Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Ch ơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1
)(
2
+
=
x
x
xg
2) Tính nguyên hàm của hàm số
32
)1(
1
)(
+
=
x
xf
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0#,)(
2
aaxxxg +=
2) Tính nguyên hàm của hàm số
0#,)(

2
)(
Bài 5: CMR hàm số





=
>

=
0 xkhi 0
0 xkhi
4
)1ln(
)(
2
xxx
xF
là một nguyên
hàm của hàm số



=
>
=
0 xkhi 0
0 xkhix.lnx







3
11
;
dx
x
x










3
1
2)
dxxxxxx .))(2(
44

+
3)

dx
x
x
dx
x
dx

+


2)
.
sin
; .
sin1
dx
x
dx
dx
x
dx

+
3)
dx
xxx
dx
dx
x
dxx

+

xx
dx
dx
x
e
e
x
x
3)

49
3.2
; .)1(
3


+ dxdxe
xx
xx
x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
.cot ; cos.sin
2

dxgxdxxx
2)


6
2
)( ;
132
f(x)
23
24

=
+
=
xx
xf
x
xx
3)
94
194
)( ;
2
1
f(x)
2
3
2


=

=

( )
xxxxx
xf
432
2
2
4.3.2f(x) ;23)( =+=
2)
x
xx
x
exf
10
52
f(x) ;)(
11
23
+


==
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)

)1(
; .)1.(
100
2
10


y
1) Xác định a,b,c để
)2()1(
)1(
2

+

+

=
x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
xxxxf
444
cossinf(x) ; cos)( +==
2)
xgxxxf
266
cotf(x) ; sincos)( =+=
3)
x

=
x
x
xx
xf
6)
22
3
)1x(x
1
f(x) ;
1
)(
++
=
+
=
xx
xf
7)
)x.ex.(1
1x
f(x) ;
1
1
)(
x
+
+
=

=
2)
2
2
x-1
11
f(x) ;
3
)(
xx
x
x
xf
+
=

=
3)
;
1x
2
)( ;
x1
1
)(
2
+
=
++
=

dx
x
x
A

++

=
+

=
.
)23(
3
B ;
1
1
24
2
4
2
3)
dx
xx
x
dx
xx
A

+

xx
dx
e
dx
A
x
.
1)1(.1
B ;
1
3
2
3
2

+++
=
+
=
3)

+
=
+
=
65
B ;
12.2
2
xx

22)1(
2
xx
dx
xxx
dx
A
6)


+
=
++
++
=
1
2
B ;
1).43(
)186(
2
2
22
3
x
dxx
xx
dxxx
A
7)


=

=
dx
xx
xx
dx
A
3
cos.sin
1
B ;
sin22sin
3)

+
==
dx
xx
x
xx
dx
A
1sincos
sin
B ;
cos.sin
2
4

)4(
3)
;
1
x
B ;
.1
2
56


=
+
=
x
dx
x
dxx
A
4)
;
2
x
2
2


=
x
dx

2
2
3
cos
sin
B ;
cos1
.cos.sin
3)

+
==
dx
ee
dxxxA
xx 2/
5
1
B ;.sin.cos
4)



=+=
dx
ee
dxxxA
xx
x
4

3)
;3cos.f(x) ;.sinx )(
-2x2
xeexf
x
==
4)
; )1cot(cot)(
2 x
egxxgxf

++=
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
2)

==
dxxxdxxeA
nx
.ln.B ;.cos.
22
3)

==
dxxxdxexA

x
cos1
.)sin1(
B ;.
sin
)ln(sin
2
6)

==
dxbxedxxxA
ax
).sin(.B ;.cos.
7)
;.).724(
223

++=
dxexxxA
x
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)

==
dx
x
x
x
dx
A .

dxx
A ).1ln(B ;
sin
.
2
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
xx
x
xfa


=
3
4
2
)( )

xx
xfb

=
3
1
)( )
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
10022
2001
)1(
)(
+
=
x
x
xf

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)

22
1
)( ;
123
1
)(
22

)54(
137
)(
322


=


=
xx
x
xf
xx
x
xf
4)
1
1
f(x) :
2
32
)(
32
2

+
=

+

xx
x
xx
dxx
A .
23
B ;
12
.
324
2)

+
=

=
dx
x
x
xx
dxx
A .
1
B ;
2
.
8
5
36
5

x
x
xxx
dxx
A .
)1(
B ;
65
).1(
100
3
23
3

+

=
++++

=
dx
xxx
xx
xxxx
dxx
A .
254
4
B ;
1

Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)

+
=
+
+
=
xx
dxxx
xx
dxx
A
cossin
.sin.cos
B ;
)cos1(sin
)sin1(
2)


=
++
=
xx
dxx
xx
dx
A
2cossin1013

dxx
A
442
cossin
.2cos
B ;
1sin
.2sin
5)

==
xx
dx
xx
dx
A
5342
cos.sin
B ;
cos.sin
6)

=
+

=
x
dx
xx
dxxx

=
+

=
12sin
B ;
2sin1
).sin(cos
x
dx
x
dxxx
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1)


=+=
12
.
B ;.
24
3
43
xx
dxx
dxxxA

).54(
x
dx
xx
dxx
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

+
=

=
22
23).1(
B ;
1)1( xxx
dx
xx
dx
A
2)


++
=
++
=
12)12(
B

1
)(
+
=
x
x
xF
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
1212
1
)(
++
+=
xx
tgxxF
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích phân


=
1
2
xx
dx
I
Bài 9 Nguyên hàm của các hàm số
Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)
x

x
x
x
x
e
e
xF
10
52
F(x) :
1
)(
11x52 +

=
+
=
6)
2
x
2
2
1).e-(x
F(x) :
1
).1(
)(
x
x
exx

dxexxxA
x
5)

+
==
x
x
e
dxe
x
dxx
A
1
2
B ;
sin
)ln(sin
2
6)

=
+
+
=
x
dxx
x
dxex
A

=
+
=
1.
)1ln(.
B ;
1
2
2
x
dxxxx
e
dx
A
x
2)

++=
+
=

dxe
xx
dxx
A
x
.2eB ;
1ln.
.ln
x

2

22x
dx
B ;.
527
e
x
dx
x
xx
A
3)

+
+
=
2
1
2
;
ln
).1(
xxx
dxx
A

=
2
6

dxtgx
A

5)

+
=
+
=

2
1
2
1
0
;
84
B ;
.
xx
dx
ee
dxe
A
xx
x
6)

+
=

1
2
;
sin
B ;
1


x
dx
xx
dx
A
8)















=

2
0
2
)
4
(cos.sinB ;.3sin.5cos




dxxxdxxxA
Bài 3: Tính các tích phân


+==
3
3
4
1-
2
.23B ;.2 dxxxdxxA
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B
BxAxF += )sin(.)(

thoả mãn F(1) = 2
và

=
1

0
2
2
)
5
103
(log dxdx
x
xx
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2)(
2
++=
x
b
x
a
xF
thoả mãn

==
1
2
1
,
3.ln2-2F(x).dx va4)(xF
Bài 8: Cho
bxaxF += 2sin.)(
xác định a,b biết
( )

0
2
5
;.
1
dx
x
x
I
4)

+
=
a
xa
dx
I
0
222
;
)(
5) (ĐHKT HN 1997)

=
1
0
635
;.)1( dxxxI
6) (ĐH TCKTHN 2000)


dx
x
x
A
2)

1
B ;.
1
0
1
2
1
2
2
2
2


++
=

=
xx
dx
dx
x
x
A
3)

xx
dx
A
7) (ĐHGTVT HN 1996)

+=
3
0
25
;.1 dxxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)

==
3
0
4
0
2cos
.
B ;.sin
2
x
dxxtg
dxxA

2)


=

dxx
I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)


=
2
0
2
cossin711
.cos

xx
dxx
I
5
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
5) (HVKTQS 1996)


=
2
3
3
3
.cot.
sin
.sinsin



8) (CĐSP TPHCM 1997)

+
=
6
0
2
sinsin56
.cos

xx
dxx
I
9) (HVNH HN 1998)

=

0
2
.cos.sin. dxxxxI
Bài 4: Tính các tích phân sau
1)


+

=
+
=
1

dx
I
3) (ĐH Y HN 1999)

+
=
1
0
2 xx
ee
dx
I
4)

++
+
==
2ln
0
2x
2x
1
0
.
33e
3e
B ;. dx
e
e
dxeA



++
== dx
xx
x
dxxxA
3)
;
1
B ;2
1
0
6
2
2
1
246

+
=+= dx
x
x
dxxxA
4)
;B ;
4
1
4
1

6)







+=+=
2
0
cos
6
0
2
cos.B ;.cossin41


dxxedxxA
x
7)

=
+

=
2
0
3
4

dx
x
x
A
9)

=

+
=
3
6
4
3
6
0
2
2
sin
cos
B ;
1
1



dx
x
x
dx



=
+
=
ee
xx
dx
dx
x
x
A
1
2
1
ln1
B ;
ln1
12)

+
=
+
=

ee
e
x
dxxx
xx

14)



+
=
+
=
1
0
3ln
0
B ;
xx
x
xx
ee
dxe
ee
dx
A
**Bài tập tổng hợp ** * *
15)

+
=
+
+
=
13ln




+

=
dx
x
x
x
A
17)


==
4
0
22
3
6
2
sincos4cos
B ;
cos.sin



xxx
dx
dx

.



dxxe
x
dxx
A
x
3)

==


e
x
dxxdxxeA
00
22
).cos(lnB ;.sin
6
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
4)

==

e
x
dxxdxexA
1

;.
ln
1
ln
1
2
2







=
e
e
dx
x
x
A
8)

==
e
x
dxxdxeA
1
2
4

+
==
2
3
4
0
cos1
sin
B ;sin
2



dx
x
xx
dxxA
12)







==
ee
e
dx
x

3) (CĐKS 2000)

+=
e
dxxxI
1
.ln).22(
4) (ĐHSPHN2 1997)

=
4
0
.2sin.5

dxxeI
x
5) (ĐHTL 1996)

=
2
0
2
.cos.

dxxeI
x
6) (ĐH AN 1996)

=


+

=
2
2
3
2
1
2
1
2
.
cos1
sin
B ;.
1
1
ln.


dx
x
x
dx
x
x
xA
Bài 2: Tính các tích phân sau
1)


=

0
2
0
2
.
cos1
sin.
B ;.
cos3
sin.
dx
x
xx
dx
x
xx
A
3)
;
13
.sin
2


+
=



2
1
92
cos
)1(
;.sin.A


x
dxxxxx
Bdxxx
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính


+

=
1
1
2
.
21
1
dx
x
I
x
2) (ĐHGT 2000 )Tính


dx
x
I
x
.
13
sin
2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính


+
=
1
1
4
.
21
dx
x
I
x
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số








0
2
4
).().(


dxxgdxxg
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
1)
;
23
B ;
)1(
.
0
1
2
3
2
9
2


+
=

=
xx
dx

)1()3(
B
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23


++
=
+
+
=

xx
dx
xx
dxxxx
A
4)
;
23
)47(
B ;

2
1
23

++
=
++
=
xx
dx
xxx
dx
A
6)
;
)4(
.
B ;
).14(
1
0
28
3
2
1
34
23


=

dx
A
8)

+
++
=

=
1
0
22
2
4
3
36
5
;
)1)(2(
1322
B ;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxx
A

=
1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I
4) (ĐHNT HN 2000)

++
+++
=
1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxx
I

5) (ĐHSP TPHCM 2000)

++
+
=

8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
A,B,C để
21
)1(23
333
23
2
+
+

+

=
+
++
x
C
x
B
x
A
xx
xx

Tính
dx
xx
xx
I .
23

1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2
11)Xác định các hằng số A,B để
1
)1()1(
2
22
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x
x
Tính
dx
x
x
I .

2
2
x
dx
E
x
dx
D
xx
CBxAx
dxxf
b) Tính

3
2
)( dxxf
Bài 6 Tích phân các hàm số lợng
giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)


=
++
=
3
6
2
2
0

dxxx
x
dxxx
A .2cos.sinB ;
cos1
)sin(
2
2
0
2
4
0

=
+
+
=

4)
;
sin1
.cos.
2
0
2

+
=

x

x
xf
cossin
sin
)(
+
=
8
HÖ thèng bµi tËp tÝch ph©n- øng dông cña tÝch ph©n
a) T×m A,B sao cho






+
−
+=
xx
xx
BAxf
sincos
sincos
)(
b) TÝnh
∫
=
3
0

2
0
44
4
sincos
.cos
π
xx
dxx
I
4) (§H C«ng §oµn 1999): TÝnh
∫
+
=
2
0
2sin1
π
x
dx
I
5) (HVKTQS 1996):TÝnh
∫
−
=
2
3
3
3
.cot.

8) (HVKTQS 1999):TÝnh
∫
+
=
4
0
4
3
cos1
.sin.4
π
x
dxx
I
9) (§HNN1 HN Khèi B 1998)
∫
+
=
2
0
cos1
.2cos
π
x
dxx
I
10) (§HQGHN Khèi A 1997)
∫
+
=

6
6
2
cos
.sin
π
π
x
dxx
I
14)(§HNN1 HN 1998) TÝnh
∫
+
++
=
2
6
.
cossin
.2cos2sin1
π
π
dx
xx
xx
I
15) (§HT HN 1999) TÝnh
∫
=
3

2
cos1
.4sin
π
x
dxx
I
19) (§HLN 2000)
∫
+
+
=
2
0
22
cos4sin3
)cos4sin3(
π
xx
dxxx
I
20) (§HM§C 2000)
∫






+

)sin2(
cos.
)(
2
+
+
+
=
b) TÝnh
∫
−
=
0
2
).(
π
dxxhI
22) (§HBK HN 1998)
∫
+=
2
0
44
).sin.(cos2cos
π
dxxxxI
23) (§HTM HN 2000)
∫
+
=

6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
9
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
26) (ĐHBKHN 1996)

=
2
0
2
.cos.

dxxxI
27) (ĐHCĐ 1999)

=
2
0
2
.cos).12(

dxxxI
28) (HVNH TPHCM 2000)

+
=

10
222
)0(
)1(
B ; a
xx
dx
dxxaxA
a
3)

++
=
++
=

2
1
0
1
2
)2)(1(
B ;
1
xx
dx
xx
dx
A
4)

1
2
.1B ;
1.
dxxx
xx
dx
A
6)

+
=
+
=
2
7
0
3
1
0
4
3
12
B ;
1
x
dx
x
dxx
A



+
+
=
x
dx
x
x
A
***đổi biến lợng giác ****
9)


++==
0
1
2
1
0
2
.22B ;4 dxxxdxxA
10)


=

=
1
2

I
2) (ĐH BKHN 1995)


=
2
3
2
2
1. xx
dx
I
3) (HVKTQS 1998)


+++
=
1
1
2
11 xx
dx
I
4) (ĐHAN 1999)

+
=
4
7
2

x
dxx
I
8) (ĐHTM 1997)

+
=
7
0
3 2
3
1
.
x
dxx
I
9) (ĐHQG TPHCM 1998)

+
=
1
0
12
.
x
dxx
I
Bài 8 Tích phân các hàm số siêu
việt
Bài 1: (Một số bài cơ bản)

e
dx
I
4) (ĐHAN 1997)

=
2
0
2
dxexI
x
5) (ĐHKT HN 1999 )

=
2
0
3sin
.cos.sin.
2

dxxxeI
x
6) (ĐHQG TPHCM 1996)

+
=


1
0

2) (ĐHQG HN 1998 )

+
=
1
0
1
x
e
dx
I
3) (PVBC&TT 1999)

+
=
e
dx
x
xx
I
0
3 2
.
ln2.ln
10
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
4) (ĐHNN1 HN 1998)

+
+

2ln
0
5
.5
x
e
dx
I
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa
giá
trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
1)

+==
2
0
2
2
0
.32B ;.1 dxxxdxxA
2)
( )
;.12
1
1
2


= dxxxI

+=+=

3
0
23
2
2
1
2
2
;.44B ;.2
1
A dxxxxdx
x
x

Bài 2: Tính tích phân sau :
1)

=
8
3
8
;.cotI


dxtgxgx
2)

+=

1)


=
+
=
6
0
4
0
cossin
cos
B
cossin
sin


xx
xdx
xx
xdx
A
2)
dxxx
ee
dxe
A
xx
x
.2cos.cosB

2
x0; x va0y ;cos.sin
32

==== xxy
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ; ===
xx
eey
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va
12
1y ;
2
3
sin21
2


==+==
xx
y
4) (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
xxxy 3y ;2
2
=+=
5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
22
x; yxy ==

1 x vay ;)1(
5
==+=
x
exxy
12)Tính diện tích giới hạn bởi
4
0 Oy voi trucx vacosy ;sin
33

== xxy
13)(HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
342:(C) ;0
23
+== xxxyy
và tiếp
tuyến với đờng cong (C) tại điểm có hoành độ
x=2
14)(ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
1
4
4
+
=
x
x
y
(C ) và Ox, hai đờng thẳng có ph-
ơng trình x=1; x=-1
*****Một số bài tham khảo************

31:)(P va2:)( yxyxP ==

Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn
bởi






===== 0;
3
;0; yxxtgxyD

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D
quay quanh Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi
trục Ox và (P) y=x
2
-ax (a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn
xoaydo hình phẳng
{ }
exxyxxyS ===== ;1;0;ln.
4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh
ra bởi





==++===


xxxxyyD ;
2
;sincos1;0
44
8) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới
hạn bởi các đờng
y=x.e
x
, x=1 , y=0 (0 x 1 )
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi
hình
1
164
)4(
:)(
22
+
yx
E
quay quanh trục
Oy
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
12)(ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
2
)1.(:)( = xxyC
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0)
đến (C)
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh
Ox
13) Cho miền (H) giới hạn bởi đờng cong y=sinx
và đoạn 0 x của trục Ox . Tính thể tích
khối tròn xoay khi (H) quay quanh
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Năm 2002
1) Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng
3y va34
2
+=+= xxxy
2) Khối B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đờng
24
y va
4
4
22
xx