BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ LANH
PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Lanh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm
Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ”
được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những

n
;
M
n×m
(R) không gian các ma trận hệ số
thực cỡ n × m;
C[a, b] không gian các hàm nhận giá trị thực
liên tục trên đoạn [a, b];
C
1
[a, b] không gian các hàm nhận giá trị thực
khả vi liên tục tới cấp 1 trên đoạn [a, b];
C = C([a, b], R
n
) không gian các hàm nhận giá trị
thực trong R
n
liên tục trên đoạn [a, b];
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A;
I ma trận đơn vị;
λ(A) tập tất cả các giá trị riêng của A;
λ
min
(A) phần thực nhỏ nhất giá trị riêng của A
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân có nhiều ý nghĩa thực tiễn

- Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định.
- Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận.
5. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống khoa học về bài toán ổn định phương trình
vi phân có trễ: Phương pháp và kết quả cơ sở về bài toán ổn định.
3
Chương 1
Cơ sở toán học
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở chuẩn bị
dùng cho các phần sau. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số không gian
hàm, các khái niệm liên quan tới hệ phương trình vi phân thường và có
trễ, tiếp theo chúng tôi trình bày bài toán ổn định của hệ phương trình vi
phân, mục cuối chúng tôi giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov là một
trong những công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định của hệ phương trình vi
phân. Nội dung chương này được lấy từ các tài liệu [1, 2, 3, 4].
1.1. Phương trình vi phân
1.1.1. Phương trình vi phân thường
• Một số không gian hàm
a) Không gian R
n
Không gian tuyến tính thực R
n
với chuẩn
||x|| =

n

i=1
x
2

là các số thực. Chuẩn của ma trận A
xác định bởi
||A|| =

n

i=1
m

j=1
|a
ij
|
2

1/2
.
c) Xét không gian C[a, b] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với chuẩn
||x|| = sup
[a,b]
|x(t)|.
Khi đó C[a, b] là một không gian Banach thực.
d) Xét không gian C
1
[a, b] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và khả vi liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với chuẩn
||x|| = sup
[a,b]
|x(t)| + sup

• Xét phương trình vi phân





˙x(t) = f(t, x(t)), t ∈ I = [t
0
− d, t
0
+ d]
x(t
0
) = x
0
, x ∈ R
n
, t
0
≥ 0,
(1.1)
trong đó
f(t, x) : I × D −→ R
n
, D = {x ∈ R
n
: ||x − x
0
|| ≤ a}.
Ta nhắc lại định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) như sau.

n
liên tục}
với chuẩn của hàm ϕ ∈ C là
||ϕ||
C
= sup
t∈[−h,0]
||ϕ(t)||.
6
Định nghĩa 1.2. Cho t
0
∈ R
n
, σ ≥ 0 và x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ σ], R
n
), đặt
hàm x
t
xác định bởi
x
t
(s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0], t ∈ [t
0
, t
0
+ σ]

Ta có các khái niệm về nghiệm của phương trình (1.2) như sau.
Định nghĩa 1.3. Cho t
0
∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t
0
, ϕ, f ) là một nghiệm của
phương trình vi phân có trễ (1.2) với hàm điều kiện ban đầu ϕ tại t
0
(hoặc
đơn giản, là một nghiệm đi qua điểm (t
0
, ϕ)) nếu
1) ∃σ > 0 sao cho x(t
0
, ϕ, f ) thỏa mãn (1.2) trên [t
0
− h, t
0
+ σ);
7
2) x
t
0
(t
0
, ϕ, f ) = ϕ.
Dưới đây là điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
(1.2).
Định lý 1.2. Xét phương trình vi phân (1.2). Giá sử:
i) Vơi mọi h > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho ϕ ≤ h :

γ(r)
= +∞.
Khi đó hệ (1.2) có nghiệm duy nhất x(t, ϕ) trên R
+
.
1.2. Bài toán ổn định
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân
Xét bài toán Cauchy sau





˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
(1.3)
8
trong đó x(t) ∈ R
n
là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm f : R
+
×R
n
−→

nếu
1) nghiệm x(t) là ổn định;
2) ∃δ > 0 sao cho ||y
0
− x
0
|| < δ thì
lim
t→+∞
||y(t) − x(t)|| = 0.
Như vậy, nghiệm của hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với
nghiệm y(t) bất kì mà có giá trị ban đầu y
0
gần với giá trị ban đầu x
0
thì
khi thời gian t → +∞ nghiệm y(t) sẽ dần tới nghiệm x(t).
Ta thấy rằng, qua phép biến đổi tuyến tính





x − y → z
t − t
0
→ τ,
9
khi đó hệ (1.3) trở thành
˙z(τ ) = F (τ, z), (1.4)

lim
t→+∞
||x(t)|| = 0.
Ta có khái niệm về sự ổn định mũ dưới đây.
Định nghĩa 1.7. Hệ (1.3) gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M > 0 và δ > 0
sao cho với bất kì nghiệm x(t), x(t
0
) = x
0
của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤ Me
−α(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
.
10
Định nghĩa này cho thấy rằng, nghiệm 0 của hệ là ổn định tiệm cận và
mọi nghiệm bất kì của hệ tiến tới nghiệm 0 nhanh với tốc độ theo hàm
mũ.
Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau.
Ví dụ 1.1. Xét bài toán sau trong R,





˙x(t) = ax, t ≥ 0
x(t

0
≥ 0,
trong đó a là hàm số liên tục từ R
+
vào R.
Dễ thấy nghiệm của hệ trên xác định bởi
x(t) = x
0
e
t

t
0
a(s)ds
.
Như vậy, nếu tích phân
t

t
0
a(s)ds là bị chặn bởi số µ(t
0
) < +∞ nào đó,
nghĩa là,
t

t
0
a(s)ds ≤ µ(t
0

0
, t
0
≥ 0,
(1.5)
trong đó A ∈ M
n×n
(R). Khi đó, hệ (1.5) là ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi mọi giá trị riêng của ma trận A có các phần thực là âm, tức là
Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A).
Xét hệ phương trình vi phân





˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
(1.6)
trong đó f : R
+
×R
n
−→ R
n
là hàm phi tuyến cho trước, x(t) ∈ R
n
là trạng

i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
;
ii) Đạo hàm
˙
V
f
(t, x) ≤ 0 với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.6);
Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm hai điều kiện:
iii) ∃b(·) ∈ K : V (t, x(t)) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
;
iv) ∃c(·) ∈ K :
˙
V
f
(t, x(t)) ≤ −c(||x||), với mọi nghiệm x(t) của hệ
(1.6), thì ta gọi V (t, x) là hàm Lyapunov chặt.
Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình





˙x(t) = −(x − 2y)(1 − x

V (t) = 2 + 2x(2y − x)(1 − x
2
− 3y
2
) − 4y(y + x)(1 − x
2
− 3y
2
)
= 2 − 2(x
2
+ 2y
2
)(1 − x
2
− 3y
2
) ≤ 0 với x, y đủ nhỏ.
Định lý 1.4. Cho hệ phương trình vi phân như trong (1.6), khi đó:
1) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov thì hệ đó là ổn định;
2) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt thì hệ đó là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. 1) Giả sử trái lại hệ (1.6) không ổn định, khi đó tồn tại các
số 
1
> 0, t
0
> 0 và với mọi δ > 0 tồn tại nghiệm x
1
(t) mà x
1

, x
0
) < a(
1
).
Do V là hàm Lyapunov nên
˙
V
f
V (t, x) ≤ 0
nên ta có
V (t, x
1
(t)) ≤ V (t
0
, x
0
), ∀t ≥ t
0
.
Do đó
a(
1
) ≤ a(||x
1
(t)||) ≤ V (T, x
1
(T )) ≤ V (t
0
, x

t

T
γ(||x(s)||)ds.
Mặt khác, do
γ(||x||) ≥ γ(b
−1
(a))
nên với mọi t ≥ T ta có
V (t, x(t)) − V (T, x(T )) ≤ −γ(b
−1
(a))(t − T )
suy ra
−V (T, x(T )) ≤ −γ(b
−1
(a)), ∀t ≥ T,
hay
V (T, x(T )) ≥ γ(b
−1
(a)), ∀t ≥ T.
Cho t → +∞ suy ra điều mâu thuẫn. Vậy hệ (1.6) là ổn định tiệm cận.
Định lí được chứng minh.
15
Ta có kết quả về sự ổn định mũ như sau.
Định lý 1.5. Giả sử tồn tại hàm V (t, x(t)) thỏa mãn:
i) ∃λ
1
> 0, λ
2
> 0 : λ




˙x(t) = f(t, x
t
), t ≥ 0;
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0].
(1.8)
Tương tự như đối với hệ phương trình vi phân thường (1.3) ta cũng có các
khái niệm tương tự về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ
(1.8).
Định nghĩa 1.10. Hệ (1.8) gọi là:
1. ổn định nếu ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀ϕ ∈ C : ϕ < δ thì với mọi nghiệm
x(t, ϕ) thỏa mãn x(t, ϕ) < , ∀t ∈ R
+
.
2. ổn định tiệm cận nếu hệ (1.8) là ổn định và x(t, ϕ) → 0 khi t →
+∞.
3. ổn định mũ nếu mọi nghiệm x(t, ϕ) thỏa mãn điều kiện:
∃M > 0, α > 0 : x(t, ϕ) ≤ Me
−αt
ϕ, ∀t ≥ 0.
16
Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩa
tương tự như sau:
Định nghĩa 1.11. Hàm V (t, ϕ) : R
+
× C → R
n
gọi là hàm Lyapunov của

3
(||x
t
||), với mọi
nghiệm x(t) của hệ (1.8), trong đó
˙
V
f
(t, x
t
) = lim
h→0
+
V (t + h, x
t
+ h) − V (t, x
t
)
h
.
Ta có định lý sau về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ
(1.8).
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại hàm Lyapunov V (t, x
t
) cho hệ (1.8). Khi đó
hệ là ổn định mũ với chỉ số ổn định Lyapunov α = −
1
2
α
3

T
Nx + y
T
N
−1
y, ∀(x, y) ∈ R
n
× R
n
.
18
Chương 2
Tính ổn định phương trình vi phân
có trễ
Chương này trình bày các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận cho các hệ phương
trình vi phân tuyến tính có trễ hằng và trễ biến thiên, hệ phương trình vi
phân phi tuyến có trễ hằng và biến thiên bằng phương pháp hàm Lyapunov.
Các điều kiện được trình bày dưới dạng nghiệm của các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính mà có thể giải được bằng các công cụ Matlab LMI toolbox
[5]. Nội dung chương này lấy từ các tài liệu [2, 4].
2.1. Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ
Trong mục này, giả sử A, D ∈ M
n×n
(R), h dương xét hệ phương trình sau:





˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h),

V (t, x
t
) ≥ P x(t), x(t) ≥ λ
min
(P )x(t)
2
, t ≥ 0
và
V (t, x
t
) ≤ λ
max
(P )x(t)
2
+
t

t−h
λ
max
(Q)x(s)
2
ds
≤ λ
max
(P )x(t)
2
+ λ
max
(Q)hx

2
x
t

2
, (2.3)
như vậy điều kiện i) và iii) được thỏa mãn.
Để kiểm tra điều kiện ii) và iv) ta lấy đạo hàm của hàm V theo t như
sau:
˙
V
f
(t, x
t
) = 2P ˙x(t), x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h)
= 2P Ax(t), x(t) + 2P Dx(t − h), x(t) + Qx(t), x(t)
− Qx(t − h), x(t − h)
= (A
T
P + P A + Q)x(t), x(t) + 2P Dx(t − h), x(t)
− Qx(t − h), x(t − h).
20
Đặt biến z(t) =


x(t)
x(t − h)


ta có

2
≥ x(t)
2
nên ta có
˙
V
f
(t, x
t
) ≤ −λx(t)
2
, ∀t ≥ 0.
Vậy các điều kiện của Định nghĩa 1.9 được thỏa mãn, do đó theo Định lý
1.4 hệ (2.1) là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình vi phân có trễ dạng:





˙x
1
(t) = −3x
1
(t) + x
1
(t − 2), t ≥ 0,
˙x
2
(t) = −5x

P < 0. (2.5)
21