Số hóa bởi trung tâm học liệu ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
 PHẠM THANH HUẾ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP
HÀM LYAPUNOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH : VŨ NGỌC PHÁT
Thái Nguyên – 2013 i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu
trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và
chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

KẾT LUẬN 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Số hóa bởi trung tâm học liệu

iii
MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN 
: Tập các số thực không âm.

n

: Không gian vecto
n
- chiều với tích vô hướng là
,
và chuẩn của
vecto là
.
.

nm

: Không gian các ma trận
nm
chiều.

D

.

I
: Là ma trận đơn vị.

A
: Tất cả các giá trị riêng của ma trận
A
.

max
: max :A Re Amin
: min :A Re A0A
: Ma trận
A
xác định dương nếu
, 0, 0Ax x x
.

0A
: Ma trận
A
xác định không âm nếu
, 0,

Chúng ta đã biết có nhiều phương pháp để nghiên cứu lý thuyết ổn định
nhưng phải nói đến hai phương pháp của nhà toán học người Nga Lyapunov :
Phương pháp thứ nhất Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp
thứ hai Lyapunov – phương pháp hàm Lyapunov. Trong đó phương pháp hàm
Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định của các
hệ phương trình vi phân có cấu trúc phức tạp như hệ phi tuyến, hệ có trễ…
Trên cơ sở các tài liệu, kiến thức về phương trình vi phân và lý thuyết ổn
định chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân

Số hóa bởi trung tâm học liệu

2
theo phƣơng pháp hàm Lyapunov” Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định hệ phương trình vi phân truyến tính có trễ bằng phương pháp hàm
Lyapunov.
Nội dung trình bày luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương.
Chƣơng 1: Cơ sở toán học
Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm cơ bản về hệ
phương trình vi phân, một số định lí về tính ổn định của lý thuyết ổn định
phương trình vi phân, một số định lí và bổ đề bổ trợ.
Chƣơng 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm
Lyapunov.
Chương này chúng tôi trình bày về bài toán ổn định của một số dạng hệ
phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân
tuyến tính ôtônôm, hệ tuyến tính không ôtônôm và hệ phương trình vi phân có
trễ cùng với một số ví dụ minh họa.
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất tới GS.
TSKH Vũ Ngọc Phát. Thầy đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời
gian qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại
học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã dạy dỗ, động viên, tạo

(1.1.1)
trong đó
,:
nn
f t x   
, với mỗi
0
, x
n
t t t 

Hàm
xt
khả vi liên tục trên

thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) được
gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được ký hiệu là
0
,x t x

Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là:
0
00
,,
t
t
x t x x f s x s dsSố hóa bởi trung tâm học liệu

x
:
1 2 1 2
0: , , , 0K f t x f t x K x x t

Khi đó với mỗi
00
,t x I D
sẽ tìm được một số
0d
sao cho hệ
phương trình (1.1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng
00
,t d t d
. Vậy qua
mỗi điểm
00
,t x I D
có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua.
Trường hợp đối với hệ tuyến tính:
.
00
, .
,
x t A t x t g t t
x t x


,A t g t
là các hàm liên tục trên

6
Định lí Caratheodory với giả thiết nhẹ hơn so với Định lí Picard –
Linderloff, chỉ ra sự tồn tại nghiệm của một lớp hệ phương trình vi phân tương
đối phổ biến và có nhiều áp dụng trong lí thuyết điều khiển.
1.1.2. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ôtônôm
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng:
0 0 0
.
,
, 0
gtx t Ax t t
x t x t

(1.1.2)
trong đó A là
nn
ma trận hằng số,
:
n
g 
là hàm khả tích.
Khi đó hệ (1.1.2) có nghiệm duy nhất được biểu diễn bởi công thức Cauchy:
0
0
00
, , 0
t
A t t A t s
t
x t x e x e g s ds t

với A là ma trận vuông cấp n.
Nghiệm của hệ xuất phát từ trạng thái ban đầu
0
xt
cho bởi :
0
00
, .
A t t
x t x e t t

1.1.3 Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Số hóa bởi trung tâm học liệu

7
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng :
0 0 0
.
,
, 0
t g tx t A x t t
x t x t

(1.1.3)
trong đó
At
là
nn
ma trận các hàm số liên tục trên

, , 0
d
t s A t t s t s
dt
s s I s
và
0
0
,
t
t
A s ds
t t e

Ví dụ 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm:
.
1
12
.
2
12
1
sin ,
2
21
cos ,
33
x x x t
t
t

ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổi của trạng
thái
xt
có liên quan và bị ảnh hưởng từ quá khứ.
Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ
h
,
(0 )h
.
Với
xt
là một hàm có trễ liên tục trên

nhận giá trị trên
n

.
Kí hiệu
,0 ,
n
ChC
là không gian các hàm liên tục từ
,0h
vào
n

với chuẩn được xác định bởi:
0
sup
ht

trong đó:
:
n
f C
là hàm cho trước.
1.2. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân thƣờng
Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân dạng tổng quát:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

9
0
0 0 0
,
.
, ,
, 0,
x t f t x t t t
x t x t
(1.2.1)
trong đó
,:
nn
f t x   
, với mỗi
0
,
n
t t x t 

thì vẫn đủ gẫn nó trong suốt thời
gian
0
tt
.
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm
()xt
của hệ (1.2.1) là ổn định tiệm cận nếu nghiệm
đó là ổn định và tồn tại số
0
sao cho
00
yx
thì
lim 0
t
y t x t
.
Vậy nghiệm
()xt
là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm
()yt
khác
có giá trị ban đầu y
0
đủ gần với giá trị ban đầu x
0
thì sẽ tiến gần
()xt
khi

00
, , ,g t z t f t z t x t f t x t

Khi đó
0z
là một nghiệm của hệ (1.2.2) với
00
z t z
. Vậy việc nghiên cứu
tính ổn định của nghiệm
0
xt
của hệ (1.2.1) được đưa về nghiên cứu tính ổn
định của nghiệm 0 của hệ (1.2.2)
Bây giờ ta xét hệ (1.2.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là
,0 0, f t t 

Định nghĩa 1.2.3. Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định nếu với
0
0, 0t
tồn
tại số
0
sao cho bất kỳ nghiệm
xt
với điều kiện ban đầu
00
x t x
thỏa
mãn

sao
cho mọi nghiệm
xt
của hệ với điều kiện ban đầu
00
x t x
thỏa mãn:
0
00
( ) ,
tt
x t Ne x t t
.
Khi đó
N
được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, gọi là số mũ ổn định,
,N
là
chỉ số ổn định Lyapunov.
Vậy nghiệm 0 của hệ là ổn định mũ thì nó là ổn định tiệm cận và mọi
nghiệm ổn định tiệm cận của nó tiền tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Ví dụ 1.2.1 : Xét phương trình vi phân trong


.
, 0.x ax t
(1.2.3)

Số hóa bởi trung tâm học liệu


:at 
là hàm liên tục.
Nghiệm
xt
, với điều kiện ban đầu
00
x t x
cho bởi công thức:
0
0
t
t
a s ds
x t x e

+ Hệ (1.2.4) là ổn định nếu
0
00
,
t
t
a s ds t t t

+ Hệ (1.2.4) là ổn định đều nếu
0
t
là hằng số không phụ thuộc vào
0
t
.

0
0t

tồn tại số
0
,0t
sao cho bất kỳ nghiệm
0
,x t t
của hệ thỏa mãn
thì
00
,,x t t t t
.
Nghiệm
0x
của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định
và với mỗi
0
0t
tồn tại số
0
0t
sao cho với
C
thỏa mãn
ta có :
0
lim , 0
t

là hàm vecto cho trước,
n
xt 
là vecto trạng thái
của hệ với giả thiết
0 0 f
.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm
:
n
V x D 
, với
D
là lân cận mở tùy ý của 0,
gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.3.1) nếu:
i)
Vx
là hàm khả vi liên tục trên
D
.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

13
ii)
Vx
là hàm xác định dương.
iii)
: 0, .
f

f t x t f t t   

thì hàm Lyapunov được định nghĩa tương tự cho hàm hai biến
,V t x
.
Trước hết ta xét K là tập các hàm liên tục tăng chặt:
. : , 0 0aa

Với mỗi hàm
, ( ) :
n
V t x t   
, ta ký hiệu:
.
, ( , ( )): ,
ff
VV
V t x t D V t x t f t x t
tx

là đạo hàm của hàm
,V t x t
theo
t
dọc theo nghiệm
xt
của hệ (1.3.2)

Số hóa bởi trung tâm học liệu


là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm 2 điều kiện:
iii
. : , ( ) ( ) , ,
n
b K V t x t b x t t x 
.
iv
.
. : , ( ) ( ) , , 0c K V t x t c x t t x
thì ta gọi hàm
, ( )V t x t

là hàm Lyapunov chặt.
Đối với hệ phi tuyến không ôtônôm (1.3.2) ta cũng có định lí về tính ổn
định, ổn định tiệm cận tương tự như Định lí 1.3.1.
Ví dụ 1.3.1: Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ sau:
22
1 1 2 1 2
22
2 1 2 1 2
.
2 1 3
.
2 1 3
x x x x x
x x x x x

Giải: Chọn hàm xác định dương
22
12

Ví dụ 1.3.2: Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ sau:
3
1 1 2
3
2 1 2
.
25
.
53
x x x
x x x

Giải: Chọn hàm
22
12
, 0 0 và ,0 0V t x x x x V t

Hàm
22
12
,V t x x x
có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi
0x
và
1 1 2 2
33
1 1 2 2 1 2
44
1 1 2 1 2 2
44

) 0: , 2 ,
.
f
ii V t x t V t x t
với mọi nghiệm
xt
thì hệ là ổn định mũ
với
2
1
,N
là các chỉ số ổn định Lyapunov.
Đối với hệ phương trình vi phân có trễ :

Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
.
, , 0
, ,0
t
x t f t x t
x t t t h
(1.3.3)
Ta kí hiệu
,xt
là một nghiệm của hệ (1.3.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
, ,0x t t t h
.
Ký hiệu:

t
i x t V t x x t t
.
.
) , 0
t
ii V t x
với mọi nghiệm
xt
của hệ (1.3.3) thì hệ là ổn định và mọi
nghiệm
xt
bị chặn, tức là:
0: , , 0N x t N t

Nếu điều kiện
)ii
được thay thế bằng điều kiện:
33
.
) 0: ,
f
t
iii V t x x t
với mọi nghiệm
xt
của hệ (1.3.3) thì hệ là ổn
định tiệm cận.
Nếu điều kiện
)ii


Giải: Ta chọn hàm:
2
22
12
,
t
V t x x t x t x t
là hàm liên tục.
1 1 2 2
22
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2
1 2 2 1
. . .
, 2 2
2 1 2 1
2 2 1 2 2 1
2 1 2 1 0
t
V t x x t x t x t x t
x t x t x t x t x t x t x t x t
x t x t x t x t x t x t x t x t
x t x t x t x t

Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
1.4 Một số định lí, bổ đề bổ trợ
Định lí 1.4.1: (Công thức Sylvester). Cho

1 2 1 1
1 2 1 1
1=
k k n
k
k k n
n
j k j
j
jk
A I A I A I A I A I
Z
AISố hóa bởi trung tâm học liệu

18
Bổ đề 1.4.2. (Bổ đề Schur)Cho các ma trận hằng số, đối xứng
,XY
trong đó
0Y
và ma trận
Z
. Khi đó
1
0

1
2 , , , , , , 0
n
x y x x y y x y 

Số hóa bởi trung tâm học liệu

19
Chƣơng 2

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP HÀM
LYAPUNOV

Trong chương này chúng tôi trình bày về bài toán ổn định của một số
dạng hệ phương trình vi phân như: hệ phương trình vi phân thường, hệ phương
trình vi phân tuyến tính ôtônôm, hệ tuyến tính không otonom và hệ phương trình
vi phân có trễ theo phương pháp hàm Lyapunov cùng với một số ví dụ minh họa.

2.1 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính
2.1.1. Bài toán ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ôtônôm
Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm:
0
.
,
0
x t Ax t t

fe
, ta có:
12
1
1

k
k
t
k
k k k
q
At
k
e Z Z Z t e

trong đó
k
là các giá trị riêng của
A
,
k
la chỉ số mũ bội của các
k
trong
phương trình đa thức đặc trưng của
A
. Và
i
k

0, 0
nào đó.
Giả sử phản chứng rằng
0
A
sao cho
0
0Re
. Khi đó với vecto
riêng
0
x
ứng với
0
này ta có:
0 0 0
Ax x

Nghiệm của hệ với
0
0 0 0 0
là 0
t
x t x x x e
, lúc đó ta có:
0
00
Re t
x t x e