Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------

HOÀNG THANH NGA

BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Giải tích
Mã số

: 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 89.




Header Page 2 of 89.
✶

▼ô❝ ❧ô❝


✶✳✶✳✷

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✸

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤Ö ❝ã trÔ

✾

✶✳✷✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ➤✐Ò✉

✶✳✷


✶✺

✷✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✶✺

✷✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trÔ

✶✽

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã
➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

✸✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã
➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

✸✳✷

✷✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

❱Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

T
♥Õ✉ A = A .
• I ✿ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ✳
• λ(A)✿ t❐♣ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ A✳
• λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
• A > 0✿ ♠❛ tr❐♥ A ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
• A ≥ 0✿ ♠❛ tr❐♥ A ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳

Footer Page
3 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 4 of 89.


ờ ó
ý tết ề ể tố r ờ ố ữ ủ tế ỉ
r q q trì t trể ẽ ó t ợ ề t tự
rự rỡ t ề ể tố ó t q trọ ệt
t út sự q t ủ ọ ý tết ề ể
tố trở t ột ĩ ự ứ q trọ tr t ọ ó
ề ứ ụ t ớ tr ờ số tế ọ ĩ tt
Pt trể từ t tố ó ổ ể t ề ể tố
t tì q trì tố ệ ề ể t ở trì t
ọ r tự tế ệ tố ề ể tờ ị t ộ ở ề ề

Header Page 5 of 89.
✹
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ò♥❣ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯
❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ❱ò ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬②
➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❝❤Ø ❜➯♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➠✐ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝
➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣✱ ✈✐➟♥ t➠✐
tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ r✃t ♥❤✐Ò✉ ♥❤➢♥❣ ✈× t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ tr×♥❤ ➤é ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ
♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ó tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt ✈➭ s❛✐ ❧➬♠✳ ❚➠✐ r✃t ♠♦♥❣
♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù ❝❤Ø ❜➯♦ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦

Footer Page
5 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 6 of 89.



sở t ọ
r ú t trì ột số ệ ề tí ổ
ị ổ ị ó ợ ủ ệ trì tờ ệ


é t trớ tết

ó ệ ó tí ủ ệ ợ ở tứ

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

x(t) ủ ệ (1.1) ọ ổ ị ế ớ ọ số
> 0, t0 0 sẽ tồ t số > 0 ụ tộ , t0 s t ỳ ệ
y(t), y(t0 )) = y0 ủ ệ tỏ y0 x0 < tì sẽ ệ ú t
ị ĩ

ệ

tứ

y(t) x(t) < , t t0 .

Footer Page
6 ofbi89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





t

x(t)

ĩ ệ

= 0.

ổ ị tệ ế ó ổ ị ọ ệ

y(t) ó trị y0

ớ trị

x0

sẽ tế tớ

x(t)

t tế tớ ù
ét r é ế ổ
trì

(x y) z, (t t0 )

ệ

(1.1) sẽ ợ ề


tr ị ĩ tr ụ tộ tờ ể

t0 tì tí ổ ị ổ ị tệ ợ ọ ổ ị ề
ổ ị tệ ề
ị ĩ

ệ

(1.1)

s ọ ệ ủ ệ

ổ ị ũ ế tồ t số

(1.1) ớ x(t0 ) = x0

x(t) M e(tt0 )

M >0>0

tỏ

x0 , t t0

ệ ủ ệ ữ ổ ị tệ ọ ệ ủ ó
tế tớ ớ tố ộ t số ũ

Footer Page
7 ofbi89.


♥Õ✉
✭✐✮
✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

V (x) ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ Rn .
V (x) ❧➭ ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
Df V (x) :=

∂V
∂x f

(x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn ✳

❍➭♠ ❱✭①✮ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤➷t ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤➟♠ ✈➭♦
➤ã✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✐✐✐✮ ❧➭ t❤ù❝ sù ➞♠✱ ✈í✐ ♠ä✐ ① ♥➺♠ ♥❣♦➭✐
♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ✵ ♥➭♦ ➤ã✱ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❤➡♥✿
✭✐✈✮

∃c > 0 : Df V (x) ≤ −c

x < 0, x ∈ Rn \{0}

➜Þ♥❤ ❧Ý ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ➤Ó ❤Ö

(1.3) ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ✈í✐ sù tå♥

t➵✐ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳

❍➭♠ V (t, x) : R × R → R ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥✿

tr♦♥❣ ➤ã

Footer Page
8 ofbởi89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 9 of 89.
✽
✐✱

∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
✐✐✱

Df V (t, x) =

∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R+ × Rn
∂t
∂x

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ❱✭t✱①✮ ❧➭ ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ t❤➟♠ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✿
✐✐✐✱

V (t, x) : R+ × Rn → R t❤á❛ ♠➲♥✿
≤ V (t, x(t)) ≤ λ2

x(t)

2

, ∀(t, x) ∈

∃α > 0 : V˙ (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) ✈í✐ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ö♠ x(t) ❝ñ❛ ❤Ö(1.1)
t❤× ❤Ö

(1.1)

❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ♠ò ✈í✐

α✱ N =

λ2
λ1 . ❧➭ ❝➳❝ ❝❤Ø sè æ♥ ➤Þ♥❤

▲②❛♣✉♥♦✈✳

✶✳✶✳✸

❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛

❳Ðt ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥

x(t)



u = h(x) tờ ọ ề ể ợ

rờ ợ ệ

(1.5) ệ tế tí
x = Ax + Bu

tì ệ ổ ị ó ợ ế tồ t tr



K

s tr

(A + BK)
ổ ị ệ tế tí

x = Ax + Bu
ổ ị ó ợ ế tồ t tr

K

s ệ

= (A + BK)
x(t)
ổ ị ụ í ủ t ổ ị ó tì ề

x(t) tố t

ú t t r ệ trì tờ
q ệ ữ ế tờ
ổ ủ tr t

t

tr t ủ ệ tố

x(t) t ù ột tờ ể t

tr tự tế q trì r tr tự tờ ó sự q
ế q ứ ề ít ề tí trề ì t q trì
ú sẽ ợ ể ễ ớ trì ó trễ
sử ột ệ tố ụ tộ q ứ ớ ộ trễ

Footer Page
10 bi
of 89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

(0 h +),


ớ


Header Page 11 of 89.




f : R+ ì C Rn í ệ x(t, ) ệ tỏ ề ệ
x(t) = (t), t [h, 0]. tự ệ trì

tr ó

tờ ú t ũ ó ệ ổ ị ổ ị tệ ổ ị
ũ ệ
ị ý

ế ệ

(1.7) ó V : R+ ì C R s

1 , 2 > 0 : 1 x(t) 2 V (t, xt ) 2 xt 2 , t 0
V (t, xt ) 0, ớ ọ ệ x(t) ủ ệ (1.7) tì ệ (1.7) ổ ị


ọ ệ

x(t) ị tứ
N > 0 : x(t, ) N

, t 0.

ế ề ệ ợ t ề ệ









Header Page 12 of 89.


x(t) Rn é t tr t u(t) Rm é t ề ể xt C
f : R ìCìRm Rn é t trớ tỏ f (t, 0, 0) = 0, t 0
m
u(.) L2 ([0; t], R ), t 0.

tr ó
+

ị ĩ



n

g:R R

m

ệ ề ể

(1.7)



t ề ể tố

ờ t ó tể t t ề ể tố s ét ệ ề ể



= f (t, x(t), u(t), t [t0 , t1 ] = I

x(t)
x(t0 ) = x0 , x(t) Rn ,


u(t) = Rm
u(.) L2 ([t0 , t1 ], ) ề ể ợ
f (t, x, u) : I ì Rn ì Rm Rn t q trì ể



tr ó

ộ ủ

tr t ế ụ t

f 0 (t, x, u) dt

J(u) =
tr ó





Header Page 13 of 89.



ề ể u (t) tì ợ sẽ ợ ọ ề ể tố t tố


(u (t), x (t)) ọ q trì tố ủ ệ (1.11) (1.12)
ờ t t ề ể tố ứ t trú ủ
ụ t ế ụ t ó

(1.12)

tì t ó t tố

r
ế

J(u) ó
J(u) = g(t1 , x(t1 )),

tr ó

t1



tế từ í ự Ptr ớ tứ tí t ụ tể


Footer Page
13 bi
of 89.
S húa
Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 14 of 89.
✶✸
✶✳✸✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö
t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳

x˙ = Ax + Bu(t), t ∈ [0; T ]
x(0) = x0 ∈ Rn , u ∈ Rm ,

✭✶✳✶✹✮

✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ ❞➵♥❣ t♦➭♥ ♣❤➢➡♥❣

T


u∗ ∈ Rm

p(t)
˙ = −A p(t) + 2Qx,
p(T ) = 2p0 x(T ).

❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ♥➟♥ sÏ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤➢î❝ tõ ❜✐Ó✉ t❤ø❝

❝❤♦ t❛

❚❤❛② ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥

1
u∗ (t) = − R−1 B p∗ (t).
2
∗
u (t) ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ (1.14) t❛ ❝ã

∂H
∂u

= 0✱

✭✶✳✶✻✮

1
d ∗
(x (t)) = Ax∗ (t) − BR−1 B p∗ (t).
dt
2

▼ét sè ❜æ ➤Ò ❜æ trî

❇æ ➤Ò ✶✳✹✳✶✳

❑❤✐ ➤ã ✈í✐

●✐➯ sö

δ>0

M ∈ Rn×n

❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳
n
✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ ω : [0; δ] → R t❛ ❝ã

T

δ

ω(s)ds
0
❇æ ➤Ò ✶✳✹✳✷✳

δ

M

δ


Z −Y

Footer Page
15 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

X=

< 0.




Header Page 16 of 89.
✶✺

❈❤➢➡♥❣ ✷
❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐
➢✉
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ së ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥
➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉✳

✷✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥
tÝ♥❤

❳Ðt ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

∗
➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉✱ ✈➭ J ❣ä✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❤Ö✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳

(2.1) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.2). ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥
➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭▲▼■✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷✳

❳Ðt ❤Ö

Footer Page
16 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 17 of 89.
✶✻
s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥

P A + AP − BB + 14 BRB P Q
QP
−Q
u(t) = − 21 B P −1 x(t) ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠
J = λmax (P −1 ) x0 2 ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉✳
❦❤✐ ➤ã
∗


V˙ (x(t)) = 2 P −1 x(t),
˙
x(t) = 2 P −1 (Ax + Bu), x
= 2 P −1 Ax, x + 2 P −1 Bu, x = 2 AP y, y − BB y, y
= (P A + AP )y, y − BB y, y < − Sy, y .
❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ▲▼■

(2.3) t❛ ❝ã✿

1
P A + AP − BB < − BRB − P QP = −S,
4
tr♦♥❣ ➤ã

S = 14 BRB + P QP > 0. ❞♦ ➤ã✿

V˙ (x(t)) ≤ −λmin (S)

y

2

≤ −λmin (S)λmin (P −2 )

x

2

.


1
P A + AP − BB + BRB + P QP
4
− [ Qx, x + Ru, u ].

V˙ (x) =

y, y

❆♣ ❞ô♥❣ ❜æ ➤Ò ❙❝❤✉r✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭▲▼■✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✿

1
P A + AP − BB + BRB + P QP < 0.
4
❉♦ ➤ã✿

V˙ (x) < −[ Qx, x + Ru, u ].
❙✉② r❛

[ Qx, x + Ru, u ] < −V˙ (x).
▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ tõ

0 tí✐ t✱ t❛ ❝ã

t

t


0

Q=

1 0
; R= 2
0 2

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❤é♣ ❝➠♥❣ ❝ô ▼❛t❧❛❜✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó t❤✃② r➺♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥

(2.3) t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐✿
P =

0.2009 0.0100
0.0100 0.3678

Footer Page
18 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 19 of 89.
✶✽
tõ ➤ã ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ❧➭✿



Q1 , Q2 , R > 0 ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳

(2.4)✱ ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.5)✳ ●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥
➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P s❛♦ ❝❤♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠❛ tr❐♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✭▲▼■✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳

❳Ðt ❤Ö

s❛✉ t❤á❛ ♠➲♥


P A + AP − BB + 41 BRB + DP D + P P Q1 P Q2

Q1 P
−Q1 0  < 0,
Q2 P
0 −Q2


❦❤✐ ➤ã

✭✷✳✻✮

u(t) = − 21 B P −1 x(t) ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ ✈➭
J ∗ = [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )]

ϕ

2


Header Page 20 of 89.
✶✾
❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛ ➤➢î❝✿

λmin (P −1 )

x

2

≤ V (xt ) ≤ [(h + 1)λmax (P −1 ) + hλmax (Q2 )]

xt

2

( ϕ = max ϕ(t)).
t∈[−h,0]
▲✃② ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛

V (xt ), t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) = 2 P −1 x,
˙ x + Q2 x(t), x(t) − Q2 x(t − h), x(t − h)
−1
+ P x(t), x(t) − P −1 x(t − h), x(t − h) .
➜➷t

y = P −1 x, t❛ ❝ã✿

1
P A + AP − BB + BRB + P + P Q2 P + P Q1 P + DP D < 0
4
Footer Page
20 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 21 of 89.
✷✵
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ▲▼■✿


P A + AP − BB + 14 BRB + DP D + P P Q1 P Q2

Q1 P
−Q1 0  < 0.
Q2 P
0 −Q2


♥➟♥ t❛ ❝ã

V˙ (xt ) < −[ Q1 x, x + Q2 x(t − h), x(t − h) + Ru, u ] ≤ 0.
❙✉② r❛ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý ▲②❛♣✉♥♦✈✱ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ✈➭
❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❧➭♠ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö


❱Ý ❞ô ✷✳✷✳✷✳

❳Ðt ❤Ö

ϕ

2

= J ∗.

(2.4) ✈í✐ ❤➭♠ ♠ô❝ t✐➟✉ (2.5),

tr♦♥❣ ➤ã✿

h = 2.
−8 1
1
−1 0
A=
; B=
D=
0 −2
0
2 0.5
Q1 =

0.1 0
0.1 0
; Q2 =

J ∗ = 11.9241.
▼ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧Ý

2.2.1 ❝❤♦ ❤Ö

❝ã trÔ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥✳ ❳Ðt ❤Ö t✉②Õ♥

tÝ♥❤ ❝ã trÔ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥

x(t)
˙
= Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0],

✭✷✳✼✮

tr♦♥❣ ➤ã

˙
0 ≤ h(t) ≤ h, h(t)
≤δ
❦❤✐ ➤ã u(t) = − B P
x(t) ❧➭ ❤➭♠ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉
2
∗
−1
✈➭ J = [(h + 1)λmax (P
) + ηhλmax (Q2 )] ϕ 2 ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉
❝ñ❛ ❤Ö

(2.7)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt ❤➭♠ ▲②❛♣✉♥♦✈

t

V (t, xt ) = P

−1

x(t), x(t) + η

P −1 x, x ds

Q2 x, x ds +
t−h(t)

Footer Page
22 bởi
of 89.
Số hóa


y = P −1 x, t❛ ❝ã
V˙ (xt ) = (P A + AP − BB )y, y + 2 DP y(t − h(t)), y(t)
+ η P Q2 P y(t), y(t) − P Q2 P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P y(t), y(t) − (1 − δ) P y(t − h(t)), y(t − h(t))
+ P Q1 P y, y + P Q2 P y(t − h(t)), y(t − h(t))
1
+ BRB y(t), y(t)
4
− [ Q1 x, x + Q2 x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru, u) ].

❆♣ ❞ô♥❣ ❜æ ➤Ò ✶✳✹✳✷ t❛ ❝ã✿

2 DP y(t−h(t)), y(t) = η DP D y(t), y(t) +(1−δ) P y(t−h(t)), y(t−h(t) .
❉♦ ➤ã t❛ ❝ã✿

V˙ (xt ) ≤ (P A + AP − BB + P + ηDP D
1
+ ηP Q2 P + P Q1 P + BRB )y, y]
4
− [ Q1 x, x + Q2 x(t − h(t)), x(t − h(t))
+ Ru, u) ].
❱× ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿

1
P A + AP − BB + P + ηDP D + ηP Q2 P + P Q1 P + BRB < 0
4
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐



❧➭ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ♥❣➢î❝ ❧➭♠ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❤Ö (2.7)✳
∗
➜Ó t×♠ J t❛ ❝ã✿ ▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ tõ ✵ tí✐ t✱ t❛ ❝ã✿

t

[ Q1 x, x + Q2 x(t − h(t)), x(t − h(t)) + Ru(t), u(t) ]dt
0
t

V˙ (xs )ds = V (x0 ) − V (xt ) < V (x0 ).



u(t) = −4.5308 0.1075 x(t)
✈➭ ❣✐➳ trÞ ♠ô❝ t✐➟✉ tè✐ ➢✉ ❧➭✿

J ∗ = 18.9350.

Footer Page
24 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 25 of 89.
✷✹

❈❤➢➡♥❣ ✸
❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐
➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯
✈✐
✸✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➯♠ ❜➯♦ ❣✐➳ trÞ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥
tÝ♥❤ ❝ã ➤é trÔ ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐

❳Ðt ❤Ö ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤➭♠ ❝ã trÔ ❤ç♥ ❤î♣

t


φ = Sup

φ(t)

2

+

˙
φ(t)

2

−d≤t≤0

A0 , A1 , A2 , B0 , B1 , B2 ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ sè t❤ù❝✳ ❈➳❝ ❤➭♠ trÔ hi (t), ki (t), i =
1, 2 t❤á❛ ♠➲♥✿
0 ≤ himin ≤ hi (t) ≤ himax ,
0 ≤ ki (t) ≤ ki , i = 1, 2.

Footer Page
25 bởi
of 89.
Số hóa
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên