SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
***********
GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
THÔNG QUA BẢNG TÓM TẮT LỜI GIẢI
Môn: TOÁN
Khối, lớp: 8, 9
PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN TỨ KỲ
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ
1
GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
THÔNG QUA BẢNG TÓM TẮT LỜI GIẢI
Môn: TOÁN
Tên tác giả: VŨ THÀNH KHỞI
Đánh giá của nhà trường 2
Số phách
Số phách
GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
THÔNG QUA BẢNG TÓM TẮT LỜI GIẢI
Môn: TOÁN

học sinh tự thiết lập hệ phương trình và phương trình trong “Giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình và phương trình” được đề cập ở toán 8, toán 9
II- cơ sở thực tế
Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 8, lớp 9 phần đại số, đồng thời qua
quá trình kiểm tra, đánh giá sự tiếp thu của học sinh về sự vận dụng kiến thức vào
“Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”. Tôi nhận thấy, mặc
dù học sinh nắm lý thuyết, các bước giải bài toán rất chính xác nhưng việc thiết lập
hệ phương trình và phương trình của bài toán gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí
không thiết lập được.
Mặc dù biết đây là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi lẽ từ trước
đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc
4
giải hệ phương trình, phương trình có sẵn, mặt khác do tư duy còn hạn chế nên các
em rất khó khăn trong việc phân tích đề bài, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các đại
lượng, các yếu tố trong bài toán nên không thiết lập được hệ phương trình hoặc
phương trình.
Do vậy việc hướng dẫn và giúp các em lập hệ phương trình- phương trình để
giải toán, ngoài việc nắm vững lý thuyết thì các em phải biết vận dụng lý thuyết
vào thực hành. Phải phát huy tính tích cực, khả năng sáng tạo ở mỗi người, mỗi đối
tượng học sinh.
Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước hoàn thiện phương
pháp giảng dạy của mình, bản thân tôi phải thực hiện từ những mảng kiến thức nhỏ
nhất. Từ suy nghĩa đó tôi mạnh dạn đưa ra đề tài “Giúp học sinh thiết lập hệ
phương trình – phương trình từ các bài toán thực tế thông qua bảng tóm tắt lời
giải”.
B- giải quyết vấn đề
5
Xuất phát từ thực tế các em học sinh ngại khó khi hiết lập hệ phương trình –
phương trình trong “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”.
Tôi thấy cần phải tạo cho các em niềm say mê, khai thác hết tính tích cực, tư duy

*) HD thiết lập bảng: Học sinh cần trả lời câu hỏi
? Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng toán thiết lập phương trình hay hệ
phương trình (dạng lập phương trình )
? Bài toán có những đại lượng nào tham gia, thông thường thì đại lượng đó
chọn làm ẩn
? Trong bài toán có sự biến đổi nào
? Quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện như thế nào(theo <1>và <2>)
Bảng tóm tắt:
Số hàng chục Số hàng đơn
vị
Số cần tìm
Số ban đầu 0 < a
≤
9 ,a
∈
N 0 <b
≤
9,b
∈
N
10ab a b= +
Số sau khi đổi b a
10ba b a= +
Quan hệ 2b – a =1
27ab ba− =
Chú ý: Quan hệ <1> đưa ta đến phương trình : 2b – a =1
Quan hệ <2> đưa ta đến phương trình :
27ab ba− =
Ta có hệ phương trình :
2 1

? Quan hệ nào tạo nên mối liên hệ giữa các đại lượng (theo (1) và (2))
Bảng tóm tắt:
Số ban đầu Số sau khi bình phương
Số hàng đơn vị
0 7,x x N≤ ≤ ∈
x
2
Số hàng chục x+2 (x+2)
2
Quan hệ
( 2)x x+
=10(x+2)+x
x
2
+(x+2)
2
=10(x+2)+x-19
Chú ý: phương trình thiết lập: x
2
+(x+2)
2
=10(x+2)+x-19
2x
2
-7x+3 = 0
2. Toán chuyển động.
Với dạng toán chuyển động đều, học sinh cần nắm rõ quan hệ quãng đường
(S),thời gian(t), vận tốc(v) : S= v.t
a)Ví dụ 1:
Hai người cùng đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km cùng xuất

=
1
2
Chú ý: Phương trình cần lập :
30
3x −
-
30
x
=
1
2
 x
2
- 3x - 180 = 0
b) Ví dụ 2:
Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời
gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc
của xuồng biết rằng vận tốc của dòng chảy 3km/h ?
*) Tóm tắt: Một xuồng máy
Xuôi 30km
Ngược 28km => hết thời gian bằng thời gian của xuồng đi 59,5km
Vận tốc của dòng nước 3km/h
? Tính vận tốc của xuồng khi nước yên lặng
*) HD thiết lập bảng : Học sinh cần xác định rõ đay là dạng toán chuyển động
xuôi, ngược có sức cản , nên có :
V
xuôi
= V
thực

3x +
+
28
3x −
Chú ý: Phương trình cần lập
59,5
x
=
30
3x +
+
28
3x −
4. Dạng toán liên quan đến hình học.
Đối với dạng toán hình học, học sinh cần nắm được các công thức tính chu
vi, diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tam giác…
+ Hình chữ nhật cạnh a, b có: P = (a+b)2 và S = a.b
+ Hình vuông có cạnh a thì : P= 4a và S= a
2
+ Hình thang có cạnh đáy a, b và đường cao h thì : S =
( )
2
a b h+
+Tam giác vuông cạng góc vuông a, b cạnh huyền c thì : P= a+ b+ c và S =
2
ab
+ Tam giác cạnh a,b,c các đường cao tương ứng h
a
, h
b

Chiều rộng (m) Chu vi (m) Diện tích (m
2
)
Lúc đầu 4<x < 140 4 <y <140 280=2(x+y) x.y =S
Sau khi có
lối đi
x - 4 y - 4 …………. (x-4)(y-4) =4256
Chú ý : Hệ phương trình thiết lập
2( ) 280
( 4)( 4) 4256
x y
x y
+ =


− − =

b)Ví dụ 2:
Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém
nhau 2m .Tính các cạnh góc vuông của tam giác đó ?
*) Tóm tắt: Tam giác vuông có
+ Cạnh huyền là 10m
+Cạnh góc vuông lớn hơn cạnh nhỏ 2m
? Tính hai cạnh góc vuông
*) HD lập bảng: Ta xẽ thiết lập phương trình từ bài toán
? Bài toán yêu cầu ta tìm đại lượng nào (2 đại lượng=> số cột của bảng)
? Quan hệ giữa các đại lượng (Thiết lập phương trình )
Bảng tóm tắt. ( Gọi cạnh góc vuông lớn là x)
Lúc đầu (m) Khi bình phương (m
2

+Vòi I chảy trong 10’, vòi II chảy trong 12’ được
2
15
bể
? Nếu chảy riêng mỗi vòi sau bao lâu thì đầy bể
*) HD thiết lập bảng :
Học sinh cần định hình số cột số dòng của bảng theo các đối tượng, đại
lượng tham gia trong bài toán.
? Có mấy đối tượng cần tìm
? Năng suất chẩy của mỗi vòi trong 1’
? năng suất thực tế của mỗi vòi
Bảng tóm tắt: (Gọi x, y là thời gian vòi I, vòi II chẩy riêng để đầy bể)

Thời gian
chảy đầy bể
(phút)
Năng suất
chảy trong
1’(phần bể)
Năng suất thực tế
(phần bể)
Vòi I 80 < x
1
x
10
x
12
Vòi II 80 < y
1
y

V
(M khối lượng riêng, m khối lượng, v thể tích)
*)Ví dụ:
Người ta trộn 8g chất A với 6g chất B có khối lượng riêng nhỏ hơn 0,2g/cm
3
để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 0,7g/cm
3
. Tìm khối lượng riêng
của mỗi chất ?
*) Tóm tắt:
Trộn 8g chất lỏng A với 6g chất lỏng B có khối lượng riêng nhỏ hơn
0,2g/cm
3
.
=> được một hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm
3
.
? Tính khối lượng riêng của từng chất
*) HD thiết lập bảng :
? Có những đối tượng nào tham gia bài toán (hình thành số cột)
Mối quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện như thế nào? (Hình thành
phương trình)
? Thể tích của chất A được tính như thế nào
? Thể tích của chất B được tính như thế nào
? Thể tích của chất lỏng
Bảng tóm tắt :
Khối lượng riêng
(g/cm
3
)

Bài 1: Cho một số có hai chữ số, hiệu hai chữ số của nó là 6. Lấy số đã cho chia
cho số viết theo thứ tự ngược lại ta được thương là 2 và số dư là 26. Tìm số đó?
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của các chữ số là 9. Nếu viết các
chữ số theo thứ tự ngược lại ta được một số bằng 2/9 số ban đầu.
Bài 3: Hai người khách du lịch xuất phát từ hai thành phố khác nhau cách nhau
38km. Họ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Hỏi vận tốc cuả mỗi người,
biết rằng đến khi gặp nhau người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2km.
Bài 4: Một chiếc ca nô xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng
trong 4 giờ được 380 km. Lần khác, ca nô nay đi xuôi dòng trong 1 giờ và ngược
dòng trong 30 phút được 85 km. Hãy tính vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng
nước (hai lần ca nô đi cùng một vận tốc).
Bài 5: Một ca nô xuôi dòng sông 39km, rồi ngược dòng 28 km hết một thời gian
bằng thời gian nó đi 70 km trong hồ nước yên lặng. Tính vận tốc của ca nô trong
nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 3km/h.
Bài 6: Một ô tô đi từ A đến B theo dự tính mất 5 giờ. Nhưng khi đi được 56 km nó
dừng lại 10 phút. Để đến B đúng thời gian dự tính ô tô phải tăng vận tốc thêm
2km/h. Tính khoảng cách AB.
Bài 7: Một hình thang có diện tích 140 cm
2
, chiều cao bằng 8 cm. Tính độ dài các
đáy cuả hình thang, biết rằng chúng hơn kém nhau 15cm.
Bài 8: Hai cạnh của một hình chữ nhật hơn kém nhau 6 cm. Diện tích của nó bằng
40 cm
2
. Tính các cạnh của hình chữ nhất đó.
14
Bài 9: Một vườn hoa hình tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy tương ứng. Nếu
tăng chiều cao 3 cm và thu hẹp đáy tương ứng 2 m thì diện tích vườn tăng thêm
24m
2

gặp các bài toán liên hệ thực tế.
15
- Với học sinh trung bình, nhiều em đã bước đầu định hình lời giải, có khả
năng tự thiết lập phương trình và hệ phương trình cho bài toán dưới sự giúp đỡ nhỏ
của giáo viên.
- Đối với học sinh Khá, Giỏi 100 % các em đã giải thành thạo dạng toán
“Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình”.
- Qua nghiên cứu và dạy thực nghiệm trong 4 năm học tôi có thống kế kết
quả cụ thể (tỷ lệ % học sinh đạt yêu cầu khi giải các bài toán bằng cách lập hệ
phương trình – phương trình).
2005-2006 2006-2007 2007-2008 2008-2009
Học sinh trung bình 0% 1,2% 3,75% 10,3%
Học sinh khá - giỏi 57% 65,7% 75,2% 89,3%
V- điều kiện áp dụng và bài học kinh nghiệm:
1- Điều kiện áp dụng:
Cách làm như trên của tôi có thể áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh,
cho hai khối lớp 8 và khối 9. Đặc biết rất phù hợp cho việc phát triển tư duy, sáng
tạo của học sinh, rèn khả năng liên hệ thực tế tốt đối với học sinh. Góp phần tích
cực vào việc hoàn thiện kỹ năng giải bài toán cho học sinh.
2- Bài học kinh nghiệm:
Việc áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy có hiệu quả thì người giáo viên
càn lưu ý:
- Dành nhiều thời gian để tìm hiểu kiến thức về “Giải bài toán bằng cách lập
hệ phương trình – phương trình”, phân loại các bài toán theo dạng đã học.
- Chọn các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh, bài dễ với học sinh Trung
bình, khó dần với học sinh Khá - Giỏi.
- Phải thường xuyên cộng tác cùng đồng nghiệp trong nhóm, các đồng
nghiệp ở trường khác dạy thực nhiệm cho các đối tượng học sinh.
- Trong quá trình dạy cần rèn kỹ năng hình thành bảng tóm tắt lời giải cho
học sinh, số hàng, số cột, tên gọi các đại lượng. Sự liên hệ giữa bài toán với bảng

C- kết luận
Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên bước đầu chưa
đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực
hiện tốt, thường xuyên tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà
ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên tôi thiết
nghĩ chúng ta có thể áp dụng cho một số phần khác như: Giải phương trình quy về
phương trình bậc hai, các phương pháp chứng minh hình học.
Tôi tin rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện
pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vở cũng như của thầy
cô đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng
quả quý thầy cô giáo, tiếp tục giúp đỡ tôi hoàn thiện sáng kiến, từng bước hoàn
thiện phương pháp dạy học của mình. Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến
nhiều hơn nữa trí lực cho sự nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta
hằng mong ước.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
***********
GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
18
TỪ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
THÔNG QUA BẢNG TÓM TẮT LỜI GIẢI
Môn: TOÁN
Khối, lớp: 8, 9
PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN TỨ KỲ
TRƯỜNG THCS NGỌC KỲ
GIÚP HỌC SINH THIẾT LẬP
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG TRÌNH
TỪ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
19

ứng nhu cầu phát triển của thời đại.
Muốn giải quyết bài toán khó khăn đó, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề
vững chắc lâu bền từ ngay trong phương pháp dạy học, đặc biệt là phương pháp
dạy học phát huy tính tích cực của học sinh.
Toán học là một môn khoa học thể hiện rõ nhất và là môn khoa học thể hiện
rõ nét tính sáng tạo, tích cực của học sinh. Để giúp học sinh học tập môn Toán có
hiệu quả, người giáo viên không chỉ nắm chắc kiến thức Toán đề cập mà điều cần
thiết nhất là phải có phương pháp truyền đạt thích hợp, giúp học sinh một mặt tự
tìm ra hướng giải cho bài toán, một mặt vận dụng tốt kiến thức để giải quyết các
vấn đề được đặt ra.
21
Tuy nhiên, trên thực tế rất nhiều giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền
thụ đầy đủ kiến thức, đưa ra bài giải chi tiết, có đáp số đúng mà chưa chú ý nhiều
đến tính chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự thiết lập hướng giải riêng
cho mình. Đối với dạng toán “Lập hệ phương trình và phương trình” có sự liên hệ
thực tế rõ nhất, tính tích cực, chủ động của học sinh cần được khơi dậy và phát huy.
Hiểu được điều này bản thân tôi mạnh dạn khai thác “Bảng tóm tắt lời giải” giúp
học sinh tự thiết lập hệ phương trình và phương trình trong “Giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình và phương trình” được đề cập ở toán 8, toán 9
II- cơ sở thực tế
Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 8, lớp 9 phần đại số, đồng thời qua
quá trình kiểm tra, đánh giá sự tiếp thu của học sinh về sự vận dụng kiến thức vào
“Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình”. Tôi nhận thấy, mặc
dù học sinh nắm lý thuyết, các bước giải bài toán rất chính xác nhưng việc thiết lập
hệ phương trình và phương trình của bài toán gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí
không thiết lập được.
Mặc dù biết đây là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi lẽ từ trước
đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc
giải hệ phương trình, phương trình có sẵn, mặt khác do tư duy còn hạn chế nên các
em rất khó khăn trong việc phân tích đề bài, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các đại

chọn cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý
nghĩa thực tế.
II - Hệ thống bài tập minh hoạ
Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải
phân ra từng bài toán, dạng toán, giới thiệu dạng chung, từng loại, các công thức,
kiến thức có liên quan. Dần định dạng “Bảng tóm tắt hướng giải” để thiết lập hệ
phương trình, phương trình.
1- Dạng toán cấu tạo số:
a) Ví dụ 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn
chữ số hàng chục một đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại
thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
*)Tóm tắt: Một số tự nhiên có hai chữ số biết
<1> Hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị
<2> Nếu viết ngược lại, số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị
Tìm số tự nhiên đó ?
*) HD thiết lập bảng: Học sinh cần trả lời câu hỏi
? Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng toán thiết lập phương trình hay hệ
phương trình (dạng lập phương trình )
? Bài toán có những đại lượng nào tham gia, thông thường thì đại lượng đó
chọn làm ẩn
? Trong bài toán có sự biến đổi nào
? Quan hệ giữa các đại lượng được thể hiện như thế nào(theo <1>và <2>)
Bảng tóm tắt:
24
Số hàng chục Số hàng đơn
vị
Số cần tìm
Số ban đầu 0 < a
≤

 
− =
− =



b)Ví dụ 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị bé hơn chữ số hàng
chục là 2. Tổng các bình phương của hai số bé hơn số đã cho 19 .
*) Tóm tắt: Số tự nhiên có hai chữ số biết:
(1) Số hàng đơ vị bé hơn số hàng chục là 2
(2) Tổng các bình phương của hai chữ số bé hơn số đã cho 19.
? Tìm số đó.
*) HD thiết lập bảng: Cần xác định rõ bài toán thuộc dạng bài lập phương trình .
? Bài toán có những đại lượng nào tham gia (hình thành số cột cho bảng)
? Có những biến đổi nào (hình thành số hàng cho bảng
? Quan hệ nào tạo nên mối liên hệ giữa các đại lượng (theo (1) và (2))
Bảng tóm tắt:
Số ban đầu Số sau khi bình phương
Số hàng đơn vị
0 7,x x N≤ ≤ ∈
x
2
Số hàng chục x+2 (x+2)
2
Quan hệ
( 2)x x+
=10(x+2)+x
x
2