ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH.

Vũ Ngọc Phát


học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường
nghiên cứu. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu
và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp
giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy
mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH.
Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn
tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ
môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao
đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,
các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại
Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận án.
ii


Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ
hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn
Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths
Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà

2

Bài toán ổn định và ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài toán tồn tại nghiệm của hệ có trễ . . . . . . . . . . .
1.2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi sai phân .
Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ có trễ . . . . . . . .
1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ . .
Bài toán H∞ trong lí thuyết điều khiển . . . . . . . . .
1.4.1 Không gian H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . .
Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
18
19
19
21
26
26
29
29
29
30

Tính ổn định của hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . . .
Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch . . .
Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

71
85
102

103

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN
QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

106

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

R là tập các số thực
R+ là tập các số thực không âm
Rn là không gian Euclide n chiều
Rn×r là tập các ma trận thực kích thước (n × r)
(x, y) = xT y là tích vô hướng trên Rn , xT y =

AT là ma trận chuyển vị của ma trận A
λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A
λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
3


λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λA = λmax (AT A)
A ≥ 0 có nghĩa là ma trận A nửa xác định dương, tức là xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A > 0 có nghĩa là ma trận A xác định dương, tức là xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}
F ∗ (s) là ma trận liên hợp của ma trận F (s)
K là tập các hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s >
0
L2loc ([0, ∞), Rn ) là không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên các tập compact K của [0, ∞), có nghĩa là ||ω(t)||2 dt < ∞
K

L2 ([0, ∞), Rn ) không gian các hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích
trên [0, ∞), có nghĩa là

∞

0

||ω(t)||2 dt < ∞

LMI là viết tắt của cụm từ tiếng Anh (linear matrix inequality) có nghĩa là bất
đẳng thức ma trận tuyến tính

4

lớn và công thức cho các điều khiển là quá phức tạp. Năm 1989, Doyle [14] đã
mở rộng các nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ hằng số
sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều,
5


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân
và điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Mai Viết Thuận (2014), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi
phân hàm và ứng dụng trong lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học,
Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học.

Tiếng Anh
[4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G. (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans. AMS., 111(2), pp. 133 - 156.
[5] Almi A.M., Derbel N. (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer, 23, pp. 48 - 52.
[6] Babuke L. (2008), "Decentralized control: an overview", Annual Review in
Control, 32(1), pp. 87 - 98.
[7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R. (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems
with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal. Hybrid Systems,
5(4), pp. 681 - 691.

106


[8] Boyd S., Ghaoui El, Feron E., Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, 15 SIAM, Philadelphia.

14(1), pp. 269 - 277.
[22] Hale Jack K., Sioerd M. Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional
Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc.
[23] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stability and stabilization of
a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin
Institute, 346(6), pp. 611 - 625.
[24] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid
systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal. Hybrid
Systems, 3(3), pp. 259 - 265.
[25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P. (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10),
pp. 2600 - 2606.
[26] Ichikawa A. (2000), "Product of non-negative operators and infinite dimentional H∞ ricatti equations", Systems and Control Letters, 41(3), pp.
183 - 188.
[27] Ikeda M., Sijak D.D. (1980), "Decentralized stabilization of large-scale systems with time delays", Large Scale Systems, 1, pp. 273 - 279.
[28] Jiang X., Han Q.L. (2005), "On H∞ control for linear systems with interval
time-varying delay", Automatica, 41(12), pp. 2099 - 2106.
[29] Keulen B.V. (1993), H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A
State-Space Approach, Bikhauser, Bolton.
[30] Kharitonov V. L., Hinrichsen D. (2004), "Exponential estimate for time
delays systems", Systems and Control Letters, 53(5), pp. 395 - 405.
108


[31] Kharitonov V.L. (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functional and
Matrices, Birkhauser.
[32] Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. (1986), Stability of Functional Differential
Equations, Academic Press, Inc.
[33] Krasovskii N.N. (1963), Stability of Motion: Applications of Lyapunov’s Second Method to Differential Systems and Equations with Delay, Stanford
University Press, Stanford, California.
[34] Kwon O.M., Park J.H. (2006), "Guaranteed cost control for uncertain largescale systems with time-delays via delayed feedback", Chao, Solitons and

hybrid systems with time-varying delays in state and control", J. Franklin
Inst., 347(1), pp. 195 - 207.
[58] Phat V.N., Khongthamb Y., Ratchagit K. (2012), "LMI approach to exponential stability of linear systems with interval time-varying delays", Linear
Algebra and its Applications, 436(1), pp. 243 - 251.
[59] Ravi R., Nagpal K.M., Khargonekar P.P. (1991), "H∞ control of linear timevarying systems: a state approach", SIAM Journal on Control Optimization,
29(6), pp. 1394 - 1413.
[60] Ratchagit K., Phat V.N. (2011), "Stability and stabilization of switched
linear discrete -time systems with interval time-varying delay", Nonlinear
Anal. Hybrid Syst., 5(4), pp. 605 - 612.
[61] Sarason D. (1967), "Generalized interpolation in H∞ ", Trans. AMS.,
127(2), pp. 179 - 203.
[62] Savkin A.V., Evans R.J. (2001), Hybrid Dynamical Systems: Controller and
Sensor Switching Problems, Springer, New York.
[63] Sun Z., Ge S.S. (2005), Switched Linear Systems: Control and Design,
Springer, London.

111


[64] Sun J., Liu G.P., Chen J., and Rees D. (2010), "Improved delay range
dependent stability citeria for linear systems with time varying delays ",
Automatica, 46(2), pp. 466 - 470.
[65] Thuan M.V., Phat V.N. (2012), "Optimal guaranteed cost control of linear systems with mixed interval time-varying delayed state and control",
Journal of Optimization Theory and Applications, 152(2), pp. 394 - 412.
[66] Thuan M.V., Phat V.N., Fernando T. and Trinh H. (2013), "Exponential stabilization of time-varying delay systems with nonlinear perturbations", IMA Journal of Mathematical Control and Information, doi:
10.1093/imamci/ dnt022, (2013), 24 pages.
[67] Uhlig F. (1979), "A recuring theorem about pairs of quadratic forms and
extentions", Linear Algebra Appl., 25, pp. 219 - 237.
[68] Wang S., Yao H.S. (2011), "Impulsive synchronization of two coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes", Chin. Phys. B, 20, pp.
090513-1 – 090523-6.