Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


HOÀNG THANH NGA

BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải tích
Mã số : 60 46 01


m
.
• A
T
A A
A = A
T
.
• I
• λ(A) A
• λ
max
(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• λ
min
(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• A > 0 A
• A ≥ 0 A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t
0
x(t
0
) = x
0
, t
0

y(t), y(t
0
)) = y
0
 y
0
− x
0
< δ
 y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t)
x(t)
t ≥ t
0
x(t) (1.1)
δ > 0  y
0
− x
0
< δ
lim
t→∞
 y(t) − x(t)  = 0.
x(t)
y(t) y
0
x

 x
0
< δ
lim
t→∞
 x(t)  = 0.
δ > 0
t
0
(1.1) M > 0 δ > 0
(1.1) x(t
0
) = x
0
 x(t) ≤ Me
−δ(t−t
0
)
 x
0
, ∀t ≥ t
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
˙x = f(x), f(0) = 0, t ∈ R
+
.
V (x) : R
n
→ R
V (x) ≥ 0 x ∈ R

→ R
n
f(t, 0) = 0
t ∈ R
+
(1.4)
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
(1.4)
K
a(.) : R
+
→ R
+
a(0) = 0
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R
+
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ) ∀(t, x) ∈ R
+
× R

∃λ
1
, λ
2
> 0 : λ
1
 x(t) 
2
≤ V (t, x(t)) ≤ λ
2
 x(t) 
2
, ∀(t, x) ∈
R
+
× R
n
∃α > 0 :
˙
V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) x(t) (1.1)
(1.1) α N =

λ
2
λ
1
.

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t
0

→ R
m
˙x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0
(1.1)
t x(t)
x(t) t
(0 ≤ h ≤ +∞),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x(t) R
+
R
n
x
t
∈ C := C([−h; 0], R
n
) x
t
(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h; 0],
C := C([−h; 0], R
n
) x
t
[t − h; t]
 x
t
= Sup
s∈[−h,0]
 x(t + s)  .
[t − h; t]

, ∀t ≥ 0
˙
V (t, x
t
) ≤ 0, x(t) (1.7) (1.7)
x(t)
∃N > 0 : x(t, φ) ≤ N  φ , ∀t ≥ 0.
˙
V (t, x
t
) < 0 (1.7)
∃λ
3
> 0 :
˙
V (t, x
t
) ≤ −2λ
3
V (t, x
t
) x(t) (1.7)
(1.7) λ
3

λ
2
λ
1


˙x(t) = f (t, x
t
, g(x(t))), t ≥ 0,
x(t
0
) = φ(t), t
0
∈ [−h; 0],
α > 0 (1.7) α
g : R
n
→ R
m
(1.10) α

˙x(t) = f (t, x
t
, g(x(t))), t ≥ 0,
x(t
0
) = φ(t), t ∈ [−h; 0],





˙x(t) = f (t, x(t), u(t), t ∈ [t
0
, t
1

0
(t, x, u) : I × R
n
× R
m
→ R
u
∗
(t) ∈ U
Ω
1
x
∗
(t) (1.11) (1.12)
u
∗
(t)
J (u
∗
) = min
u(.)∈L
2
([t
0
,t
1
],Ω)

I
f

(1.12) (1.13)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

˙x = Ax + Bu(t), t ∈ [0; T ]
x(0) = x
0
∈ R
n
, u ∈ R
m
,
J(u) =

T
0
(Qx, x + Ru, u)dt + P
0
x(T ), x(T ) → min,
P
0
, Q, R R
u(t) ∈ L
2
([t
0
, t
1
], R
m
).

B

p
∗
(t).
u
∗
(t) (1.14)
d
dt
(x
∗
(t)) = Ax
∗
(t) −
1
2
BR
−1
B

p
∗
(t).
(1.16) u
∗
(t) x
∗
(t)


M ∈ R
n×n
δ > 0 ω : [0; δ] → R
n


δ
0
ω(s)ds

T
M


δ
0
ω(s)ds

≤ δ

δ
0
ω
T
(s)Mω(s)ds.
M ∈ R
n×n
x, y ∈ R
n
.

, x ∈ R
n
, u ∈ R
m
,
A ∈ R
n×n
, B ∈ R
n×m
(n ≥ m)
J(u) =
∞

0
[Qx, x + Ru, u]dt, Q > 0, R > 0.
(2.1)
(2.2). u
∗
(t) = Kx(t)
J
∗
> 0 ˙x = [A + BK]x
(2.2) J(u
∗
) ≤ J
∗
u
∗
J
∗

−1
)  x
0

2
V (x) = P
−1
x, x.
y = P
−1
x
λ
min
(P
−1
)  x 
2
≤ V (.) ≤ λ
max
(P
−1
)  x 
2
.
V (x),
˙
V (x(t)) = 2P
−1
˙x(t), x(t) = 2P
−1

˙
V (x(t)) ≤ −λ
min
(S)  y 
2
≤ −λ
min
(S)λ
min
(P
−2
)  x 
2
.
(2.1) u
∗
= −
1
2
B

P
−1
x(t)
(2.1)
J
∗
,
˙
V (x(t)) = (P A


+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ P QP < 0.
˙
V (x) < −[Qx, x + Ru, u].
[Qx, x + Ru, u] < −
˙
V (x).
0 t

t
0
[Qx, x + Ru, u]ds < −

t
0
˙
V (x(s))ds = V (x(0)) − V (x(t))
< V (x(0)) = P
−1
x
0
, x
0

Q =

1 0
0 2

; R =

2

(2.3)
P =

0.2009 0.0100
0.0100 0.3678

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u(t) =

−2.4918 0.0677

x(t),
J
∗
= 4, 9916.

˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h) + Bu, t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0], u ∈ L
2
(R
v

+ P P Q
1
P Q
2
Q
1
P −Q
1
0
Q
2
P 0 −Q
2


< 0,
u(t) = −
1
2
B

P
−1
x(t)
J
∗
= [(h + 1)λ
max
(P
−1

≤ V (x
t
) ≤ [(h + 1)λ
max
(P
−1
) + hλ
max
(Q
2
)]  x
t

2
( ϕ = max
t∈[−h,0]
ϕ(t)).
V (x
t
),
˙
V (x
t
) = 2P
−1
˙x, x + Q
2
x(t), x(t) − Q
2
x(t − h), x(t − h)


y ≤ DP D

y, y + P y
h
, y
h
.
˙
V (x
t
) = (P A

+ AP − BB

+ P Q
2
P + DP D

+ P )y, y
− P Q
2
P y(t − h), y(t − h).
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u],
˙
V (x


+ P
+ P Q
1
P +
1
4
BRB

)y, y
− [Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru(t), u(t)].
P A

+ AP − BB

+
1
4
BRB

+ P + P Q
2
P + P Q
1
P + DP D


< 0.
˙
V (x
t
) < −[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u] ≤ 0.
u
∗
= −
1
2
B

P
−1
x(t)
(2.4)
J
∗
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h), x(t − h) + Ru, u] < −
˙
V (x
t

max
(P
−1
) + hλ
max
(Q
2
)]  ϕ 
2
= J
∗
.
(2.4) (2.5),
h = 2.
A =

−8 1
0 −2

; B =

1
0

D =

−1 0
2 0.5

Q

J
∗
= 11.9241.
2.2.1

˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0],
0 ≤ h(t) ≤ h,
˙
h(t) ≤ δ < 1
J(u) =

∞
0
[Q
1
x, x+Q
2
x(t−h(t)), x(t−h(t))+Ru(t), u(t)]dt,
Q
1
> 0, Q
2
> 0, R > 0.
η = (1 − δ)
−1
(2.7) (2.8)
P



B

P
−1
x(t)
J
∗
= [(h + 1)λ
max
(P
−1
) + ηhλ
max
(Q
2
)]  ϕ 
2
(2.7)
V (t, x
t
) = P
−1
x(t), x(t) + η

t
t−h(t)
Q
2
x, xds +


y = P
−1
x,
˙
V (x
t
) = (P A

+ AP − BB

)y, y + 2DP y(t − h(t)), y(t)
+ ηP Q
2
P y(t), y(t) − P Q
2
P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P y(t), y(t) − (1 − δ)P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P Q
1
P y, y + P Q
2
P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+
1
4
BRB

y(t), y(t)
− [Q
1

+ Ru, u)].
P A

+ AP − BB

+ P + ηDP D

+ ηP Q
2
P + P Q
1
P +
1
4
BRB

< 0


P A

+ AP − BB

+ P + ηDP D

+
1
4
BRB


1
2
B

P
−1
x(t)
(2.7)
J
∗

t
0
[Q
1
x, x + Q
2
x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru(t), u(t)]dt
< −

t
0
˙
V (x
s
)ds = V (x
0
) − V (x
t
) < V (x

D =

−0.2 0
5 0.2

Q
1
=

0.2 0
0 0.3

; Q
2
=

0.1 0
0 0.4

; R =

0.5

(2.9)
P =

0.1108 0.0178
0.0178 0.7486

u(t) =

t−k
2
(t)
u(s)ds,
x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0], d = max{h
1max
, h
2max
, k
1
, k
2
}
x(t) ∈ R
n
u(t) ∈ R
m
φ(t) ∈ C
1
([−d, 0], R
n
)
 φ = Sup
−d≤t≤0

 φ(t) 
2
+ 
˙
φ(t) 

, i = 1, 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên