ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU



9

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Phương pháp xấp xỉ thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1

Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . 15

1.3.2

Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1

Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2

Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm của
một hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


2.2

2.3

2.4

Khái niệm về phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1

Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . 36

Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . 37
2.2.1

Phương pháp từng bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2

Phương pháp toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Lý thuyết ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1

Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2


3.1.5

Một số nhận xét chung về các mô hình quần thể đa loài . 71

Mô hình Lotka-Volterra có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1

Tính ổn định tiệm cận địa phương . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.2

Tính ổn định tiệm cận toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3

Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật thể rắn . 83

3.4

Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . 84
2


Mở đầu
Lý thuyết ổn định của phương trình vi phân là một trong những hướng
nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình
vi phân. Lý thuyết này xuất phát từ những đòi hỏi của thực tế và có nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực thực tế khác nhau, như: Vật lý, Sinh thái học, Cơ học,...
Trong những năm gần đây đã có rất nhiều công trình của các nhà khoa học

Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về
tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận
văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Lưu Thị Thu Huyền

4


Chương 1
Sự ổn định nghiệm của phương
trình vi phân trong không gian
Banach
1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính

Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi
phân
dx(t)
= f (t, x(t)),
dt

(1.1)

S(ε,µ) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ µ , với ε > 0, µ > 0

là lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ). Khi đó ta có định lý tồn tại duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy như sau:
Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)
liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||

(1.3)

M là một hằng số hữu hạn.

Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy
nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra tồn tại ε, η > 0 sao cho trong miền |t − t0 | ≤
ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có:
||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )||
≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞

Lấy δ = min ε, Mη1 và ký hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t)
xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup ||x(t)||
|t−t0 |≤δ

6


Gọi
Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} .


t

||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||.

≤M
t0

Mặt khác ta lại có:
t

||(S 2 x2 )(t) − (S 2 x1 )(t)|| ≤ M

||(Sx2 )(τ ) − (Sx1 )(τ )||dτ
t0
t

≤ M 2 |||x2 − x1 |||

(τ − t0 )dτ
t0

=

[M (t − t0 )]2
|||x2 − x1 |||.
2!

Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
[M (t − t0 )]n

có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b].
Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với chú ý:
(i) Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f (t, x) giới nội trên [a, b] × D với D là
tập compact trong không gian Banach B.
(ii) Bη ở định lý trước được thay bởi C(B) gồm tất cả các hàm x(t) xác định liên
tục trên [a, b], lấy giá trị trong không gian Banach B và có chuẩn được xác định
bởi
|||x||| = sup ||x(t)||.
[a,b]

Định lý 1.1.3. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r
r0

dr
→ ∞ khi r → +∞
L(r)

Khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < +∞.
Chứng minh. Vì
||

x(t2 ) − x(t1 )
||x(t2 )|| − ||x(t1 )||
dx
d||x||
|| ≥

1
.
dr ⇒ t − t0 ≥
dt L(||x||)

Đổi biến r = x(t). Do
r
r0

dr
→ ∞ khi r → +∞
L(r)
8

||x||
||x0 ||

dr
Lr


nên nếu ||x|| → +∞ thì t → +∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô hạn.

1.1.2

Các khái niệm về ổn định

Giả sử B là không gian Banach. Xét phương trình vi phân
dx
= f (t, x(t))


Định nghĩa 1.1.5. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn
||x0 | | < ∆ thì
lim ||x(t, t0 , x0 )| | = 0

t→+∞

Định nghĩa 1.1.6. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu như mọi nghiệm x(t) = x(t, t0 , x0 ) của
phương trình (1.4) luôn thỏa mãn bất đẳng thức
||x(t)|| ≤ M.e−λ(t−t0 ) .||x0 ||, ∀t ≥ t0

trong đó M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 .
Định nghĩa 1.1.7. Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4)
được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu như số M trong định nghĩa (1.1.6)
không phụ thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.1.8. (Phiếm hàm Lyapunov)
Ta nói phiếm hàm V : R+ × B → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.
Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.1), ký hiệu là V˙ (t, x) được xác
định bởi
1
{V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)}
V˙ (t, x) = lim
h→+∞ h

Ký hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương.

Lấy x = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của (1.1) sao cho ||x0 || < δ , ta sẽ chứng minh
||x(t, t0 , x0 )|| < ε, ∀t ≥ t0 .

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x = x(t, t0 , x0 ) với
||x0 || < δ thỏa mãn
||x(t1 )|| = ε.

