
16 ln 2
I
33)
3
2
2
1
ln
1
2 2
3 3
3
12 2 2
1 1
1
1 1 ln3 1
.ln
2 20 2
2 1 1 1
x x
dx
I x dx
ln3 ln3 1 9ln3 1
ln 1
20 2 4 1 20 4
d x
x
x
9ln3 ln5 9ln3 5ln5
20 4 20
34) I =
23
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
Đặt t = lnx => dt =
1
dx
x
1
2
1
2
2
0
0
1 2 1 2
.ln 1 ln 2
3 3 1 3 3
t
I t t dt J
t
Vậy
2 ln 2 2
6
I
35) I =
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
1
2
0
.
1
x
x e
J dx
x
2
.
1
1
1
1
x
x
u x e
du e x dx
dx
dv
v
Vậy I = 1
36)
4
2
2
0
.log 9
I x x dx
2
2
2
2 2
4
4
2
2
2
0
0
2
9 ln 2
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
* Cách khác: t = x
2
+ 9
=> I =
25 25
25
9
9 9
1 25ln5 9ln3 8
ln .ln
2ln 2 2ln 2 2ln 2 ln 2
t t
tdt t dt
37) I =
1
3
2
1
4 3
1 1
3 3
1
1
x x
x
I dx dx
x x
Đặt
3 2
3
2 2 3
1 1 3
1 1
2
dx
t t t dt
x x x
,đổi
cận =>
1
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
=
1 1
1 1
1 1
2 2
1
x x
x x
e dx x e dx J K
x
1
5
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
.
2
x
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
dx
e e
Đặt t =
2
3 3
x x
e t e
,
2
x
tdt e dx
,đổi cận
3 3 3
2
2
ln 3 2ln
x x x dx
Do: ln( x
4
+ x
2
) -2lnx = ln [ x
2
.( 3x
2
+1 )] – lnx
2
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
= ln( 3x
2
+ 1 ), nên I =
1
2
1
3
ln 3 1
x dx
1
2
1
2
1
2
1
3
3
6 4ln2 ln3
.ln 3 1
3 1 3
x
I x x dx J
x
1 1 1
2
1
1
2
2 2
3
1 1 1
2
3 tan 3 1 tan
x t dx t dt
2
3
2
6
1 1 tan 4
1 tan 3
3 6 3 3 3
t
K dt J
t
Vậy
12ln2 3ln3 12 3
9
I
x x
u x e
du dx
e
dx
dv
v
x
x
1
1
1
1 1
0 0
0
1 2
. 1
x x x
J x e e dx e
e e
Vậy I =
3
e
e
42)
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
WWW.VNMATH.COM
2
1
1
1 1 1
e
e
e
A dx
x x e
2 2
1 1
1
1
1
ln 1
1
Copyright: Tài liệu đại học ©