Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM
BÀI TẬP TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI 2
TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Tích phân ñường loại 2 (theo tọa ñộ) có dạng:
( , ) ( , )
L
P x y dx Q x y dy
+
∫

Nếu ñổi hướng lấy tích phân thì tích phân ñường ñổi dấu
( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy
+
∫
=
( , ) ( , )
BA
P x y dx Q x y dy
− +
∫

Nếu ñường cong L chia thành 2 ñường cong L
1
,L
2
không trùng lấp nhau thì:
1 2
L L L

(AB) có phương trình tham số: x = x(t), y = y(t). Tại A, ứng với t
A
và tại B, ứng với
t
B
thì:
[ ]
( , ) ( , ) ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )
B
A
t
AB t
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt
+ = +
∫ ∫

2. Sử dụng công thức Green:
Nếu L là ñường cong kín lấy theo hướng dương (có thể bổ sung thành ñường cong
kín) là biên của miền D. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 liên tục ∀
∀∀
∀(x, y) ∈
∈∈
∈ D. Khi ñó, ta có:

Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM
L D
Q P

U x y P x y dx Q x y dy
= +
∫ ∫
, với (x
0
; y
0
) bất kỳ thuộc D.
3.
0
L
Pdx Qdy
+ =
∫

, với mọi ñường cong kín L trong D
4.
AB
Pdx Qdy
+
∫
, (AB) là 1 cung nằm trong D, không phụ thuộc ñường ñi mà chỉ phụ
thuộc ñiểm ñầu, ñiểm cuối.
BÀI TẬP
1. Cho
2 2
L
J y dx x dy
= − +
∫

= a
2
, ngược chiều kim ñồng hồ.
3. Tính tích phân:
2
(1 )
xy
AB
J e y dx xy dy xdy
 
= + + +
 
∫
trong ñó AB là nửa cung tròn
2
2
x y y
= −
từ A(0; 0) ñến B(0; 2) ð/S:
2
2
π
+Bài tập Giải tích 3 – Tổ bộ môn Toán – Lý , Khoa Vật Lý, trường ðHSP TPHCM
4. Tính tích phân:
3 2 2 2 2
2
3 2 2

= − + + +
∫

a. Tính J nếu L là ñoạn thẳng OA nối O (0; 0) với A(2; 2)
b. Tính J nếu L là cung OBA trong ñó OB là ñoạn thẳng nối O(0; 0) với B(0; 2).
Còn BA là nửa trên của ñường tròn có phương trình x
2
+ y
2
+ 4 = 2x + 4y ñi từ B
ñến A(2; 2) ð/S:
2
13 2 2 2ln(1 2) 3
e
π
−
+ + + + −

6. Cho
2
ln
2 4
L
y y
I xdy dx
x
= −
∫

a. Tính I, nếu L là ñoạn thẳng từA(1; 1) ñến B (2;2) ð/s: ln2 – 3/4


c. L là ñoạn thẳng nối O (0;0) ñến A(2; 2) ð/s: e
2
– 7 + arctg 2
d. L: x
2
+ y
2
= 2x, theo hướng dương ð/s: 4π
8. Tính
(
)
3 3
2
2
2
1
ln 1
1 3 3
1
L
y arctgx x
I y y dx dy
x
y
 
 
 
= + + − + +
 

2
nối A(1; 0) và B(2; 2)
11.
2 2
2 . cos( 2 ) 2 2cos( )
y x y
OA
x e x y e dx x y x e dy
− −
   
+ + − + + −
   
∫
,
OA là cung y = x
3
/2, O(0,0), A(2,4)