BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
————————-

Đoàn Ngọc Hiển

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
————————-

Đoàn Ngọc Hiển

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH

nhận ra rằng niềm đam mê nghiên cứu khoa học trong thầy, cùng sự quan tâm, chỉ
bảo tận tình của thầy đã thôi thúc tôi cần cố gắng nhiều hơn nữa để hoàn thiện
bản thân.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, các cô trong
phòng Tối ưu và Điều khiển đã ân cần chỉ bảo, dạy dỗ tôi từ khi tôi học Cao học
cho tới khi tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các
thầy cô đã giảng dạy tôi trong những năm học cao học. Tôi xin chân thành cảm ơn
Ban lãnh đạo Học Viện Khoa học và Công nghệ và Viện Toán học đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn,
đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn
thạc sĩ.
Đặc biệt, tôi thực sự thấy hạnh phúc và tự hào khi họ luôn bên tôi, chia sẻ và động
viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án đó là bố, mẹ và em trai.


MỤC LỤC

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Giới thiệu cơ sở toán học
1.1

1.2

1
3

Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


14

2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên . . . . . . . . .

21

2.3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3. Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4. Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

Ví dụ



Tập các giá trị riêng của ma trận A
λmax (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)}
λmin (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)} .

C ([0, h] , Rn )

Tập hợp các hàm liên tục trên [0, h] giá trị trong Rn .

C 1 ([a, b] , Rn )

Tập các hàm khả vi liên tục trên [a, b] giá trị trong Rn .

∗

Phần tử đối xứng trong một ma trận.

A

0, A > 0

Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương.

A

B

A − B là ma trận nửa xác định không âm.

A>B

là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ
động lực. Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quan
tâm của các nhà toán học. Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thường
được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến. Vì thế, giải quyết được bài
toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần giải
quyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii như
một cách tiếp cận để đưa ra các điều kiện đủ đảm bảo sự ổn định của hệ phương
trình vi phân suy biến có trễ. Các điều kiện được đưa ra dưới dạng các bất đẳng
thức ma trận tuyến tính (LMIs). Ngoài ra chúng tôi còn trình bày vấn đề tính ổn
định vững của hệ suy biến không chắc chắc với trễ hằng. Chúng tôi sử dụng phương
pháp ổn định Lyapunov để giải quyết bài toán ổn định vững cho hệ suy biến không
chắc chắn có trễ.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 Giới thiệu cơ sở toán học trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở
về hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, giới


2

thiệu về bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân suy
biến có trễ. Đồng thời trình bày các mệnh đề bổ trợ sẽ được dùng để chứng minh
các tiêu chuẩn ổn định ở chương hai.
Chương 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trình bày
các định lý về ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng cũng như
của hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên và các ví dụ minh họa cho các định lý.


3



ϕ(θ) . Với t0 ∈ R, σ ≥ 0


4

và x ∈ ([t0 −h, t0 +σ] , Rn ), hàm xt ∈ C với t ∈ [t0 −h, t0 +σ] được xác định bởi
xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, xt là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t]
của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi xt = sup

x(t + s)) . Cho

−h θ 0

D ∈ Rn × C là một tập mở và hàm f : D → Rn . Một phương trình vi phân có trễ
trên D là phương trình dạng


x(t)
˙
= f (t, xt ), t

0,

(1.1)


x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] .
Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0 , φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.1)
nếu nó thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = φ(t0 ), t0 ∈ [−h, 0] và phương trình


≥ t0 ,

số M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định. α, M
cũng được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov.
Định lý 1.1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f (t, .) : Ω → Rn liên tục theo t và f (t, φ) là


5

Lipschitz theo φ trong mỗi tập con compact của Ω. Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại duy
nhất nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) của phương trình (1.1).
Định lý 1.1.2. (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục). Cho
f : [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) → Rn ,
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho f (t, φ)
(t, φ) ∈ [0, ∞) × P C([−h, 0], Rn ), φ

M (H),

H;

C

(ii) Hàm f (t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến;
(iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại hằng
số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
f (t, φ1 ) − f (t, φ2 )
với mọi t


Khi đó, với t0

0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.1) có duy nhất

nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định trên [t0 −h, +∞) với điều kiện ban đầu xt0 = φ.

1.1.2

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ sau:


E x(t)
˙
= Ax(t) + Ad x(t − h(t)), t ≥ 0,

x(t)

= φ(t),

t ∈ [−h, 0],

(1.2)


6

trong đó E ∈ Rn×m là ma trận suy biến, rankE = r < n, A và Ad là các ma trận

E x(t)
˙
= Ax(t),

t ≥ 0,

là chính quy, impulse-free và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận P
sao cho
E P T = P ET

0,

và
A P T +P AT < 0.


7

1.2

Các mệnh đề bổ trợ

Chúng tôi trình bày các mệnh đề và bổ đề kỹ thuật ([3, 4, 5]) sẽ được sử dụng
để chứng minh các đinh lý trong chương tiếp theo.
Bổ đề 1.2.1. Với bất kỳ hai ma trận M, N ∈ Rn×n , M = M T > 0, x, y ∈ Rn . Khi
đó
2xT N y ≤ xT M x + y T N T M −1 N y.
Bổ đề 1.2.2. Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M , số γ > 0 và hàm
vectơ ω : [0, γ] → Rn khả tích, khi đó bất đẳng thức sau thỏa mãn


Cho r thỏa mãn 1

r

r
n. Chúng ta định nghĩa Mblock
(Rn×n ) là tập hợp các

ma trận r − block






A11 A12
r
n×n
n×n
r×r
(n−r)×(n−r)


Mblock (R ) = A ∈ R |A =
, A11 ∈ R , A22 ∈ R
.


A21 A22
r

γ ρ¯τ (t) + δ,

t ≥ 0,

trong đó τ > 0, δ > 0, γ ∈ (0, 1), ρ¯τ (t) = sup ρ(t + s). Khi đó
−τ s 0

ρ(t)

γ ρ¯τ (0) +

δ
,
1−γ

∀t ≥ 0.

Bổ đề 1.2.7. Giả sử các số thực dương thỏa mãn τ, λ, δ1 , δ2 , δ1 eλτ < 1 và f (t) là
hàm liên tục thỏa mãn
0

f (t)

−λt
δ1 f¯τ + δ2 e ,

t ≥ 0,

trong đó f¯τ (t) = sup f (t + s). Khi đó
−τ s 0


lim ϕ(t) = 0

t→∞


9

Chương 2
Bài toán ổn định hệ phương trình vi
phân suy biến có trễ.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ suy biến có trễ và
đồng thời đưa ra một tiêu chuẩn để hệ là ổn định, nội dung chủ yếu trình bày từ
tài liệu [4],[5].

2.1

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng.

Xét hệ phương trình vi phân có trễ hằng sau
E x(t)
˙
=Ax(t) + Ad x(t − τ ),
x(t) =φ(t),

t ≥ 0,

(2.1)

t ∈ [−τ, 0],

ε, t

0. Hơn nữa lim x(t) = 0.
t→∞

Bổ đề 2.1.1. ([4]) Giả sử bộ (E, A) là chính qui và impulse−free, khi đó hệ (2.1)
có nghiệm duy nhất trên đoạn [0, +∞).
Định lý 2.1.1. ([4]) Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1) là chính
qui, impulse–free và ổn định mũ nếu tồn tại ma trận Q > 0 và ma trận P thỏa mãn
EP T = P E T ≥ 0,

(2.2)

AP T + P AT + Ad P T Q−1 P ATd + Q < 0.

(2.3)

Chứng minh. Chứng minh Định lý (2.1.1)
Giả sử (2.2) và (2.3) đúng với mọi ma trận Q > 0. Khi đó từ (2.3) ta dễ dàng thấy
rằng
AP T + P AT < 0.

(2.4)

Sử dụng mệnh đề (1.1.2), từ (2.2) và (2.4) suy ra bộ (E, A) là chính qui và
impulse−free. Bước tiếp theo chúng ta chứng minh tính ổn định của hệ phương
trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1). Theo chứng minh trên ta có bộ (E, A) là
chính qui và impulse−free do đó tồn tại hai ma trận khả nghịch G và H ∈ Rn×n
sao cho




,


11


P¯11
P¯ := GP H −T = 
P¯21

¯
Q
¯ := GQGT =  11
Q
¯T
Q
12


¯
P12
,
P¯22

¯
Q12

¯ 22



P
A
P
22
22
d21 11
d22 12
d22 22 

12
12
22

 < 0,
 P¯11 AT + P¯12 AT
¯11 AT + P¯12 AT
¯ 11
¯ 12 
P
−
Q
−
Q
d11
d12
d21
d22


T


¯ 22 > 0 và bất đẳng thức (2.12) đúng, chúng ta suy ra rằng P¯22 là khả nghịch.
Do Q
Do đó từ bất đẳng thức (2.12) ta suy ra


T ¯ −1
˜
− Q22
Ad22 P22

 < 0,
−T
−1
−T
¯
¯
¯
˜
P22 Ad22 P22 + P22 + Q22


12

trong đó
˜ 22 = P¯ −1 Q
¯ 22 P¯ −T .
Q
22
22

(2.16)

0 = ζ2 (t) + Ad21 ζ1 (t − τ ) + Ad22 ζ2 (t − τ ).

(2.17)

Dễ dàng thấy rằng tính ổn định của hệ (2.1) là tương đương với tính ổn định của
hệ (ΣD ). Do đó thay vì chứng minh tính ổn định của hệ (2.1) ta sẽ chứng minh
T
tính ổn định của hệ (ΣD ). Từ P¯11 = P¯11
0 và
¯ 11 < 0,
P¯11 AT1 + A1 P¯11 + Q
ta suy ra P¯11 > 0. Định nghĩa
t

V (ζt ) =

−1
T
ζ1 (t) P¯ 11 ζ1 (t)

−1 ¯ ¯ −T
T
ζ(s) P¯ Q
P ζ(s)ds,

+
t−τ


P ζ(t − τ )
−1
−1
T
˙ + ζ(t)
˙ T E¯ T P¯ ζ(t) + ζ(t)T P¯ −1 Q
¯ P¯ −T ζ(t)
= ζ(t) P¯ E¯ ζ(t)
−1 ¯ ¯ −T
T
− ζ(t − τ ) P¯ Q
P ζ(t − τ )
−1 ¯
−1 ¯ ¯ −T
−1
T
T
T
= 2 ζ(t) P¯ Aζ(t)
+ ζ(t) P¯ Q
P ζ(t) + 2 ζ(t) P¯ A¯d ζ(t − τ )
−1 ¯ ¯ −T
T
− ζ(t − τ ) P¯ Q
P ζ(t − τ )
−1
T
T
T ¯ −1 ¯ ¯ T
T

t−τ

V˙ (ζs )ds

=

t

t

t

2

− λ2

ζ1 (s) ds < 0

(2.18)

0

0

0

2

− λ2


ζ1 (t)
và

2

< m1 ,

(2.19)

t
2

ζ1 (t) ds
o

m2 ,

(2.20)


14

trong đó
m1 =

1
V (ζ0 ) > 0,
λ1

m2 =

t < kτ,

và từ (2.17) ta có
k
i−1

k

ζ2 (t) = (−Ad22 ) ζ2 (t − kτ ) −

(− Ad22 )

Ad21 ζ1 (t − iτ ).

i=1

Kết hợp đẳng thức trên với (2.15) và (2.21) ta có
lim ζ2 (t) = 0.

t→∞

Vậy hệ (ΣD ) ổn định, từ đó suy ra hệ (2.1) ổn định.

2.2

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng với
tham số không chắc chắn.

Xét hệ suy biến có trễ với tham số không chắc chắn sau
(Σ) : E x(t)

I, nghĩa là tồn tại σ sao cho F = F (σ). Các ma trận

∆A, ∆Ad , ∆B được gọi là chấp nhận được nếu thỏa mãn cả hai điều kiện (2.24) và
(2.25).
Định nghĩa 2.2.1. Hệ không chắc chắc (Σ) với u(t) ≡ 0 được gọi là ổn định toàn
phương tổng quát nếu hệ không chắc chắn (Σ) là chính qui, impulse−free và ổn
định với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A, ∆Ad .
Định nghĩa 2.2.2. Hệ không chắc chắc (Σ) được gọi là ổn định hóa được toàn
phương tổng quát nếu tồn tại hàm điều khiển tuyến tính u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n
sao cho hệ đóng ( hệ (Σ) với u(t) = Kx(t)) là ổn định toàn phương tổng quát. Khi
đó, u(t) = Kx(t) được gọi là hàm điều khiển phản hồi của hệ (Σ).
Mệnh đề 2.2.1. Hệ không chắc chắn (Σ) là ổn định toàn phương tổng quát nếu
tồn tại hai ma trận Q > 0 và P sao cho
EP T = P E T

0,

(2.26)

(A + ∆A)P T + P (A + ∆A)T + (Ad + ∆Ad )P T Q−1 P (Ad + ∆Ad )T + Q < 0, (2.27)
với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A và ∆Ad .
Mệnh đề 2.2.2. Hệ không chắc chắn (Σ) là ổn định hóa được nếu tồn tại một hàm
điều khiển tuyến tính u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n , ma trận Q > 0 và ma trận P thỏa
mãn
EP T = P E T

0,

(2.28)


Định lý 2.2.1. Hệ không chắc chắn (Σ) được gọi là ổn định toàn phương tổng quát
khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 và các ma trận X > 0, Q > 0, Y thỏa mãn bất đẳng
thức ma trận tuyến tính


W



 (EX + Y ΦT )ATd


Ad (EX + Y ΦT )T (EX + Y ΦT )NAT
−Q

NA (EX + Y ΦT )T Nd (EX + Y ΦT )T

T



T

d 

(EX + Y Φ )N
−εI




 F (σ)T × M T 0
+
T
P Nd




T
T
εM M 0
P NA

 + ε−1 
 × NA P T Nd P T
0
0
P NdT
Do đó


T
T
T
(A + ∆A)P + P (A + ∆A) + Q (Ad + ∆Ad )P


P (Ad + ∆Ad )T
−Q


−Q
điều này tương đương với
(A + ∆A)P T + P (A + ∆A)T + (Ad + ∆Ad )P T Q−1 P (Ad + ∆Ad )T + Q < 0.
Từ bất đẳng thức trên cùng với bất đẳng thức (2.32), theo định nghĩa (2.2.3) ta
suy ra hệ đã cho là ổn định toàn phương tổng quát.
Điều khiện cần:
Giả sử hệ không chắc chắn, suy biến có trễ hằng (Σ) là ổn định toàn phương tổng
quát. Theo mệnh đề (2.2.1) nghĩa là tồn tại các ma trận Q > 0 và P sao cho (2.26)


18

và (2.27) đúng. Do đó với mọi F (σ) thỏa mãn (2.24) và (2.25) thì bất đẳng thức
sau đúng


T
T
T
(A + ∆A)P + P (A + ∆A) + Q (Ad + ∆Ad )P

 < 0,
T
P (Ad + ∆Ad )
−Q
ta
 có thể biểu diễn lại nhưsau 
AP T + P AT + Q Ad P T
M


 NA P T Nd P T < 0.
T
0
P Nd

Áp dụng một lần nữa bổ đề (1.2.3) (Schur complement lemma), ta có


AP T + P AT + εM M T + Q Ad P T P NAT


T
T  < 0.

P
A
−Q
P
N
d
d 

T
T
NA P
Nd P
−εI

(2.33)


19

Λ ∈ R(n−r)×(n−r) sao cho


Φ=V 

0
In−r


 Λ.

(2.36)



¯
¯
P11 P12
V T
Do đó, P = U −1 
¯
0 P22



 



P¯
−1  11  −T
Y =U
Λ .
P¯22

Cuối cùng, từ X > 0 và thay P vào (2.33) suy ra điều cần chứng minh.
Định lý 2.2.2. ([4]) Hệ không chắc chắn, suy biến có trễ hằng (Σ) là hệ ổn định
hóa được toàn phương tổng quát nếu tồn tại một số ε > 0 và các ma trận
X > 0, Q > 0, Y, Z thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau


T
W
Ad Υ(X, Y )T Υ(X, Y )NAT + Z T BN


T
T

 < 0,
Υ(X,
Y
)A
−Q
Υ(X,
Y
)N
d
d