ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ C TỰ NHIÊN
Nguyễn Trường Thanh
ĐIỀU KHIỂN H
∞
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI P HÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán
- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
2. PGS. TS. Vũ Hoàng Linh
Phản biện:
Phản biện:
Phản biện:
Luận án sẽ được bảo vệ trướ c Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp
Đại học Quốc gia họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
MỞ ĐẦU
Lý thuyết không gian H
∞
có nguồn gốc từ công trình của G. H.

tạp. Năm 1989, Doyle đã mở rộng các nghiên cứu bài toán điều
khiển H
∞
từ việc nghiên cứu trễ hằng số sang nghiên cứu trễ
biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, và
cũng thu được một số kết quả nhất định.Trong thập niên 90 cho
tới nay, bằng cách sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov và các
định lí mở rộng của chúng như Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-
1
Razumikhin, phương pháp LMI (bất đẳng thức ma trận tuyến
tính), và các công cụ tính toán tiên tiến khiến việc nghiên cứu
bài toán điều khiển H
∞
trở nên dễ dàng hơn và có nhiều kết quả
đáng quan tâm.
Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H
∞
cho một số hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục
dạng khoảng, không đòi hỏi trễ khả vi và thậm chí có cấu trúc
khá phức tạp. Dựa trên một lớp hàm Lyapunov-Krasovskii và
một số bất đẳng thức mới, một số điều kiện đủ cho sự tồn tại
điều khiển H
∞
đã được chỉ ra thông qua các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính.
Lớp hệ đầu tiên được nghiên cứu trong luận án cho bài toán
điều khiển H
∞
là hệ phi tuyến có trễ (2.1). Bằng cách sử dụng
hàm Lyapunov-Krasovskii và các bất đẳng thức mới, một điều

định cho hệ chuyển mạch (3.1) để nghiên cứu bài toán điều khiển
H
∞
cho một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch (3.17). Kết quả đạt
được là một điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H
∞
và là kết
quả đầu tiên về điều khiển H
∞
cho hệ Large-Scale chuyển mạch
có trễ biến thiên dạng khoảng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các kí hiệu, danh
mục 3 công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo, luận
án gồm 3 chương như sau:
Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
Chương 2. ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Chương 3. ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO HỆ LARGE-SCALE CHUYỂN
MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov
Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0. (1.1)

→ R
+
,
a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > 0.
ii)
˙
V (t, x) :=
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
Nếu hàm V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm các điều
kiện
iii) ∃b ∈ K sao cho V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× D;
4
iv) ∃c ∈ K sao cho
˙
V (t, x(t)) ≤ −c(||x||), ∀t ∈ R
+
, ∀x ∈
D \ {0},
thì V (t, x) gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lí 1.1.4. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó, nếu hệ (1.1)
có hàm Lyapunov thì nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Hơn nữa,

i) Với bất kì H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho
||f(t, ϕ)|| ≤ M(H), (t, ϕ) ∈ [0, +∞)×P C([−r, 0], R
n
), ||ϕ||
C
≤ H;
ii) Hàm f(t, ϕ) là hàm liên tục trên tập [0, +∞)×P C([−r, 0], R
n
)
với cả hai biến;
5
iii) Hàm f (t, ϕ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với biến thứ hai,
tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
||f(t, ϕ
1
) −f(t, ϕ
2
)|| ≤ L(H)||ϕ
1
− ϕ
2
||
C
,
với mọi t ≥ 0, ϕ
i
∈ PC([−r, 0], R
n
), ||ϕ
i

t
0
= ϕ.
1.3 Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R và β > 0 cho trước.
Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.3) được gọi là β− ổn định mũ nếu
tồn tại hằng số M > 0 sao cho mọi nghiệm x(t
0
, ϕ) của hệ (1.3)
thỏa mãn ||x(t
0
, ϕ)(t)|| ≤ Me
−β(t−t
0
)
||ϕ||
C
, ∀t ≥ t
0
.
Định nghĩa 1.3.3. Đặt Q
H
:= {ϕ ∈ C([−r, 0], R
n
)| ||ϕ||
C
≤ H}.
Nếu V : R × Q
H

i) Tồn tại λ
1
, λ
2
> 0 sao cho λ
1
||ϕ(0)||
2
≤ V (t, ϕ) ≤ λ
2
||ϕ||
2
C
ii)
˙
V (t, ϕ) ≤ 0,
thì hệ (1.3) là ổn định và nghiệm là bị chặn, tức là tồn tại M > 0
sao cho ||x(t
0
, ϕ)(t)|| ≤ M||ϕ||
C
, ∀(t
0
, ϕ) ∈ R
+
×C, t ≥ t
0
. Nếu
thay điều kiện (ii) bằng điều kiện
iii) Tồn tại λ

Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x
t
, u(t)), t ≥ 0, x
0
= ϕ. (1.4)
Định nghĩa 1.3.8. Cho β > 0. Hệ (1.4) gọi là ổn định hóa được
dạng mũ nếu tồn tại hàm g : R
n
→ R
m
, g(0) = 0, sao cho x = 0
của hệ ˙x(t) = f(t, x
t
, g(x(t))) là β− ổn định mũ.
1.4 Phương pháp H
∞
trong lí thuyết điều khiển
7
1.4.1 Không gian H
∞
Định nghĩa 1.4.1. H
∞
là không gian các hàm có giá trị ma
trận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trên
trục ảo. Chuẩn H
∞
được định nghĩa
||F ||
∞

thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0).
Hình 1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H
∞
H1. Điều khiển H
∞
tối ưu. Tìm tất cả các điều khiển chấp
nhận được được K sao cho ||T
zω
||
∞
là nhỏ nhất.
H2. Điều khiển H
∞
tựa tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0.
Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||T
zω
||
∞
≤ γ.
8
CHƯƠNG 2
ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H
∞
cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục
dạng khoảng, và không khả vi. Nội dung được trình bày trong
chương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các công



˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + Bu(t) + Cω(t)
+f(t, x(t), x(t −h(t)), u(t), ω (t)),
z(t) = Ex(t) + Gx(t − h(t)) + F u(t)
+g(t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), t ≥ 0,
x
0
= ϕ,
(2.1)
trong đó hàm trễ h : R
+
→ R
+
thỏa mãn 0 ≤ h
1
≤ h(t) ≤ h
2
,
F
T
[E, G] = 0, F
T
F ≤ I, hàm f và hàm liên tục g thỏa mãn
||f(t, x
0
, x
1
, x
2

2
+ c
1
||x
2
||
2
.
Ngoài ra, hàm f(t, x
0
, x
1
, x
2
, 0) : R
+
×R
n
×R
n
× R
m
→ R
n
liên
tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
0
, x
1
, x

≤ γ, với mọi ϕ ∈
C
1

[−h
2
, 0], R
n

, ω ∈ L
2
([0, ∞), R
r
) , ω = 0.
Định lí 2.1.3. Cho β > 0, γ > 0. Giả sử các ma trận hệ số của
hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác
định dương P, Q, R , U, Λ và các ma trận S, Y sao cho có bất đẳng
thức ma trận tuyến tính


Ω
11
Ω
12
∗ Ω
22


< 0.
Khi đó, bài toán điều khiển H

1
= P
−1
RP
−1
, U
1
= P
−1
UP
−1
,
Λ
1
= P
−1
ΛP
−1
, S
1
= P
−1
SP
−1
, ε = a + b + c + 4d
2
/γ,
T
11
= AP + P A

B
T

+ 2Q,
T
12
= DP, T
13
= e
−2βh
1
R, T
14
= e
−2βh
2
R, T
15
=
2e
−4βh
2
h
2
+h
1
Λ,
T
16
= PA

25
= 0,
T
26
= PD
T
, T
33
= −e
−2βh
1
Q − e
−2βh
1
R −e
−2βh
2
U,
T
34
= e
−2βh
2
S
T
, T
35
= 0, T
36
= 0,

56
= 0,
T
66
=

h
2
1
+ h
2
2

R + (h
2
− h
1
)
2
U + h
2
(h
2
− h
1
)Λ
−2P + 4CC
T
/γ + εI, α
1

)
+(h
2
− h
1
)
3
λ
max
(U
1
) + (h
2
− h
1
)h
2
2
λ
max
(Λ
1
),
Ω
22
= diag(−
I
3
, −
I

T
13
T
14
T
15
T
17
0 0
∗ T
22
T
23
T
24
T
25
T
26
0 0
∗ ∗ T
33
T
34
T
35
T
36
0 0
∗ ∗ ∗ T








,
Ω
12
=






































.
11
2.2. Điều khiển H
∞
cho một lớp hệ Large-Scale
Xét một lớp hệ Large-Scale có trễ được tạo nên từ N hệ con







i
(t) + B
i
u
i
(t) + D
i
ω
i
(t) +
N

j=1,j=i
A
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+f
i
(t, x
i
(t), {x
j
(t − h
ij
(t))}
N

i
(t), {x
j
(t − h
ij
(t))}
N
j=1,j=i
, u
i
(t)),
x
i
(θ) = ϕ
i
(θ), θ ∈ [−h
2
, 0],
(2.21)
trong đó các hàm trễ thỏa mãn 0 ≤ h
1
≤ h
ij
(t) ≤ h
2
, F
T
i
F
i

ij
||x
j
|| + b
i
||u
i
|| + d
i
||ω
i
||,
||g
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
i
)||
2
≤ c
i
||x
i
||

, 0) : R
+
×R
n
i
×

N

j=1,j=i
R
n
j

×R
m
i
→ R
n
i
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
i
).











H
i
11
H
i
12
. . . H
i
1(3N+5)
0 0
∗ H
i
22
∗ ∗ ∗ H
i
2(3N+5)
0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗


< 0.
Khi đó, bài toán điều khiển H
∞
ứng với các hệ số β, γ cho hệ
(2.21) giải được với điều khiển ngược u
i
(t) = Y
i
P
−1
i
x
i
(t), và
nghiệm của hệ, khi các nhiễu ω
i
≡ 0, thỏa mãn
||x(t)|| ≤

α
2
α
1
e
−βt
||ϕ||
C
1
, t ≥ 0,

−1
i
U
i
P
−1
i
, Λ
i1
= P
−1
i
Λ
i
P
−1
i
, S
i1
= P
−1
i
S
i
P
−1
i
,
H
i

e
−2βh
2

R
i
− 2
e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
+
N

j=1,j=i
A
ij
A
T
ij

R
i
, H
i
1(N+3)
= P
i
A
T
i
+ Y
T
i
B
T
i
,
H
i
1(N+4)
=
2e
−4βh
2
h
2
+h
1
Λ
i

U
i
−S
i

,
13
H
i
k(N+2)
=
e
−2βh
2
N−1

U
i
− S
T
i

,
H
i
k(N+3)
= H
i
k(N+4)
= 0, k = 2, N, H

(N+2)(N+2)
= −e
−2βh
2
Q
i
− e
−2βh
2
R
i
− e
−2βh
2
U
i
,
H
i
(N+3)(N+3)
= (h
2
−h
1
)h
2
Λ
i
+


j=1,j=i
A
ij
A
T
ij
+ ε
i
I
i
,
H
i
(N+3)(N+4)
= 0, H
i
(N+4)(N+4)
= −2
e
−4βh
2
h
2
2
−h
2
1
Λ
i
,

i
G
T
ki
, i = 1, k = 2, , N,
H
i
k(N+4+k)
= P
i
G
T
(k−1)i
, i = 1, k ≤ i, k = 2, , N,
H
i
k(N+4+k)
= P
i
G
T
ki
, i = 1, i < k = 2, , N,
H
i
(2N+3+k)(2N+3+k)
= −
I
i
2+2a

= −
I
i
2+2a
ki
+(N+2)g
ki
,
H
i
k(2N+3+k)
= P
i
, i = 1, i < k = 2, , N,
H
i
(3N+4)(3N+4)
= −I, H
i
1(3N+4)
= P
i

2a
i
+ (N + 2)c
i
,
H
i

+
N

j=1,j=i
a
ij
, α
1
= min
i=1, ,N
λ
min
(P
i1
),
α
2
= max
i=1, ,N

λ
max
(P
i1
)+β
−1
λ
max
(Q
i1

2
λ
max
(Λ
i1
)

14
CHƯƠNG 3
ĐIỀU KHIỂN H
∞
CHO HỆ LARGE-SCALE
CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và bài
toán điều khiển H
∞
của một lớp hệ Large-Scale chuyển mạch
có trễ dạng khoảng. Dựa vào các bất đẳng thức ma trận tuyến
tính, chúng tôi xây dựng các quy tắc chuyển m ạch dạng hình học
nhằm đảm bảo tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch, cũng
như thiết kế các điều khiển H
∞
tương ứng. Các kết quả chính
trong chương này dựa vào bài báo [3] trong danh mục các công
trình khoa học của tác giả.
3.1 Tính ổn định của hệ Large-Scale phi tuyến chuyển
mạch
Xét hệ Large-Scale chuyển mạch được hình thành từ các hệ
con Σ
i

j=1,j=i
A
σ
i
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+f
σ
i
i

t, x
i
(t), {x
j
(t − h
ij
(t))}
N
j=1,j=i

,
x
i
(θ) = ϕ
i

(t)), σ
2
(x
2
(t)), , σ
N
(x
N
(t))

=

l
1
, l
2
, , l
N

,
15
tức là sự chuyển chế độ thứ l
i
được kích hoạt cho hệ con thứ i. Các
ma trận

A
σ
i
i

, {x
j
}
N
j=i,j=1
)|| ≤ a
l
i
||x
i
|| +
N

j=1,j=i
a
l
ij
||x
j
||,
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
).
Định nghĩa 3.1.2. Hệ các ma trận vuông cấp n, {L
l

l
i
}
s
l=1
là đầy đủ
nghiêm ngặt.
ii) Với i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s, các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau thỏa mãn






















i





















< 0.
16
Khi đó, hệ (3.1) là ổn định mũ với quy tắc chuyển mạch
σ(x(t)) =

l
1
, l

C
1
, t ≥ 0,
trong đó
a
ij
= max
l=1,2, ,s
a
l
ij
, ε
l
i
= a
l
i
+
N

j=1,j=i
a
ij
, i, j = 1, 2, , N,
P
i1
= P
−1
i
, Q

, Λ
i1
= P
−1
i
Λ
i
P
−1
i
, S
l
i1
= P
−1
i
S
l
i
P
−1
i
,
H
l
11
(i) = −
e
−4βh
2

i
, H
l
1(N+2)
(i) = e
−2βh
2
R
i
,
H
l
1(N+3)
(i) = P
i

A
l
i

T
, H
l
1(N+4)
(i) = 2
e
−4βh
2
h
2


,
H
l
k(N+1)
(i) =
e
−2βh
2
N−1

U
i
− S
l
i

,
H
l
k(N+2)
(i) =
e
−2βh
2
N−1

U
i
−

2
U
i
,
H
l
(N+1)(N+2)
(i) = e
−2βh
2

S
l
i

T
,
H
l
(N+2)(N+2)
(i) = −e
−2βh
2
Q
i
− e
−2βh
2
R
i

−h
1
)
2
U
i
−2P
i
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T
+ ε
l
i
I
i
,
H
l
(N+3)(N+4)

,
H
l
(N+4+k)k
(i) = P
i
, k = 2, N,
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
2+2a
ki
, k = 2, N, i = 1,
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
2+2a
(k−1)i
, k = 2, N, i = 1, k ≤ i,
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
2+2a
ki

+h
3
2

λ
max
(R
i1
)
+(h
2
−h
1
)
3
λ
max
(U
i1
)+(h
2
−h
1
)h
2
2
λ
max
(Λ
i1

)
h
2
+h
1
Λ
i
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T
+ ε
l
i
I
i
,
Ω
l
i
= {x ∈ R


k=1
Ω
k
i
, j = 2, , N, i = 1, 2, , N.
3.2 Điều khiển H
∞
cho hệ La rge-Scale phi tuyến chuyển
mạch
Xét hệ điều khiển Large-Scale chuyển mạch được hình thành
từ các hệ con Σ
i
, i = 1, 2, , N, có dạng như sau

















ij
x
j
(t − h
ij
(t)) + B
σ
i
i
u
σ
i
i
(t) + D
σ
i
i
ω
i
(t)
+f
σ
i
i

t, x
i
(t), {x
j
(t − h

N

j=1,j=i
G
ij
x
j
(t − h
ij
(t))
+g
σ
i
i

t, x
i
(t), {x
j
(t −h
ij
(t))}
N
j=1,j=i
, u
σ
i
i
(t)


σ
i
ij
, }
N
j=1,j=i
, B
σ
i
i
, D
σ
i
i
, C
σ
i
i
, F
σ
i
i
, {G
ij
}
N
j=1,j=i

nhận giá trị trong tập


F
l
i

T
F
l
i
≤ I
i
, i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s.
Các hàm f
l
i
(·), và các hàm liên tục g
l
i
(·), thỏa mãn
||f
l
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l

l
i
(t, x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l
i
)||
2
≤ c
l
i
||x
i
||
2
+
N

j=1,j=i
g
l
ij
||x
j

×

N

j=1,j=i
R
n
j

×R
m
l
i
→ R
n
i
liên tục theo t và Lipschitz địa phương theo (x
i
, {x
j
}
N
j=i,j=1
, u
l
i
).
Định nghĩa 3.2.1 Cho β > 0, γ > 0. Bài toán điều khiển H
∞
cho hệ (3.17) tương ứng với β, γ được gọi là giải được nếu tồn tại

19
ii) Tồn tại c
0
> 0 sao cho
∞

0
||z(t)||
2
dt
∞

0
||ω(t)||
2
dt + c
0
||ϕ||
2
C
1
≤ γ,
với mọi ϕ
i
∈ C
1

[−h
2
, 0], R

i
, U
i
, Λ
i
, và các ma trận S
l
i
, Y
l
i
, i =
1, N, l = 1, s, sao
cho:
i) Với mỗi i = 1, 2, , N, tập các ma trận {L
l
i
}
s
l=1
là đầy đủ
nghiêm ngặt.
ii) Với i = 1, 2, , N, l = 1, 2, , s, các bất đẳng thức ma trận
tuyến tính sau thỏa mãn







2(3N+5)
(i) 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H
l
(3N+5)(3N+5)
(i) 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i
−S
l
i
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −U
i















2
, , l
N

nếu
x(t) ∈
Ω
l
1
1
×
Ω
l
2
2
×··· ×
Ω
l
N
N
.
Hơn thế, nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤

α
2
α
1
e
−βt

i
P
−1
i
, R
i1
= P
−1
i
R
i
P
−1
i
,
U
i1
= P
−1
i
U
i
P
−1
i
, Λ
i1
= P
−1
i

−
e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
+B
l
i
Y
l
i
+

Y
l
i

T

B

2
R
i
,
H
l
1(N+3)
(i) = P
i

A
l
i

T
+

Y
l
i

T

B
l
i

T
, H
i

i

T

,
H
l
k(N+1)
(i) =
e
−2βh
2
N−1

U
i
− S
l
i

,
H
l
k(N+2)
(i) =
e
−2βh
2
N−1


H
l
(N+1)(N+2)
(i) = e
−2βh
2

S
l
i

T
,
H
l
(N+2)(N+2)
(i) = −e
−2βh
2
Q
i
− e
−2βh
2
R
i
− e
−2βh
2
U

)
2
U
i
+
4
γ
D
l
i

D
l
i

T
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T
+ε

1(N+5)
(i) = P
i

C
l
i

T
, H
l
k(N+5)
(i) = 0, k = 2, , (N + 4),
H
l
(N+4+k)(N+4+k)
(i) = −
I
N+2
,
H
l
j(N+4+k)
(i) = 0, k = 2, , N, j = 1, , (N+3+k), j = k,
H
l
k(N+4+k)
(i) = P
i
G

(i) = −
I
i
2+2a
ki
+(N+2)g
ki
, i = 1,
H
l
(2N+3+k)(2N+3+k)
(i) =
−I
i
2+2a
(k−1)i
+(N+2)g
(k−1)i
, i = 1, k ≤ i,
H
l
(2N+3+k)(2N+3+k)
(i) = −
I
i
2+2a
ki
+(N+2)g
ki
, i = 1, i < k,


N+2

(1+e
l
i
)
, H
l
1(3N+5)
(i) =

Y
l
i

T
,
ε
l
i
= a
l
i
+ b
l
i
+
(
4d

−1
λ
max
(Q
i1
)+

h
3
1
+h
3
2

λ
max
(R
i1
)
+(h
2
−h
1
)
3
λ
max
(U
i1
)+(h

+ 2Q
i
−
e
−4βh
2
(h
2
−h
1
)
h
2
+h
1
Λ
i
+
N

j=1,j=i
A
l
ij

A
l
ij

T

i
∪ {0},
Ω
l
i
= Ω
l
i
\
j−1

k=1
Ω
k
i
, j = 2, , N, i = 1, 2, , N.
22
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H
∞
cho
một số hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên
tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ.
Những kết quả đã được chứng minh trong luận án:
• Đưa ra một số điều đủ cho sự tồn tại điều khiển H
∞
và ổn
định hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến và hệ Large-Scale
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hiện trong cả
hàm trạng thái và quan sát (Định lí 2.1.3 và Định lí 2.2.3).