ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Trường Thanh
ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Trường Thanh
ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH.
Vũ Ngọc Phát
học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường
nghiên cứu. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu
và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp
giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy
mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH.
Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn
tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ
môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao
đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,
các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại
Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận án.
ii
Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ
hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn
Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths
Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà
2
Bài toán ổn định và ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân .
Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ . . . . . . . .
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ . .
Bài toán H∞ trong lí thuyết điều khiển . . . . . . . . .
1.4.1 Không gian H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . .
Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
16
18
19
19
21
26
26
29
29
29
30
Tính ổn định của hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . . .
Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . .
Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN
71
85
102
103
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
105
TÀI LIỆU THAM KHẢO
106
2
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
R là tập các số thực
R+ là tập các số thực không âm
Rn là không gian Euclide n chiều
Rn×r là tập các ma trận thực kích thước (n × r)
(x, y) = xT y là tích vô hướng trên Rn , xT y =
AT là ma trận chuyển vị của ma trận A
λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A
λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
3
λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λA = λmax (AT A)
A ≥ 0 có nghĩa là ma trận A nửa xác định dương, tức là xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A > 0 có nghĩa là ma trận A xác định dương, tức là xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}
F ∗ (s) là ma trận liên hợp của ma trận F (s)
K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s >
0
L2loc ([0, ∞), Rn ) là không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên các tập compact K của [0, ∞), có nghĩa là ||ω(t)||2 dt < ∞
K
L2 ([0, ∞), Rn ) không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên [0, ∞), có nghĩa là
∞
0
||ω(t)||2 dt < ∞
LMI là viết tắt của cụm từ tiếng Anh (linear matrix inequality) có nghĩa là bất
đẳng thức ma trận tuyến tính
4
lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle [14] đã
mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số
sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều,
5
và cũng đã thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 (thế kỉ 20)
cho tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các định lí
mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-Razumikhin, phương
pháp LMI, và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu bài toán
điều khiển H∞ trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả đáng quan tâm [48, 54].
Bài toán điều khiển H∞ cần đảm bảo hai yếu tố: ổn định hóa hệ thống
khi không có nhiễu đầu vào và đảm bảo hiệu suất của hệ thống khi có nhiễu.
Chúng ta luôn biết rằng, việc ổn định hóa cho một hệ thống, nói chung, không
phải là điều đơn giản. Có nhiều nguyên nhân gây bất ổn hệ thống, một trong số
đó là trễ thời gian. Tiếp đó, không phải hệ nào cũng có thể thiết kế điều khiển
H∞ do việc giải bài toán tối ưu hoặc dưới tối ưu không phải lúc nào cũng làm
được, đặc biệt với những hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp. Điều này
khiến cho việc giải bài toán điều khiển H∞ trở nên khó khăn và gần thực tế hơn
so với bài toán ổn định và ổn định hóa. Đồng thời, nó cũng thúc đẩy các nghiên
cứu của chúng tôi đối với các hệ phi tuyến hoặc hệ có cấu trúc phức tạp có trễ
thời gian.Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một
số hệ phương trình vi phân cấu trúc khá phức tạp có trễ biến thiên liên tục,
dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii
và một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞
đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Trước khi đề
cập tới các kết quả chính của luận án, chúng tôi chỉ ra một số ưu điểm của các
kĩ thuật được đề cập ở trên.
• Các hàm Lyapunov-Krasovskii được thiết lập dựa trên cận trên và dưới
của hàm trễ, điều này cho phép nghiên cứu các hệ có hàm trễ biến thiên
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi khả vi xuất hiện ở cả hàm
trạng thái và hàm quan sát, đồng thời hàm quan sát là phi tuyến. Hơn thế, các
kết quả này có thể áp dụng cho một số lớp hệ có trước đó như: hệ không chắc
chắn, hệ có trễ hằng số, v.v. trong việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa.
Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án về bài toán điều khiển H∞
là hệ phi tuyến có trễ
x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t) + Cω(t)
+f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω(t)),
(1)
z(t) = Ex(t) + Gx(t − h(t)) + F u(t)
Trong thời gian gần đây, một quy trình đơn giản và có hệ thống để xây dựng các
hàm Lyapunov cho các hệ có trễ biến thiên đã được nghiên cứu trong [35, 42]
đối với bài toán lọc H∞ . Trong [48, 54, 55, 71], một cải tiến của các điều kiện ổn
định mũ thông qua LMI cho hệ tuyến tính có trễ được chỉ ra, cho phép nghiên
cứu tính ổn định mũ cho các hệ không chắc chắn có trễ biến thiên dạng khoảng.
Ở đây, phương pháp hàm Lyapunov được phát triển cho bài toán điều khiển
H∞ của các hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng với giả thiết
các hàm trễ khả vi và có đạo hàm bị chặn. Năm 1990, Lihua Xie và Carlos E.
de Souza [72] nghiên cứu hệ
x(t)
˙
= Ax(t) + B1 w(t) + (B2 + ∆B2 (t))u(t),
z(t) = C1 x(t) + D1 u(t),
với kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận của hệ khi không có nhiễu và điều
kiện H∞ được thể hiện thông qua phương trình Riccati đại số. Năm 2005, Xiefu
Jiang và Qing-Long Han [28] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H∞
cho hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và không
có trễ trong hàm quan sát
x(t)
˙
= [A + ∆A(t)]x(t) + [B + ∆B(t)]u(t)
+ [A1 + ∆A1 (t)]x(t − h(t)) + Bω ω(t),
z(t) = Cx(t) + D1 u(t).
và kết quả thu được là tính ổn định tiệm cận. Năm 2009, L. V. Hiện và V. N.
Phát [23] nghiên cứu hệ với trễ khả vi và đạo hàm trễ bị chặn
x(t)
˙
= [A0 + ∆A0 (t)]x(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t − h(t)) + [B + ∆B(t)]u(t),
và kết quả thu được là tính ổn định và ổn định hóa dạng mũ. Kết quả về tính
ổn định mũ với trễ không khả vi và biến thiên liên tục dạng khoảng được V.N.
(hệ không có nhiễu) có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng. Các khó khăn sau
đó phát sinh khi chúng ta cố gắng tìm ra các điều kiện ổn định mũ và đưa ra
các thông số điều khiển cho hệ thống. Các hàm Lyapunov trong các kết quả liên
quan [17, 54, 71] không thể áp dụng để giải quyết các vấn đề đặt ra của hệ (1)
khi chúng hoặc là sẽ không thể xử lí được khía cạnh không khả vi của hàm trễ,
hoặc dẫn tới các bất đẳng thức ma trận phức tạp. Khi nghiên cứu hệ (1), chúng
tôi phát triển các kết quả [28, 71, 75] cho bài toán điều khiển H∞ cho hệ phi
tuyến có trễ thời gian biến thiên liên tục dạng khoảng. So sánh với các kết quả
trên, kết quả của chúng tôi có một số ưu điểm sau. Đầu tiên, thời gian trễ được
giả thiết là hàm biến thiên liên tục dạng khoảng và không khả vi xuất hiện ở
9
cả hàm trạng thái và hàm quan sát. Tiếp đó, tính ổn định hóa dạng mũ và điều
khiển H∞ được giải quyết đồng thời. Với các kết quả trước, điều khiển này là
cần thiết để đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục cho hệ đóng. Cuối cùng, một
hiệu suất quy định theo một ý nghĩa H∞ phải đạt được với tất cả các nhiễu
chấp nhận được. Bằng cách sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng
thức mới, một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ được thiết lập thông
qua LMI, các LMI này có thể giải được một cách đơn giản thông qua các thuật
toán trong [19]. Cách tiếp cận này cho phép chúng tôi nghiên cứu bài toán điều
khiển H∞ cho hệ phi tuyến (1), sau đó áp dụng nghiên cứu bài toán này cho
một lớp hệ không chắc chắn có trễ. Ngoài ra, các kết quả này khi áp dụng để
nghiên cứu tính ổn định hóa cho hệ tuyến tính có trễ [76] đã dẫn tới một số
đánh giá tốt hơn về độ biến thiên của hàm trễ.
Lớp hệ thứ hai được nghiên cứu trong luận án là một lớp hệ quy mô lớn phi
tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm
trễ, được tạo thành từ N hệ con có liên kết trong giữa các hệ con, và mỗi hệ
con được mô tả bởi phương trình vi phân
+fi (t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N
j=1,j=i , ui (t), ωi (t)),
N
(2)
z
(t)
=
C
x
(t)
+
F
u
(t)
+
Gij xj (t − hij (t))
i
i i
i i
j=1,j=i
trễ biến thiên liên tục dạng khoảng được nghiên cứu trong [9, 18]. Năm 2005,
Ju H. Park [50] xét lớp hệ quy mô lớn với các trễ hằng số
N
x˙ i (t) = Ai xi (t) +
j=i
Aij xj (t − hij ) + Bi ui (t),
và thu được điều kiện ổn định tiệm cận thông qua LMI. Năm 2006, O.M. Kwon
và Ju H. Park [34], mở rộng kết quả trên cho lớp hệ không chắc chắn
N
x˙ i (t) = (Ai + ∆Ai (t))xi (t) +
j=i
(Aij + ∆Aij (t))xj (t − hij ) + (Bi + ∆Bi (t))ui (t).
Năm 2008, Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, và Xin-Ping Guan [10] nghiên
cứu hệ
x˙ i (t) = Ai xi (t) + Adi xi (t − hi (t)) + Bi ui (t)+
+ Bi fi (t, x1 (t), ..., xN (t), x1 (t − hi1 (t)), ..., xN (t − hiN (t))),
với giả thiết các hàm fi tăng trưởng bậc tuyến tính, hàm trễ có đạo hàm bị chặn
trên bởi 1, và cận dưới của trễ là 0. Kết quả của họ là điều kiện đủ cho sự ổn
định. Năm 2009, Magdi S. Mahmoud và Naif B. Almutairi [45] nghiên cứu hệ
N
x˙ i (t) = Ai xi (t) + Adi xi (t − hi (t)) + Bi ui (t) +
k=1
x˙ i (t) = Ai xi (t) +
Aσiji xj (t − hij (t))
j=1,j=i
(3)
+fiσi t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N
j=1,j=i , t ≥ 0,
xi (θ) = ϕi (θ), θ ∈ [−h2 , 0].
Hệ chuyển mạch thuộc về một lớp quan trọng của các hệ Hybrid (hay còn gọi
là các hệ lai) được mô tả bởi một họ các phương trình vi phân cùng với các quy
tắc quy định chuyển đổi giữa chúng. Một hệ chuyển mạch có thể đại diện bởi
một phương trình vi phân có dạng
x(t)
˙
= f σ (t, x(t)),
trong đó {f σ : σ ∈ J} là họ các hàm được tham số hóa bởi tập chỉ số J gồm
hữu hạn phần tử và σ(·) phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống theo thời gian
là hàm chuyển xác định một quy tắc chuyển mạch. Hệ chuyển mạch xuất hiện
khi nhiều quá trình trong thực tế không thể mô tả bởi một hệ động lực liên tục
thông qua quy tắc chuyển mạch bất kì. Tính ổn định mũ được xem xét cho hệ
tuyến tính chuyển mạch với ảnh hưởng của các xung bằng cách sử dụng khái
niệm hàm ma trận đo được [79] và cho hệ xích với hàm đầu vào và hàm trạng
thái phi tuyến có nhiễu và sai số [74]. Một vài kết quả đã có trong [41, 60, 68, 69]
cho hệ chuyển mạch có trễ biến thiên, tuy nhiên thời gian trễ được giả thiết là
khả vi và quy tắc chuyển mạch được xây dựng trên tập nghiệm của tập các bất
đẳng thức ma trận tuyến tính. Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có kết
quả về tính ổn định mũ của các hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch với trễ
thời gian biến thiên nảy sinh do sự tương tác lẫn nhau giữa các hệ con. Thời
gian trễ được giả thiết là các hàm liên tục, biến thiên dạng khoảng, và không
đòi hỏi tính khả vi. Trên thực tế, các hàm Lyapunov trong các kết quả liên quan
trong [24, 25, 41, 46, 49, 56, 60] không thể áp dụng để giải quyết bài toán ổn
định cho hệ (3) khi chúng hoặc là không xử lí được khía cạnh không khả vi của
hàm trễ, hoặc dẫn đến các bất đẳng thức ma trận rất phức tạp không giải quyết
được. Kết quả chính thu được của chúng tôi là một điều kiện đủ cho tính ổn
định dạng mũ cho hệ (3). So sánh với các kết quả đã có, kết quả của chúng tôi
khi nghiên cứu hệ (3) có các ưu điểm sau:
(i) Hàm trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm
trễ, và cận dưới của trễ có thể khác không;
(ii) Các điều kiện được thể hiện thông qua LMI có thể giải số một cách hiệu
quả thông qua các thuật toán tính toán tiêu chuẩn [19];
(iii) Một thiết kế hình học đơn giản được sử dụng để tìm các luật chuyển đổi
và cho phép đảm bảo tính ổn định mũ cho hệ thống.
Phần cuối của luận án, chúng tôi mở rộng các kết quả về ổn định cho hệ chuyển
mạch (3) để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một lớp hệ quy mô lớn
13
chuyển mạch được tạo thành từ N hệ con, mỗi hệ con được mô tả bởi phương
trình vi phân như sau:
C
x
(t)
+
F
u
(t)
+
Gij xj (t − hij (t))
i
i
i
i
i
j=1,j=i
σi
+giσi t, xi (t), {xj (t − hij (t))}N
j=1,j=i , ui (t) , t ≥ 0,
học Sư phạm Hà Nội, tại Thanh Hóa, 24-27/5/2012.
-Hội nghị toàn quốc lần thứ nhất về Điều khiển và Tự động hóa VCCA-2011,
tại Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 25-26/11/2011.
Hà Nội, năm 2015
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Trường Thanh
15
Chương 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Trong chương này, chúng tôi trích dẫn một số khái niệm và kết quả về tính ổn
định và ổn định hoá của hệ phương trình vi phân, điều khiển H∞ , và một số
kiến thức bổ trợ trong luận án.
1.1
1.1.1
Bài toán ổn định và ổn định hóa
Bài toán ổn định Lyapunov
Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân
x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ≥ 0,
(1.1) sẽ đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của hệ (1.2). Để đơn
giản kí hiệu, ta luôn xét hệ (1.1) với giả thiết f (t, 0) ≡ 0.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ
(1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi
nghiệm x(t) của hệ (1.1) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn
||x(t)|| ≤ Me−δ(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.3 ([2]). Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Hàm V : R+ × D → R khả
vi liên tục và thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, với D ⊂ Rn là lân cận mở tùy ý của
0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||),
∀(t, x) ∈ R+ × D
với K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0,
a(s) > 0, ∀s > 0.
ii) V˙ (t, x) :=
∂V
∂t
(t, x) +
∂V
(t, x)f (t, x)
∂x
≤ 0,
∀(t, x) ∈ R+ × D.
trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, hàm
f là hàm cho trước thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Giả sử u ∈
L2loc ([0, ∞), Rm ) và với mọi x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm duy nhất x(t) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(0) = x0 xác định trên [0, ∞).
Định nghĩa 1.1.5. ([2])
i) Hệ (1.3) được gọi là điều khiển được toàn cục nếu với mọi x0 , x1 ∈ Rn tồn
tại điều khiển u và t1 > 0 sao cho x(t1 ) = x1 . Nếu x0 = 0 thì hệ được gọi
là đạt được toàn cục từ 0. Nếu x1 = 0 thì hệ gọi là điều khiển được toàn
cục về 0.
ii) Hệ (1.3) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm h : Rn → Rm ,
h(0) = 0, sao cho với điều khiển u = h(x), nghiệm x = 0 của hệ
x(t)
˙
= f (t, x(t), h(x(t))),
t ≥ 0,
là ổn định tiệm cận. Trong trường hợp này, hàm u = h(x) được gọi là hàm
điều khiển ngược ổn định hóa hệ thống.
Định lí 1.1.6 ([2]). Hệ tuyến tính dừng x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t) là ổn định hóa
được nếu nó điều khiển được về 0, trong đó A, B là các ma trận hằng với số
chiều thích hợp.
Định lí 1.1.7 ([2]). Xét hệ điều khiển (1.3) có dạng
x(t)
˙
= f (x(t), u(t)), t ≥ 0.
Giả sử tồn tại hàm V (x) : Rn → R khả vi liên tục và hàm véc tơ h(x) : Rn → Rn ,
h(0) = 0, sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
1.2.1
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm
Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều và r là một số thực dương cho trước,
C := C ([−r, 0], Rn ) và P C ([−r, 0], Rn ) lần lượt là không gian của các hàm liên
tục và liên tục từng khúc trên đoạn [−r, 0] với giá trị trong Rn và chuẩn của
phần tử ϕ ∈ C hoặc ϕ ∈ P C ([−r, 0], Rn ) là ||ϕ||C = sup ||ϕ(θ)||. Nếu t0 ∈ R,
−r≤θ≤0
A ≥ 0 và x(·) ∈ C ([t0 − r, t0 + A], R ) thì ta định nghĩa hàm xt (·) ∈ C như sau
xt (θ) = x(t + θ), ∀θ ∈ [−r, 0]. Nếu D ⊂ R × C, f : D → Rn là hàm cho trước,
và đạo hàm được hiểu là đạo hàm bên phải thì ta nói biểu thức
n
x(t)
˙
= f (t, xt ),
(1.4)
là phương trình vi phân hàm có trễ và kí hiệu RF DE(f ). Một hàm x(·) được
gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu tồn tại t0 ∈ R và A > 0 sao cho
x(·) ∈ C ([t0 − r, t0 + A), Rn ) , (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa mãn (1.4) với mọi t ∈
[t0 − r, t0 + A). Với t0 ∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t0 , ϕ) là nghiệm của phương trình
(1.4) với giá trị ban đầu xt0 (t0 , ϕ) = ϕ. Chúng ta luôn giả thiết hàm f thỏa mãn
điều kiện với mỗi điểm (t0 , ϕ) ∈ R+ × C, hệ (1.4) có nghiệm duy nhất đi qua
điểm (t0 , ϕ) và xác định trên [t0 , ∞).
Định lí 1.2.1 (Định lí tồn tại nghiệm địa phương, Định lí 2.1 [22]). Giả sử Ω
là một tập mở của R × C và f0 ∈ C(Ω, Rn ). Nếu (t0 , ϕ) ∈ Ω thì tồn tại nghiệm
R→∞
dr
= +∞.
η(r)
r0
Khi đó, với t0 ≥ 0 và hàm ϕ ∈ P C([−r, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.4) có duy nhất
nghiệm x(t) xác định trên [t0 − r, ∞) với điều kiện ban đầu xt0 = ϕ.
20
Copyright: Tài liệu đại học ©