Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯỜNG THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH Vũ Ngọc Phát

Thái nguyên, năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• R
+
• R
n
n ., .
||.||
• R
n×r

(A
T
A)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ t
0
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
f(t, x) : R
+
× R
n
→ R
n
t ≥ t
0
, x(t) ∈ R
n

0
> 0 ||y
0
− x
0
|| < δ
0
lim
t→∞
y(t) − x
0
 = 0.
x
0
(t)
y(t) y
0
x
0
x(t)
t
x
0
(t) z(t) = x(t) −
x
0
(t)




0
||x
0
|| < δ ||x(t)|| < ε, t ≥ t
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
δ
0
> 0 ||x
0
|| < δ
0
lim
t→∞
||x(t)|| = 0.
N > 0 α > 0 x(t)
x(t
0
) = x
0
x(t) ≤ Ne
−α(t−t
0
)
||x
0
||, ∀t ≥ t
0
.

→ R
+
, a(0) = 0
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R
˙
V (t, x(t)) :=
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x(t))
V (t, x(t)) t x(t)
V (t, x) : R
+
× R
n
→ R, V (t, 0) = 0, t ≥ 0
V (t, x)
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
.
˙
V (t, x(t)) ≤ 0, x(t)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∃α > 0 :
˙
V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) x(t)
α, N =

λ
2
λ
1



˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ t
0
,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0
f : R
+
× R
n
× R
m
→ R

(0 ≤ h ≤ +∞)
x(t) R
+
R
n
,
x
t
∈ C x
t
(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]
C := C([−h, 0], R
n
) x
t
[t −h, t]
x(.) C ||x
t
|| = sup
s∈[−h,0]
||x(t + s)||
t [t−h, t]



˙x(t) = f(t, x
t
), t ≥ 0,
x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0]
f : R

V (t, x
t
) ≤ 0 x(t)
x(t)
∃N > 0 : ||x(t, φ)|| ≤ N||φ||, ∀t ≥ 0.
∃λ
3
> 0 :
˙
V (t, x
t
) < 0 x(t)
∃λ
4
> 0 :
˙
V (t, x
t
) ≤ −2λ
4
V (t, x
t
) x(t)
λ
4

λ
2
λ
1

x(t
0
) = φ(t), t
0
∈ [−h, 0]
α > 0 α
g : R
n
→ R
m
α
X, Y, Z Y > 0
X + Z
T
Y
−1
Z < 0


X Z
T
Z −Y


< 0.
S ∈ R
n×n
Q ∈ R
n×n
2Qy, x − Sy, y ≤ QS


T
M


σ
0
w(s)ds

≤ σ

σ
0
w
T
(s)Mw(s)ds.
∀x, y ∈ R
n
A, P, E, F, H
P > 0, F
T
F ≤ I σ > 0
EFH + H
T
F
T
E
T
≤ σ
−1

x(0) = x
0
,
x(t) ∈ R
n
A(t)
R
+
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
α N > 0
x(0) = x
0
||x(t)|| ≤ N||x
0
||e
−αt
, t ≥ 0.
α, β Q ≥ 0.
p
0
= λ
max
(P (0)),
P
β
(t) = P (t) + βI.
˙
P
β

V
2
= β||x(t)||
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
V (t, x)
||P ||||x(t)||
2
≥ V (t, x) ≥ β||x(t)||
2
.
V
1
, V
2
t
˙
V
1
= 
˙
P (t)x(t), x(t)+ 2P(t) ˙x(t), x(t)
= 
˙
P (t)x(t), x(t)+ 2P(t)A(t)x(t), x(t)
= [
˙
P (t) + P(t)A(t) + A
T

+ β[A(t) + A
T
(t)]x(t), x(t)
+ 2αP (t)x(t), x(t) + 2αβ||x(t)||
2
= [
˙
P (t) + [P(t) + βI]A(t) + A
T
(t)[P (t) + βI]]x(t), x(t)
+ 2α[P (t) + βI]x(t), x(t)
= [
˙
P
β
(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t)]x(t), x(t).
P (t)
˙
P
β
(t) + P
β

V (0, x
0
) = P (0)x(0), x(0) + β||x(0)||
2
= P (0)x
0
, x
0
 + β||x
0
||
2
≤ (p
0
+ β)||x
0
||
2
.
||x(t)|| ≤

p
0
+ β
β
||x
0
||e
−αt
.



1 0
0 1


.
P (t) =


e
−t
0
0 e
−t


,
˙
P
β
(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) + Q = 0.

β
(t) + P
β
(t)A(t) + A
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) − P
β
(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) + Q = 0.
α > 0 α
β > 0 P ∈ BM
+
[0, ∞), Q ≥ 0
u(t) = −
1
2
B
T
(t)P
β
(t)x(t), t ≥ 0.
u(t) = K(t)x(t)
K(t) = −

(t) + P
β
(t)A(t) + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + [A
T
(t) + K
T
(t)B
T
(t)]P
β
(t)
+ P
β
(t)[A(t) + B(t)K(t)] + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P

β
(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) −
1
2
P
β
(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t)
=
˙
P
β
(t) + A
T
(t)P
β
(t) + P
β
(t)A(t) − P
β
(t)B(t)B

(t)B(t)B
T
(t)P
β
(t) + 2αP
β
(t) + Q.
α



˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
A(t) =


a(t) 0
0 b(t)


,
a(t) =
1
2
(e
−2t
+ 1)sin
4

2
t 0
0 cos
2
t


.
α =
1
4
, β =
1
2
Q =


1 0
0 1


P (t) =


e
−2t
0
0 e
−2t


||, t ≥ 0.





˙x(t) = A(t)x(t) +
p

i=1
A
i
(t)x(t − h
i
(t)), t ∈ R
+
x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên