BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÙI TIẾN DŨNG
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
GIẢI TÍCH
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN
PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THÀNH LONG
PGS.TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA TP. HỒ CHÍ MINH – 2005 LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và
số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận án

thành tốt đẹp luận án này.
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô cùng các Chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau
Đại học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, và ở Phòng Sau Đại học của Trøng Đại
học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất các thủ tục
học tập và bảo vệ luận án tiến sỹ.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc
Thành phố Hồ Chí Minh cùng Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ
Bản đã độâng viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất việc học tập,
nghiên cứu khoa học. Đặc biệt xin được cảm ơn Thạc sỹ Ninh Quang Thăng, Khoa
Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản của Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí
Minh, người lãnh đạo, người anh, và là đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi, giúp
đỡ rất nhiều cho tôi trong sự nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức để cho tôi tập trung
hoàn thành được luận án tiến sỹ này.
Sau cùng, tôi xin gửi tất cả những tình cảm yêu thương và lòng biết ơn đối với
gia đình, nơi đã gửi gắm ở tôi niềm tin, nơi cho tôi những an lành và sức mạnh, nhờ
đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
án tiến sỹ của mình.

Bùi Tiến Dũng
MỤC LỤC trang
Phần mở đầu
1
Chương 1
:

B. Tài liệu tham khảo
104 1
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong các ngành Khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ
thuật, thường xuất hiện các bài toán biên phi tuyến rất phong phú và đa dạng.
Đây chính là nguồn đề tài không bao giờ cạn mà rất nhiều các nhà toán học từ
trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay, với những thành tựu của Toán học
hiện đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào nền tảng của Giải tích hàm đã xâm nhập
vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, nhìn
một cách tổng quát, chúng ta vẫn chưa có một phương pháp toán học chung để
giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Do đó còn rất nhiều các bài toán biên
phi tuyến vẫn chưa giải hoặc giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến
cụ thể nào đó.
Trong luận án này chúng tôi sẽ khảo sát một số bài toán biên có liên quan
đến nhiều vấn đề trong các ngành Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn các phương
trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện
trong các bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi ( một dây hoặc một thanh
đàn hồi) với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va
chạm của một vật rắn với một thanh đàn nhớt tuyến tính trên một nền cứng hoặc
một nền đàn nhớt với các ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc
liên hệ với lực cản ma sát nhớt. Công cụ để khảo sát các bài toán biên trên được
chúng tôi sử dụng và trình bày trong luận án là các phương pháp của Giải tích
hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu,
phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý về điểm bất động, phương

= (0.3)
trong đó
1010
, ,
~
,
~
, , gguufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và
0
0
≥h là hằng số cho trước. Trong phương trình (0.1) các số hạng phi tuyến
),(
2
utB ∇ và ),,,,,(
2
uuuutxf
t
∇∇ phụ thuộc vào tích phân

.),()(
1
2
2
∫
∑
Ω
=
∂
∂
=∇

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
(0.5)
đây
u
là độ võng, ρ là khối lượng riêng,
h
là thiết diện,
L
là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E
là môđun Young và
0
P là lực căng lúc ban đầu. Tuy nhiên,
trong nhiều tài liệu sau này ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vẫn gọi phương trình
thuộc dạng (0.5) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc ghép tên chung
và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier. Thật ra giữa hai bài
báo gốc của Kirchhoff (1876)[16] và của Carrier (1945)[7] có sự khác biệt, bởi vì
chúng tôi tìm thấy trong [7] của Carrier đã công bố năm 1945 thì phương trình
không phải thuộc dạng
(0.5), mà lại là

,0 , 0 ,),(

cho phương trình
(0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara,
Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36],
Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong hai công trình gần
đây (xem [31, 32]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng
quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-
Carrier.
Trong [14], Frotta chú ý nghiên cứu phương trình sóng cho miền n-chiều
n
I
R⊂Ω
,0,),,() ,(
2
TtxtxfuuxBu
tt
<<Ω∈=Δ∇− (0.7)
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu.
Thay vì xét
(0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng
,0 ,),,(),,())( ,,(
2
TtxtxfutxgututxBu
ttt
<<Ω∈=+Δ−
(0.8)
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu, với

∫
Ω
= .),()(

u
bau
xxtt
(0.10)
,0 ,0),1( ),1( ,0),0( >
=
−
== ttututu
tx
α
(0.11)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.12) 4
trong đó 0 ,0 ,0 >≥>
α
ba là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này, bài
toán
(0.10) - (0.12) mô tả sự kéo giãn sợi dây.
Trong [30] Medeiros đã khảo sát bài toán

∂
∂
=
2
1
2
2
0 ,0
i
i
i
v
x
u
u trên ,
Ω
∂
(0.14)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.15)
trong đó,
),,0(),0(

α
ελ
(0.16)
0 ,0 =
∂
∂
=
v
u
u trên
Ω
∂
, (0.17)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.18)
trong đó λ >
,0
ε
> ,0 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là một tập mở bò
chận của
.
n

xuxuxuxu
t
=
= (0.21)
Trong [9], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi
ε →
0 của nghiệm yếu của bài toán
)1.0(
-
)3.0(
với
B
≡ 1 liên kết với điều kiện
biên thuần nhất Dirichlet
,0),1( ),0(
=
=
tutu (0.22)
ở đây số hạng phi tuyến có dạng ).,(
1
utff
ε
=
Sau đó, trong [10] Alain P.N. Đònh
và N.T. Long đã xét bài toán
)1.0( - )3.0( với
B
≡ 1 và số hạng phi tuyến có dạng

),,(

)),0[]1,0([
32
IRCf ×∞×∈ và ),),0[]1,0([
31
1
IRCf ×∞×∈
trong [12] thu được kết quả thu được liên quan đến khai triển tiệm cận của
nghiệm bài toán nhiễu đến cấp 2 theo một tham số ε đủ nhỏ. Kết quả này tiếp
tục được mở rộng trong [24] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử
Kirchhoff:
),,,,,( ),,,,(
)] (.) ([
1
2
1
2
0
txtx
xxxxtt
uuutxfuuutxf
uuBuBbu
ε
ε
+=
++−
(0.26)
liên kết với điều kiện
)3.0( và )22.0( trong đó 0
0
>b là hằng số cho trước và

uutButBu
+=
+−
(0.27)
và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
),(
ε
txu đến cấp N+1 theo một
tham số bé ε.
Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại đòa
phương và duy nhất nghiệm của bài toán
(0.1) - (0.3) tương ứng với điều kiện biên
hỗn hợp thuần nhất
,0 ),1,0( ),,,,,,() (
22
TtxuuuutxfuuBu
xtxxxxtt
<<=Ω∈=− (0.28)
,0),1(),0(),0(
0
=
=
−
tutuhtu
x
(0.29)
),(
~
)0,( ),(
~

100
gtutgtuhtu
x
=
=− (0.32)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.33) 7
trong đó
1010
, ,
~
,
~
, , gguufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau. Bằng
việc đặt ẩn phụ thích hợp, chúng tôi đưa bài toán
(0.31) - (0.33) về bài toán có
điều kiện biên thuần nhất thuộc dạng
(0.28) - (0.30) với sự điều chỉnh lại các hàm
10

~
,
~
,
~
vvfB

cho bài toán
(0.31) - (0.33) cũng không áp dụng trực tiếp kết quả đã khảo sát cho
bài toán
(0.28) - (0.30). Điều này cho thấy rằng bài toán (0.28) - (0.30) là trường
hợp riêng của bài toán
(0.31) - (0.33), nhưng về kết quả thì lại là không. Chính vì
vậy, chúng tôi vẫn phải trình bày hai bài toán
(0.1) - (0.3) tương ứng với hai điều
kiện biên thuần nhất và không thuần nhất.

Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên
chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf

(0.29) và (0.30). Chúng tôi thu được một nghiệm yếu ),(
ε
txu có khai
triển tiệm cận đến cấp N+1 theo một tham số ε đủ nhỏ và các giả thiết thích hợp
cho
10
~
,
~
, , uufB . 8
Các kết quả này đã được công bố trong hai bài báo [d1, d2]
Chương 2: Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với một
phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trò biên. Bài toán đặt ra là tìm một cặp
hàm
(u, P)
thỏa
,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu
txxtt
<
<
=
Ω
∈
=+− (0.36)
,0),1( ),(),0(
=
= tutPtu

(0.36) - (0.39) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo
nhiều kiểu điều kiện biên khác nhau tương ứng với các ý nghóa cơ học nào đó,
chẳng hạn như :
Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Đònh
đã xét bài toán
(0.36), (0.38) liên kết với điều kiện biên
,0),1( ),(),0(
=
= tutPtu
x
(0.40)
trong đó ẩn hàm
u(x,t)
và giá trò biên chưa biết
P(t)
thỏa bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân thường
,0 ,),0()()(''
2
TtthutPtP
tt
<<=+
ω
(0.41)
,)0(' ,)0(
10
PPPP == (0.42)
ở đây
10
, ,0 ,0 PPh >>

uhPP
ω
và sau khi tích phân từng phần, ta được

∫
−−+=
t
dssustkthutgtP
0
,),0()(),0()()(
(0.44)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−+−=
. sin)(
, sin))0((
1
cos))0(()(
1100
thtk
thuPtuhPtg
ωω
ω
ω

λ
(0.47)
ở đây
11
, , ,
λ
λ
KK là các hằng số không âm cho trước.
Bài toán này mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính
tựa trên một nền đàn nhớt với các ràng buộc tuyến tính ở bề mặt và các ràng
buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt.
Trong trường hợp

),10( ),(
1
<<=
−
α
α
ttt
uuuuf (0.48)
Đ.Đ. Áng và Alain P.N. Đònh trong [3] đã thiết lập được một đònh lý tồn tại và
duy nhất của một nghiệm toàn cục cho bài toán
(0.36) - (0.38) với
10
, , uuP là các
hàm cho trước. 10

xấp xỉ. Sự khó khăn chính gặp phải trong phần này là điều kiện biên tại
0
=
x
.
Ta
chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33]
không dùng được trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]. Trong phần thứ
2 của chương này, chúng tôi chứng minh nghiệm
(u,P)
là ổn đònh đối với các hàm
g, H
và
K
. Các kết quả thu được ở đây đã tổng quát hóa tương đối các kết quả
trong [1, 3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] và đã được công bố trong [d3].
Các kết quả trên đây của luận án đã được công bố trong ([d1]-[d4]) và đã
tham gia báo cáo trong các hội nghò:
- Hội nghò về Phương trình đạo hàm riêng và Ứng dụng, Hà Nội, 27-29/12/99.
- Hội nghò Toán học Việt nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002.
- Hội nghò Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 5-2000.
- Hội nghò Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 10-2002. 11
- Hoọi nghũ Khoa hoùc Khoa Toaựn Tin hoùc, ẹaùi hoùc Sử phaùm Tp HCM,
22/12/2000.
- Hoọi nghũ Khoa hoùc Khoa Toaựn Tin hoùc, ẹaùi hoùc Sử phaùm Tp HCM, 21-
22/12/2002.


tuyến có chứa toán tử Kirchhoff được liên kết với điều kiện biên hỗn hợp
,0),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu
xtxxxxtt
<<=Ω∈=− (1.1.1)

,(t)),1( ),(),0(),0(
100
gtutgtuhtu
x
=
=
−
(1.1.2)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (1.1.3)
trong đó
1010
, ,
~
,

≠
≠
). Ý tưởng và công cụ
tổng quát để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy qui nạp tuyến tính
liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để
chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) trong
các không gian hàm thích hợp. Sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ
đề Gronwall sau một số các phép tính toán và đánh giá cụ thể.
Vấn đề thứ hai
: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu
13
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uutButBu
+=
+−
(1.1.5)

10
xuxuxuxu
t
=
= (1.1.8)
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và 0
0
≥h
là hằng số cho trước. Trong phương trình
(1.1.6) số hạng phi tuyến )(
2
x
uB bây giờ
không phụ thuộc vào biến thứ nhất ( biến thời gian
t
) mà chỉ phụ thuộc vào tích
phân
∫
=
1
0
22
),( dxtxuu
xx
. Sau đó, với một số giả thiết nào đó trên các hàm cho

txh
ϕ
ϕ
(1.1.9)
bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất sau
,0,10
),)()(,,,,,(
~
))()( ,(
22
Ttx
ttvvvvtxfvttvtBv
xxtxxxxxtt
<<<<
+=+−
ϕϕ
(1.1.10)
,0),1(),0(),0(
0
=
=− tvtvhtv
x
(1.1.11)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10

−= (1.1.14)
Tuy nhiên, bài toán
(1.1.10) - (1.1.13) không sử dụng được kết quả của bài
toán
(1.1.6) - (1.1.8). Do đó, chúng tôi tiếp tục trình bày chứng minh kết quả tồn
tại và duy nhất nghiệm cho bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với trường hợp
không thuần nhất (
)(0)(
10
tgtg
≠
≠ ).
Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên
chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và thu
được một nghiệm yếu
),(
ε
txu có khai triển tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số
ε đủ nhỏ.
Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận cho phương trình nhiễu
) ,,,,,( ε) ,,,,,(
)] ( ε) ([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx

⋅ để chỉ chuẩn trong
2
L và ký hiệu
X
⋅ để chỉ chuẩn trong một không
gian Banach
X
. Ta gọi
X
′
là không gian đối ngẫu của
X.
15
Ta ký hiệu ,1),;,0( ∞≤≤ pXTL
P
là không gian Banach của các hàm đo
được
u
:
(
0
,T)
⎯→⎯
X
, sao cho
∞+<
⎟

)(sup
0
);,0(

<<
∞
= nếu .
∞
=
p

Ký hiệu
)()( ),()( ),()( ),()( ),( tututututututututu
xxxttt
Δ=
∇
=
=
=
&&&
thay cho
),)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,(
2222
txxutxxutxtutxtutxu ∂∂∂∂∂∂∂∂ lần lượt tương ứng.
Với
f = f(x,t,u,v,w,z)
, ta đặt
./ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/
654321
zffDwffDvffDuffDtffDxffD

H
và trên
V
thì ba chuẩn ,
1
H
v
,
x
v
V
v ),( vva= là tương đương.
Chúng ta có các bổ đề sau
Bổ đề 1.2.1.
Phép nhúng
V 1 ])1,0([
0
C
là compact và với mọi
,Vv ∈
ta có V
vvv
x
C

])1,0([
0

VV ×
và cưỡng bức trên V. 16
Bổ đề 1.2.3.
Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert
}
~
{
j
w
của
2
L
gồm các hàm
riêng
}
~
{
j
w
tương ứng với giá trò riêng
j
λ
sao cho
:

, 0
21

= 1, 2, )6.2.1(
Hơn nữa, dãy
} /
~
{
jj
w
λ
cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối
với tích vô hướng a(
⋅⋅,
). Mặt khác,
j
w
~
cũng thỏa bài toán giá trò biên
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∩∈
==−
Ω=Δ−
∞
]).1,0([
~
,0)1(
~
)0(

⋅
,
)
được đònh nghóa bởi
)1.2.1(
và
)2.2.1(
.
1.3. Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên hỗn hợp
thuần nhất
Chúng ta bắt đầu khảo sát bài toán
)6.1.1( - )8.1.1( với các giả thiết được
đặt ra dưới đây
:)(
1
H 0
0
≥h
:)(
2
H
;,
~
1
2
0
VuHVu ∈∩∈

:)(
3

++
iIRIRIRCfD
i
17
(Chú ý rằng không cần thiết ).]1,0([
31
++
×××∈ IRIRIRCf
Với
B
và
f
thỏa các giả thiết )(
3
H và )(
4
H tương ứng, ta xây dựng các
hằng số sau đối với mỗi
M >
0

và
T >
0

,),,,,,(sup),,(
00

Mz≤≤
== )3.3.1(

.)('sup),(
~
2
0
11
zBBMKK
Mz≤≤
=
′
= )4.3.1(
Với mỗi
M
>0 và
T
> ,0 ta đặt

}, ,,
),(),;,0(:);,0( {),(
)();,0();,0(
2
22
2
Mvvv
QLvVTLvHVTLvTMW
T
ttt
Tttt


).,(
11
TMWu
m
∈
−

)7.3.1(

Sau đó, tìm
),(
1
TMWu
m
∈ thỏa bài toán biến phân tuyến tính

〉
〈
=
+〉〈 vtFvtuatbvtu
mmmm
),()),(()(),(
&&
với mọi
,Vv ∈

)8.3.1(
∇∇=
∇=
−−−−
−
tututututxftxF
tuBtb
mmmmm
mm
&
)10.3.1( 18
Khi đó, ta có
Đònh lý 1.3.1.
Giả sử các giả thiết
)()(
41
HH
−
được thỏa. Khi đó tồn tại các hằng
số dương M và T và một dãy qui nạp tuyến tính
),(}{
1
TMWu
m
⊂
được xác đònh
bởi
).10.3.1()8.3.1( −

1
)()(
,)()( )11.3.1(
trong đó
)(k
mj
c thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính

,1 ,),()),(()(),(
)()(
kjwtFwtuatbwtu
jmj
k
mmj
k
m
≤≤〉〈=+〉〈
&&
)12.3.1(

k
k
m
uu
0
)(
~
)0( =
,
,

),(
11
TMWu
m
∈
−
ta suy ra hệ phương trình )13.3.1()12.3.1( − có duy
nhất nghiệm
)(
)(
tu
k
m
trong khoảng .0
)(
TTt
k
m
≤≤≤ Các đánh giá tiên lượng sau đây
cho phép ta lấy
TT
k
m
=
)(
với mọi
m
và
k.


2
)()(
tutuatbtutX
k
m
k
mm
k
m
k
m
+=
&
)17.3.1(

.)()())(),(()(
2
)()()()(
tutbtutuatY
k
mm
k
m
k
m
k
m
Δ+=
&&
)18.3.1(

)())(),(()()0()(

+
∫∫
+〉〈
t
k
mm
t
k
mm
dssusFadssusF
0
)(
0
)(
))(),((2)(),(2
&&∫
+
t
k
m
dssu
0
2
)(
)(

−−−
tututuBtb
mmmm
&
)20.3.1(
Dùng giả thiết
),(
3
H ta thu được từ
)4.3.1(
và
),7.3.1(
rằng
(
)
.
~
2)( )( )(2)(
1
2
11
2
1
KMtututuBtb
mmmm
≤∇∇∇
′
=
′
−−−

Từ ),1.3.1( ),10.3.1( )16.3.1( và ),17.3.1( ta có ∫∫
≤≤
t
k
m
t
k
mm
dssSKdssusFI
0
)(
0
0
)(
2
.)(2)( )(2
)23.3.1(
Tích phân thứ 3.
Từ (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) và )10.3.1( ta suy được rằng 20

2
)(
V
sF

∫
++≤
t
k
m
dssSKhMK
0
)(
00
2
1
.)(]312[2 )25.3.1(
Tích phân thứ 4.
Phương trình )12.3.1( được viết lại

,1 ,),(),()(),(
)()(
kjwtFwtutbwtu
jmj
k
mmj
k
m
≤≤〉〈=〉Δ〈−〉〈
&&
)26.3.1(
theo đó ta thay
j
w
bởi )(


.2)(
~
2
0
2
0
)(
04
∫
+≤
t
k
m
TKdssSKI
)28.3.1(
Kết hợp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) và (1.3.28), ta có

(
)
∫
+++++≤
t
k
m
k
m
k
m
dssSKhMKTKStS

1
2
0
)(
~
~
22
00
2
1
2
0
)(
])1(312[
2
1
2)0( KhMKTTKS
k
m
+++++≤

∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

dssSMCTMCS
0
)(
21
)(
,)()(),()0(

)29.3.1(

ở đây