ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYỄN DUY KHÁNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát

HÀ NỘI- 2015


Mục lục
Mở đầu

2

Các kí hiệu dùng trong luận văn

4

Lời cảm ơn

5


Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định . . . . . . 10

1.3

Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 15
2.1

Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . 16

2.2

Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến . . . . . 21

Kết luận

23

Tài liệu tham khảo

24

1


Lời mở đầu
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển
thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học


lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứng
dụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà
không thể giải quyết được bằng các phương pháp khác. Từ đó đến nay lý
thuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi động
của Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong
lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùng
với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên
cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa
các hệ điều khiển. Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định
hóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phương
pháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã và
đang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế.
Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một
số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gian
liên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứng
dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở toán học
Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương
trình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyến
bằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơ
bản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên về
bài toán ổn định hóa.
Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng
Trong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổn
định của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một số
ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi
tuyến.

Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015
Học viên
Nguyễn Duy Khánh

5


Chương 1

Cơ sở toán học
Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương
trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, các khái niệm về tính
ổn định của hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến, đưa ra một số tiêu chuẩn
cơ bản về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồng thời trình bày những khái
niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa.
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([2], [4], [5],
[6]).

1.1

Hệ phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b] ,
x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0,


∃M0 , M1 sao cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn ,

∃M2 sao cho f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ M2 x1 − x2 ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [0; +∞)
Đối với hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t) + g(t), t ≥ 0,
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,

(1.2)

trong đó A là ma trận hằng số, g(t) : [0; ∞) → Rn là hàm khả tích thì hệ

(1.2) luôn có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy sau:
t

x(t) = e

A(t−t0 )

eA(t−t0 ) g(s)d(s).

x0 +

Φ(t, s)g(s)d(s),

(1.5)

t0

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương
trình ma trận

d
Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
dt
Φ(t, t) = I.
1.2
1.2.1

(1.6)

Lý thuyết ổn định Lyapunov
Các khái niệm về ổn định

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0,
x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0,

(1.7)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái của hệ f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn .
Giả sử hàm f (t, x(t)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm của


Phương pháp hàm Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng

x(t)
˙
= f (x(t)),

f (0) = 0,

t ∈ R+ .

(1.8)

Xét hàm số V (x) : Rn → R được gọi là xác định dương nếu
a) V (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn .
b) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Định nghĩa 1.2.4. Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D là lân cận mở tùy ý của

0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu
a) V (x) là hàm khả vi liên tục trên D.
b) V (x) là hàm xác định dương.
c) Df V (x) : =

∂V
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.
∂x

Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm

∀ (t, x) ∈ R+ × D.

c) ∃ a(.) ∈ K : V (t, x) ≤ a(||x||),

d) ∃ γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(||x||), ∀ t ∈ R+ , x ∈ D \ {0}.
thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lý 1.2.2. Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.7) có hàm Lyapunov thì
hệ là ổn định. Nếu hàm là chặt thì hệ ổn định tiệm cận.
1.2.3

Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định

Xét hệ tuyến tính

t ≥ 0,

x(t)
˙
= Ax(t),

(1.9)

trong đó A là ma trận cấp n × n. Nghiệm của hệ (1.9) với trạng thái ban
đầu x(t0 ) = x0 cho bởi công thức Cauchy:

x(t) = x0 eA(t−t0 ) ,

t ≥ t0 .

Định lý 1.2.3 (Công thức Sylvester). Cho A là ma trận n × n chiều với

(1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov.
Định lý 1.2.4. Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của
tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

Reλ < 0, với mọi λ ∈ λ(A).
Ví dụ 1.2.1. Xét tính ổn định của hệ

x˙1 = x1 − x2 + x3
x˙2 = x1 + x2 − 3x3

x˙3 = x1 − 5x2 − 3x3
Lập phương trình đặc trưng

λ−1
3
1
−1
λ
−
1
3
f (λ) =
= 0,
−1
5
λ+3
f (λ) = λ3 + λ2 − 18λ + 12 = 0.
Vì f (0) = 12 > 0; f (1) = −5 < 0, mà hàm f (λ) liên tục trên [0; 1] nên có
ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Như vậy phương trình đặc trưng
có ít nhất một nghiệm với phần thức lớn hơn 0 nên hệ đã cho không ổn


x, y =

xi yi .
i=1

Ta có tiêu chuẩn sau
Định lý 1.2.5 (Sylvester condition). Ma trận A cỡ (n × n) là xác định
dương nếu

det(Di ) > 0, i = 1; 2; . . . ; n
trong đó

a a
D1 = a11 ; D2 = a11 a12 ; D3 =
21
22

a11 a12 a13
a21 a22 a23 ; . . . ; Dn = A.
a31 a32 a33

Định lý 1.2.6. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi phương trình (1.11)
có cặp nghiệm X, Y là ma trận đối xứng, xác định dương.

1.3

Bài toán ổn định hóa

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán


t ≥ 0,

(1.13)

là ổn định tiệm cận.
Đối với hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

t ≥ 0,

(1.14)

được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại điều khiển ngược

u(t) = Kx(t), K ∈ Rn×m ,
sao cho hệ x(t)
˙
= (A + BK)x(t) là ổn định tiệm cận.
Như vậy, bài toán ổn định hóa hệ tuyến tính (1.14) được đưa thành bài
toán tìm ma trận K ∈ Rn×m sao cho ma trận (A + BK) là ổn định, tức
là phần thực của tất cả các giá trị riêng của (A + BK) là âm.
Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.14) là ổn định hóa được như sau.
Định lý 1.3.1. Hệ (1.14) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối
xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn

AT P + P A − P BB T P + Q = 0,

2
3 1 2

2 1
1 0 .
1 2

Ta tìm được nghiệm

1 0 0
0 2 0 ; Q=
0 0 1

P =

2 0 0
0 4 0 .
0 0 1

Thật vậy, ta có


2 1 3
1 0
2 0 1
T
A P = 1  0 2
0 0
3
1

1
1 2
4
2 ,
5

0
0
1

=

2 2 3
2 0 1 ,
1 1 2


1
1
=
2
2

2 2 1
2 0 1 ,
3 1 2

2 1 1
1 0 2


Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp
hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của
đạo hàm theo vế phải của hệ đã cho.
Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng, phương pháp thứ
nhất đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm vế phải, phương pháp thứ hai lại
rất khó khăn trong việc tìm hàm Lyapunov. Cho đến này chưa có phương
pháp nào hiệu quả tìm hàm Lyapunov mà chỉ dựa vào kinh nghiệm, đặc
thù vế phải.
Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ
phương trình phân phi tuyến đồng thời mở rộng các kết quả ổn định cho
các hàm tựa Lyapunov. Từ đó vận dụng các kết quả vào giải quyết các bài
toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([1], [3], [4]).

15


2.1

Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến

Xét hệ phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(2.1)

t ≥ 0.


1 2
−t
−2 2
 2x1 (t)e 
A = 1 −5 , g(t, x(t)) =  1
,
2
−t
− x2 (t)e
2


xét

det(A − λI) =

−2 − λ
2
1
−5 − λ = 0

suy ra (λ + 2)(λ + 5) + 2 = 0 hay λ1 = −3; λ2 = −4.
16


Vậy ma trận A ổn định.
Mặt khác

x˙2 (t) = −x1 (t) − 2x2 (t) − x2 (t)e−x1 (t)
Ta có

−2 2
A = −1 2 ,

f (x(t)) = x1 (t)e−x2 (t) , −x2 (t)e−x1 (t) .

Ta thấy

f (x(t)), f (x(t)) = x22 (t)e−2x1 (t) + x21 (t)e−2x2 (t)
f (x(t))T f (x(t)) ≤ x21 (t) + x22 (t) ≤ x(t)

2

suy ra α = 1.
Theo định lý 2.1.2 ta phải tìm ma trận P đối xứng, xác định dương
thỏa mãn bất đẳng thức trận tuyến tính

AT P + P A + I P
P
−I

17


suy ra

AT P + P A + P 2 + I =

−2 0
0 −3 < 0.

Do đó hệ trên là ổn định tiệm cận.
Định lý 2.1.3. Xét hệ phi tuyến

x(t)
˙
= A(t)x(t) + g(t, x(t)),

t≥0

(2.4)

Giả sử
i) ∃K > 0, δ > 0 :

Φ(t, s) ≤ Ke−δ(t−s) ,

ii) g(t, x) ≤ L(t) x ,
iii) sup L(t) ≤ M

Df+ V được gọi là đạo hàm Dini trên của V (.) dọc theo quỹ đạo của (2.1).
Với x(t) là nghiệm của (2.1), ta kí hiệu d+ V (t, x(t)) là đạo hàm trên
bên phải của V (t, x(t)).
d+ V (t, x(t)) = lim+
h→0

V (t + h, x(t + h)) − V (t, x(t))
.
h

Định nghĩa 2.1.2. Hàm V (t, x) : W → R là Lipschitz theo x thỏa mãn
với mọi t ∈ R+ nếu tồn tại số L > 0 sao cho với mọi t ∈ R+ ,

|V (t, x1 ) − V (t, x2 )| ≤ L x1 − x2 ,

∀(x1 , x2 ) ∈ Rn × Rn .

Xét hệ phương trình vi phân

t ≥ 0,

u(t)
˙
= g(t, u),

(2.6)

với g(t, u) là hàm liên tục theo t và u.
Mệnh đề 2.1.1. Cho u(t) là nghiệm cực đại của hệ (2.6) với u(t0 ) = u0 .
Nếu tồn tại hàm liên tục v(t) với v(t0 ) = u0 thỏa mãn

p

≤ V (t, x) ≤ λ2 x q ,

Df V (t, x) ≤ −λ3 x

r

+ Ke−δt ,
19

∀(t, x) ∈ W,

∀t ≥ 0, x ∈ Rn \ {0}.

(2.7a)
(2.7b)


Định nghĩa 2.1.4. Hàm V (t, x) : W → R gọi là hàm tựa Lyapunov suy
rộng của (2.1) nếu V (t, x) liên tục theo t, Lipschitz theo x, tồn tại các
hàm dương λ1 (t), λ2 (t), λ3 (t), với λ1 (t) là hàm không giảm và tồn tại các
số dương K, p, q, r, δ sao cho

λ1 (t) x

p

≤ V (t, x) ≤ λ2 (t) x q ,



Ví dụ 2.1.3. Xét tính ổn định của phương trình vi phân phi tuyến
1 1
(2.10)
x(t)
˙
= − x 5 (t) + x(t) e−2t .
5
Định lý 2.1.5. Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu tồn tại hàm tựa Lyapunov suy
rộng V (t, x) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau

δ > inf+
t∈R

λ3 (t)
[λ2 (t)]r/q

> 0,

∃γ > 0 sao cho V (t, x) − [V (t, x)]r/q ≤ γe−δt .

(2.11a)
(2.11b)

Chú ý 2.1.1. Trong định lý 2.1.5 ta giả thiết λ1 (t) là hàm không giảm.
Nếu λ1 (t) thỏa mãn điều kiện

λ1 (t) ≥ e−αt , t ≥ 0,

∃a > 0 : a < M,

(2.13)

(2.14)


2.2

Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến

Xét hệ phương trình phi tuyến

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t) + f (x(t), u(t)),

(2.15)

trong đó A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , f : Rn × Rm → Rn là hàm phi tuyến liên
tục thỏa mãn điều kiện

f T (x, u)f (x, u) ≤ α x

2

+ β u 2,

(2.16)

với α > 0, β > 0, (x, u) ∈ Rn × Rm .
Định lý 2.2.1. Hệ (2.15) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối


t ≥ 0.

Ví dụ 2.2.2. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến

√
√

2
1

x˙1 (t) = −3x1 (t) − x2 (t) + u1 (t) − u2 (t) +
x1 (t) + 3u2 (t) e−x2 (t)
2
√2
√

1
2

x˙2 (t) = x1 (t) − 7x2 (t) + 2u1 (t) + u2 (t) +
x2 (t) − 3u1 (t) e−x1 (t)
2
2
Sau đây là một số ứng dụng dựa trên các kết quả thu được về tính ổn
định bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov.
Xét bài toán ổn định hóa hệ

x(t)
˙

Áp dụng kết quả thu được từ định lý 2.1.5 ta có định lý sau:
Định lý 2.2.3. Giả sử tồn tại hàm h(x) : Rn → Rm với h(0) = 0 và h(x)
liên tục theo x sao cho hệ (2.19) ta có thể chọn được hàm tựa Lyapunov
suy rộng thỏa mãn (2.11a) và (2.11b), khi đó hệ điều khiển đóng

x(t)
˙
= f (t, x(t), h(x(t))),

t ≥ 0,

trong đó h(x) : Rn → Rm là ổn định mũ với hàm điều khiển ngược u(t) =

h(x(t)).

22


Kết Luận
Trong luận văn này tôi đã trình bày lại một cách có hệ thống về việc
nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân phi tuyến
với thời gian liên tục bằng phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov cho
một số dạng phương trình đặc biệt và phương pháp hàm Lyapunov, mở
rộng đối với các hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng và vận dụng
các kết quả đó giải bài toán ổn định hóa.
Ngoài phần đọc hiểu, tôi có đóng góp trong việc chứng minh chi tiết
các định lý về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến và xây
dựng một số ví dụ mới minh họa.

23