Từ điều kiện (iii) ta suy ra
V (t1 , x(t1 )) ≤ V (t0 , x(t0 )),

từ đó ta suy ra
a(ε) ≤ V (t1 , x(t1 )) ≤ V (t0 , x(t0 )) < a(ε).

Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai. Như vậy nếu ||x0 || < δ thì
||x(t, t0 , x0 )|| < ε, ∀t ≥ t0 ,

tức là nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định.
11


Định lý 1.2.2. (Định lý về sự ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V : R+ × B → R+ và các hàm a(.), b(.) ∈
CIP thỏa mãn điều kiện:

(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||)
.

(ii) V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov
khi t → +∞.

nghĩa Lyapunov khi t → +∞.
Chứng minh. Từ định lý trên ta có nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình (1.1) là
ổn định đều. Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường đó là ổn định tiệm cận đều.
Do nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều nên tồn tại δ0 > 0 sao cho với t0 ∈ R+ và
||x|| ≤ δ0 , ta có:
x(t, t0 , x0 ) < M < +∞; ∀t ≥ t0

Mặt khác ∀ε > 0, ∃δε > 0 sao cho t0 ∈ R+ , ||x|| ≤ δε , ta có:
x(t, t0 , x0 ) < ε, ∀t ≥ t0

Giả sử ngược lại tồn tại nghiệm x(t, t0 , x0 ), t0 ∈ R+ , ||x|| < δ0 nhưng
limt→+∞ ||x(t, t0 , x0 )|| = 0

khi đó tồn tại dãy tk với tk ≥ t0 , limk→+∞ tk = +∞ sao cho
δε ≤ ||xtk || < M

Kết hợp điều kiện (ii) ta suy ra tồn tại số γ > 0 sao cho
V˙ (t, x) < −γ

Do δε ≤ ||x(tk )|| < M nên
t

t

V˙ (t, x(τ ))dτ ≤
t0

−γdτ
t0


13 + 12 sin [ln(t + 1)] ≥ 13 − 12 = 1 ⇒ exp − {13 + 12 sin [ln(t + 1)]} t ≤ e−t
⇒ ||U (t, t0 )|| ≤ e−t → 0 khi t → ∞ ⇒ lim ||U (t, t0 )|| = 0.
t→+∞

*) x(t) = 0 không ổn định đều
Ta sẽ chỉ ra tồn tại dãy {tn } và tn sao cho:
tn → +∞, tn → +∞ và U (tn , tn ) → ∞(n → ∞)

Chọn hai dãy
tn = exp (4n + 1)

π
2

− 1;

tn = exp (4n + 3)

Dễ thấy:
tn → +∞, tn → +∞

14

(n → ∞)

π
2

−1



Do 25 > eπ nên
x(tn )
→ +∞ khi n → +∞
x(tn )

Vậy nghiệm x(t) = 0 không ổn định đều.

1.3
1.3.1

Phương pháp xấp xỉ thứ nhất
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

 dx

dt
x(t0 )

= A(t)x + f (t)

(1.5)

= x0

Chúng ta có thể giả sử rằng t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào đó thuộc
B, f : I → B và A : I → Mn (Rn ) là liên tục.
Ta cũng có thể xét phương trình tích phân tương ứng:
t


Thật vậy:
Ký hiệu C([a, b]; B) là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với giá trị trong
B và có chuẩn
|||x||| = max ||x(t)||
t∈[a,b]

Trong không gian

C([a, b], Rn )

xét toán tử:
t

A(τ )x(τ )dτ

(Sx)(t) = g(t) +
t0

đi từ C([a, b]; B) vào chính nó và (Sx)(t) là liên tục.
Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp ta được:
t

t

(S n x)(t) = g(t) +

A(tn−1 )A(tn−2 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1

...
t0

t

t2

A(t1 )x(t1 )dt1 +

t0

Khi đó với mỗi x1 , x2 ∈ B ta có:
(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)
t

t2

tn

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 ) [x2 (t1 ) − x1 (t1 )] dt1 . . . dtn−1 dtn

...

=
t0

t0

t0

và có đánh giá
||(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)||
t

=
n!

t0

t0
t

t

t0

t0

t

...
t0

1
||A(tn )||||A(tn−1 )|| . . . ||A(t1 )||dt1 . . . dtn−1 dtn =
n!
16

n

t

||A(τ )||dτ
t0

A(t1 )x(t1 )dt1

x(t) = g(t) +
t0
∞

t

tn

t2

...

+
n=2

t0

t0

A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )x(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn
t0

∞

= g(t) +

gk (t)
k=1

t

x(t) = x0 +

A(τ )x(τ )dτ

(1.11)

t0

Khi đó, nghiệm của phương trình (1.10) thu được là
∞

t

tn

x(t) = x0 +

t2

A(tn )A(tn − 1) . . . A(t1 )x0 (t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn

...
n=1

t0

t0



t0

Khi đó nghiệm của (1.10) có thể viết dưới dạng: x(t) = U (t)x0
Và từ (1.9) ta có:
t

||A(τ )||dτ

||U (t)|| ≤ exp
t0

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.5) như
sau:
Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U (t) xác định như trong (1.12). Thay vào ta được:

 dy
= U −1 (t)f (t)
dt
(1.13)
y(t0 ) = x0
Tích phân từ t0 đến t hai vế ta được:
t

U −1 (τ )f (τ )dτ

y = x0 +
t0

Khi đó, nghiệm của phương trình (1.5) có thể viết dưới dạng:

4)

||U (t, τ )|| ≤ exp

||A(τ )||dτ , (t > τ )
τ

18


dU (t, s)
= A(t).U (t, s)
dt
dU (t, s)
= −U (t, s).A(t).
ds

5)
6)

1.3.2

Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có nhiễu

Bây giờ ta xét phương trình vi phân:
dx
= A(t)x + f (t, x)
dt


dx
= A(t)x + ϕ(t, x) + φ(t, x)
dt

(1.18)

Từ nay về sau ta luôn luôn giả thiết
||ϕ(t, x)|| ≤ L||x||

ϕ(t, 0) = φ(t, 0) = 0,

(1.19)

và
∞

||φ(t, x)|| ≤ γ(t)||x(t)||,

γ(t)dt = α < +∞
0

19

(1.20)


Định lý 1.3.1. Giả sử tồn tại các hằng số c > 0 và λ > 0 sao cho
||U (t, τ )|| ≤ ce−λ(t−τ ) , ∀t ≥ τ ≥ t0

khi đó với cL − λ < 0 (L đủ nhỏ) thì nghiệm của phương trình (1.18) ổn định

τ

Từ đó suy ra
||x(t)|| ≤ c||x(τ )||e−λ(t−τ ) e

t
[cL+cγ(s)]ds
τ

Kết hợp với giả thiết ta có:
||x(t)|| ≤ c||x(τ )||ecα .e−(λ−cL)(t−τ )

do (λ − cL) > 0 nên nghiệm x(t) ≡ 0 của (1.18) ổn định tiệm cận.

1.4
1.4.1

Phương pháp phiếm hàm Lyapunov trong Rn
Các hàm xác định dấu

Xét hàm số
V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 )
20


trong đó
Z0 = {a < t < ∞, ||x| | < h}

Dưới đây là một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác
định:

khi ||x| | < δ và t ∈ [t0 , ∞).
Nhờ bất đẳng thức (1.21) ta kết luận rằng: hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng
bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó
t0 ≤ t < ∞,

||x| | < h.
21


1.4.2

Đạo hàm của phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm
của một hệ phương trình vi phân

(0,1)
(Z), Z = {a < t < ∞, ||x| | < H} và hệ vi phân
Giả sử X(t, x) ∈ Ctx

dx
= X(t, x)
dt

(1.22)

là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0. Rõ ràng hệ (1.22) có nghiệm tầm thường ξ = 0.
Ta đặt
(1,1)

Z0 = {a < t < ∞, ||x| | ≤ h < H} ⊂ Z


kiện ban đầu x(τ, t, x) = x. Khi đó
V˙ (t, x) =

1.4.3

d
V (τ, x(τ, t, x))
dt

.

(1.23)

τ =t

Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định

Định lý 1.4.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov).
Giả sử đối với hệ rút gọn (1.22) tồn tại phiếm hàm Lyapunov V (t, x) ∈
(1,1)

Ctx (Z0 ) với Z0 ⊂ Z thỏa mãn các điều kiện sau:
22


i) V (t, x) là hàm xác định dương, tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương
W = W (x) trên Z0 sao cho

* V (t, x) ≥ W (x) > 0 với ||x|| = 0;
* V (t, 0) = W (0) = 0.


i) V (t, x) là xác định dương, tức là tồn tại hàm W1 (x) liên tục và xác định dương
trên Z0 sao cho
* V (t, x) ≥ W1 (x) > 0 với ||x|| = 0;
* V (t, 0) = W1 (0) = 0.
ii) V (t, x) có giới hạn trên vô cùng bé bậc cao khi x → 0, tức là V (t, x) ⇒ 0 khi
t

23