A). Phương Pháp:


Với phương trình có dạng : )()( mgxf =
Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:
Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của
phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số )(xfy =
• Tìm tập xác ñịnh
D

• Tính ñạo hàm '
y , rồi giải phương trình 0'=y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤≤⇔
• Phương trình có k nghiệm phân biệt
⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )(
mg cắt )(xf tại
k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm
⇔ hai hàm số không cắt nhau


Với bất phương trình có dạng : )()(
mgxf ≤

Chúng ta thực hiện các bước sau ñây:

Bước 1: Xét hàm số )(xfy =
• Tìm tập xác ñịnh

Chú ý chung :
Nếu có ñặt ẩn phụ
)(
xht = . Từ ñiều kiện của
x
chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều
kiện :
•

Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm
•

Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki
•

Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max )

B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình
Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a)
mxxxx =+−−++ 11
22

b)
)45(12 xxmxxx −+−=++

c)
mxxxx ++−=−+ 99
2



Xét hàm số
11
22
+−−++= xxxxy

• Miền xác ñịnh :
R
D
=

• ðạo hàm :
12
12
12
12
'
22
+−
−
−
++
+
=
xx
x
xx
x
y


22
=
+−+++
=+−−++=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
x
xxxxy
xxx

1
11
2
limlim
22
−=
+−+++
=
−∞→−∞→
xxxx
x
y
xx

• Bảng biến thiên :
x
x
(*)
Viết phương trình về dạng :
mxxxxx =−−−++
)45)(12(
(1)
Xét hàm số :
)45)(12(
xxxxxy −−−++=

• Miền xác ñịnh :
[ ]
4,0=D

x

∞−

∞+

'
y

+
y

1

-1

)().(
xgxhy
=⇒
là hàm ñồng biến trên
D

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi :
)4()0(
fmf
≤≤12)25(12
≤≤−⇔
mc)
mxxxx ++−=−+ 99
2

ðiều kiện :

90
09
0
≤≤⇔




)92(
92'
2
+−
+−
−−=0
9
1
1)92(0'
2
=






+−
+−⇔=
xx
xy2
9
=⇔ x


[
)
+∞= ,0D

x

0

2
9

9

'y

– 0 +
y

9 94
9
−

3

• ðạo hàm :

x

, mà
0
2
1
82
1
)1('
4
<−=y

Do ñó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số ñồng biến
• Giới hạn:
0
)1)(1(
1
lim)1(limlim
2
4
2
4
2
=
++++
=−+=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
xxy
xxx

• Bảng biến thiên:



=+−−
≤
⇔
mxxx
x
13)1(
1
44

Xét hàm số
xxxy 13)1(
44
+−−=
• Miền xác ñịnh :
(
]
1,∞−=D

• ðạo hàm :

91212134)1(4'
233
++−=+−−−= xxxxy

0912120'

• Bảng biến thiên:
x
0
∞+

'y
–
y
1 0
4


Vậy ñể phương trình có nghiệm khi :
2
3
−≥mf)
4
2

2
44
=
−
+
−








+
+
−
x
x
x
x
m
(*)
ðặt
4
2
2
−
+
=

1
2
2
)('
4
3
2
4
3
'
<






−
+
−
−
=






−
+

2
−
+
=
x
x
t
2
2
4
−
+
=⇔
x
x
t1
)1(2
2)2(
4
4
4
−
+
=⇔
+=−⇔
t
t

2
1
)1(2
2
2
4
44
4
t
t
t
t
t
tt
t

x

∞−
2
1
−

1

'
y
— 0 +
y







+⇒

Xét hàm số
12
2
)(
2
+
+
=
t
tt
tf

• Miền xác ñịnh :
( )
+∞= ,1D

• ðạo hàm :
( )
⇒>
+
++
=
0

ðặt
x
x
t
cottan
+=
2cottan
222
++=⇒ xxt
Tìm ñiều kiện cho t :
2cot.tan2cottancottan
≥⇔≥+=+= txxxxxxt
(vì
)1cot.tan
=xx
Lúc ñó :
)()(
1
01
2
2
tfmg
t
t
mmtt =⇔
+
=−⇔=++

Xét hàm số
t

t
tf
tt
1
lim)(lim
2

• Bảng biến thiên :

x

1

∞+

'
y
+
y

∞+

1




>
−<
2
5
2
5
m
mBài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt
a)
mxxxx =−+−++
626222
44

b)
6164164
4
3434
=++−+++− mxxxmxxx

Bài làm :
a)
mxxxx =−+−++
626222
44
(1)

−
−
−+=
6
1
)6(2
1
2
1
)2(2
1
'
4
3
4
3

0
6
1
2
1
)6(2
1
)2(2
1
0'
4
3
4

44
=








−
++








−
+
−
+







ðể (1) có hai nghiệm phân biệt:
)44(3)66(2
4
4
+<≤+ m
x

0

2

6

'
y
+ 0 —
y

)44(3
4
+)66(2
4
+
1212
4
+


nt

Với
mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔=
16164161642
3434
(*)
Xét hàm số :
xxxxf
164)(
34
+−=
• Miền xác ñịnh:
R
D
=
• ðạo hàm :

1684)('
23
+−= xxxf

016840)('
23
=+−⇔= xxxf




=


Vậy ñể có hai nghiệm khi :
271116
<⇔−>− mm

3.Tìm m ñể phương trình
xmx
cos1
2
=+ có ñúng 1 nghiệm thuộc
)
2
,0(
π

Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
1cos
2
−= xmx (1)
Nhận xét: (1) có nghiệm khi
0
≤m
( vì
0
>m lúc ñó
0,0 <> VPVT
)
Lúc ñó (1)
m

— 0 + 0 +
y

∞+

∞+

16
-11

8

m
x
x
2
2
2
sin
2
2
−=






⇔
(2)

m
t
t
2
sin
2
sin
2
2
2
−=






⇔−=⇔

Xét hàm số:
t
t
tf
sin
)( =

• Miền xác ñịnh




• Giới hạn :

1
sin
lim)(lim
00
=






=
→→
t
t
tf
tt

• Bảng biến thiên:

Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm :
22

Bài làm:
Biến ñổi phương trình:
xxm =−+ )12(
212
2
−+
=⇔
x
x
m
(vì
22
2
≥+x
)
Xét hàm số
12
)(
2
−+
=
x
x
xf

• Miền xác ñịnh :
R

)('
−++
+−
=
xx
x
xf220)('
2
=+⇔= xxf2±=⇔ x

• Giới hạn

1
1
)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
=



)12(
lim
12
lim)(lim
2
2
2
−=








+
++
=








−+
=
−∞→−∞→−∞→

m

c)
04.
4
≥+− mxxm

Bài làm :
a) Xét hàm số :
mxxxxfy 256)(
2
++−==




<<−++−=
≥∨≤+−+=
=
)51(5)3(2)(
)51(5)3(2)(
)(
2
2
2
1
xxmxxf















<+−
>
>
⇔
>−
>
>
⇔ m
mm
m
m
mf
f
f

Vậy với

10

b) ðặt
)0(3 >= tt
x

Lúc ñó :
)()(
1
101.
2
22
tfmg
t
t
mtmtttm ≥⇔
−
≥⇔−≥⇔≥+−

Xét hàm số
2
1
)(
t
t
tf
−
=

• Miền xác ñịnh

2
lim)(lim
4
2
=








−
=
+∞→+∞→
t
tt
tf
xx

• Bảng biến thiên:

ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi

4
+
=
x
x
xf

• Miền xác ñịnh
R
D
=

• ðạo hàm
( )
2
4
4
1
124
)('
+
−
=
x
x
xf

4
3
1


Vậy ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
x4
27)(max)( ≥⇔≥⇔ mxfmg

Bài 2: Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm
a)
13 +≤−− mxmx

b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+

c)
06234
2
>−++− mxxx


2
1
)(
2
+
+
=
t
t
tf

• Miền xác ñịnh
[
)
+∞= ,0D

• ðạo hàm
( )
2
2
2
1
22
)('
+
+−−
=
t
tt
tf

4
13
)(max)(
+
≤⇔≤ mtfmgy

0

4
27
4
27−

0

x

0

31+−

∞+

'y

— 0 + 0 —

b)
xxx
m
222
sincossin
3.32 ≥+
(*)
Chia 2 vế của (*) cho
x
2
sin
3
ta có:

)1(
9
1
.3
3
2
3
3
3
2
22
2
2
2

−

Xét hàm số
xx
y
22
sinsin
9
1
.3
3
2






+






=
là hàm nghịch biến
Lúc ñó :
00sinsin11
2

≤






+






≤






+






⇔≤≤
xx

)(
2
2
2
1
xxmxxf
xxxmxxf
xf

Vậy (*) có nghiệm
0)(max >⇔ xf
{ }
0)2();3();1(max
222
>+⇔ mfff









<<⇔
>+−
>+

x
mxx −≤−+− thoả mãn với 1≥x
Bài làm:
Biến ñổi bất phương trình về dạng:
3
3
1
23
x
xmx −+≤

4
36
12
3
x
xx
m
−+
≤⇔

Xét hàm số
4
36
12
)(
x
xx
xf
−+

36
422
lim)(lim
x
xx
xf
xx

• Bảng biến thiên :
13
ðể bất phương trình nghiệm ñúng với
1≥x
)()(min mgxf ≥⇔
3
2
23 ≤⇔≤⇔ mm

Bài 4: Tìm tất cả m ñể bất phương trình m
x
x
≥
−1log
log
2

• Miền xác ñịnh
( )
+∞= ,1D

• ðạo hàm :
( )
3
2
12
2
)('
−
−
=
t
t
tf

20)(' =⇔= ttf
• Giới hạn :
( )
=
−
−
=
+∞→+∞→
3
2
12
2


ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi
0>x
⇔
0)()( >∀≥ tmgtf
mmgtf
≥⇔≥⇔ 1)()(min
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình
m
xx
<






+−−
)32(log
2
4
4
3
nghiệm ñúng với mọi
( )
0,2−∈x

y

∞+

Nhận xét : ñề bài yêu cầu thoả mãn
( )
0,2−∈x

Do ñó ta xét giao của hai tập hợp trên :
( )
0,2−∈x

Xét hàm số :
)32(log)(
2
4
+−−= xxxf
• Miền xác ñịnh
( )
0,2−=D

• ðạo hàm
)32.(2ln2
22
4ln
)32ln(
)('
2
'
2
+−−
−−
=


3log
4
4
3
)(max

Loại 3: Bài toán tìm m ñối với hệ phương trình
Bài 1: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:






=+
=+−
)2(2
)1(0
xyy
myx

Bài làm:
Từ (2) suy ra:





+−
=

44
)(
−
=
• Miền xác ñịnh
(
]
{ }
0\2,∞−=D

• ðạo hàm
0
4
)('
2
>=
y
yf .Hàm số ñồng biến trên
D

• Giới hạn
x
2− 1− 0
)(' xf
+ 0 —
)(xf
1
3log
4
3log

Vậy ñể hệ có nghiệm :
),4(]2,( +∞∪−∞∈m

Bài 2: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt






=−+−
>−−+
+−
)2(52log)52(log
)1(4log)1(log)1(log
52
2
2
3
33
2
xx
mxx
xx

Bài làm :
ðiều kiện 1>x
Từ (1) ta có
312
1


• ðạo hàm:
)3,1(
)52.(2ln
22
)('
2
∈∀>
+−
−
= x
xx
x
xf

Hàm số ñồng biến nên ta có
32)3()()1( <<⇔<< tfxff

Nhận xét số nghiệm của
x
thông qua
t

• Ta có
42)1(252
22
−=−⇔=+−
tt
xxx



+ +
y∞+

2

4

∞−

16
ðể hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt
6
4
25
4
25
6 <<⇔−>−>−⇔ mm

x

ðặt
xt =
.Lúc ñó (1):
)96(3
2
+−=⇔−= ttyty

ðiều kiện của t:
32 ≤≤ t

Khi ñó (2)
mttt ≤+−++⇔ 1265
22

Xét hàm số
1265)(
22
+−++= ttttf

• Miền xác ñịnh
[ ]
3,2=D

• ðạo hàm :
126
3
5
)('

22
+−=+−⇔ ttttt4530146126
234234
+−+−=+−⇔ ttttttt045302
2
=+−⇔ tt
vô nghiệm với
Dx ∈

Mà
)(0)3(' tff ⇒>
ñồng biến trên
D

Do ñó:
5)2(min =f

ðể hệ có nghiệm
),( yx
thoả mãn
4≥x ⇔
(2) có nghiệm thoả (1) và
4≥x mtf ≤⇔ )(
thoả mãn với mọi

17







−=−
=+−+
)2(sinsin
)1(052
2
yxyx
mxxyx

Bài làm:
Biến ñổi (2) về dạng:
yyxx sinsin −=−)()( yfxf =⇔
(*)
Xét hàm số
tttf sin)( −=

• Miền xác ñịnh
R
D
=

⇔
phương trình (**) có 2 nghiệm
trái dấu
00 <⇔<⇔ mPBài 5: Tìm m ñể hệ có nghiệm:





=+
+−=−
)2(
)1())((33
22
myx
mxyxy
yx

Bài làm:
Thay (2) vào (1) ta có :
))((33
22
yxxyxy
yx
++−=−
.Hàm số ñồng biến
Do ñó
y
x
=
.Thay vào phương trình (2) ta có:

2
2
2222
m
xmxmxx =⇔=⇔=+

ðể hệ có nghiệm:
0≥mC).Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình
1)2( +≥−+ xmxm
có nghiệm
[ ]
2,0∈x

Bài 2: Tìm m ñể
04).1(6).1(29
222
222
≥++−−
−−− xxxxxx

xx
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m ñể phương trình
mxxxx +−=−+− 58102
22
có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6: Tìm m ñể
mxxxx +−≤−+ 4)7)(3(
2
nghiệm ñúng
[ ]
7,3−∈∀x

Bài 7: Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm:






=+−






≤
−
0163

043
23
2
mmxxx
xx

Bài 10: Tìm m ñể hệ vô nghiệm:



+=+
+=+
xmy
ymx
y
x
33
33

Bài 11: Tìm m ñể phương trình có nghiệm:






=+++−
≤+−
++++
)2(032)2(

).
Điều kiện: x ≤
3
4
; y ≤
5
2
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (4x
2
+ 1).2x = (5 − 2y + 1)
52
y
−
(1)
Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f(
52
y
−
), với f(t) = (t
2
+ 1)t.
Ta có
'
f
(t) = 3t
2
+ 1 > 0, suy ra f đồng biến trên R.
Do đó: (1) ⇔ 2x =
52

−
⎜⎟
⎝⎠
+ 2
34
x
−
−7 = 0 (3).
Nhận thấy x = 0 và x =
3
4
không phải là nghiệm của (3).
Xét hàm g(x) = 4x
2
+
2
2
5
2
2
x
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
+ 2
34
x
−
− 7, trên khoảng

x
−
< 0, suy ra hàm g(x) nghịch biến.
Mặt khác
1
2
g
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= 0, do đó (3) có nghiệm duy nhất x =
1
2
; suy ra y = 2.
Vậy, hệ đã cho có nghiệm: (x; y) =
1
;2
2
⎛⎞
⎜⎟
.
Bài làm: