ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ MƠ
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ MƠ
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH C HÂU
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Lời nói đầu 3
Lời cảm ơn 4
1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
trong không gian Banach 5
1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian
Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Toán tử e-mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

trình vi phân trong không gian Hilbert 49
3.1 Sự cân bằng tiệm cận của p hương trình vi phân tuyến tính trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Về sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phâ n trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo 58
2
Lời nói đầu
Việc nghiên cứu tính ổn đ ịnh củ a phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa
quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân, đồng thời có
nhiều ứng dụng trong các mô hình thực tế. Vì vậy trong những năm gần đây đã
có rất nhiều công trình của các nhà khoa học trong và ngoài nư ớc đi sâu nghiên
cứu về lĩnh vực này. Mục đích chính của bản luận văn này là trình bày lại một
số kết quả cơ bản của tính chất của nghiệm PTVP tuyến tính trong không gian
Banach và một số ứng dụng của phương pháp Lyapunov đối với các mô hình cụ
thể trong khoa học kỹ thuật.
Bố cục của luận văn này gồm ba chương.
Chương 1: Trong chương một chúng tôi trình bày một số tính chất nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính trong không g ian Banach.
Chương 2: Trong chương hai chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản của
phương pháp Lyapunov trong việc ng hiên cứu tính ổ n định ng hiệm của các
phương trình vi phân . Sau đó trình bày một số ví d ụ minh họa trong các mô
hình thực tế .
Chương 3: Trình bày các kết quả về tính cân bằng tiệm cận và tương đương
tiệm cận của phương trình vi phân của các PTVP trong không gian Hilbert. Nội
dung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu củ a : GS. TS Nguyễn Thế
Hoàn.
3
Chương 1
Một số tính chất nghiệm của

định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu trong đó mọi dãy cơ sở đều có
giới hạn, đó là phần tử x ∈ L sao cho lim
n→∞
x
n
− x = 0 (nói cách khác không
gian Banach L(=B) là không gian đủ trong metric ρ (x, y) = x − y).
2.Toán tử tuyến tính
Giả sử B
1
và B
2
là các không gian Banach.
Ánh xạ A : B
1
→ B
2
được gọi là toán tử tuyến tính nếu:
A (αx + βy) = αAx+βAy
với mọi số α, β và mọi x, y ∈ B
1
.
Toán tử tuyến tính liên tục nếu nó liên tục tại x = 0.
Tính liên tục tương đương với tính giới nội của toán tử A, tức là tính hữu
hạn của đại lượng
A
def
=
sup


1
được gọi là toán tử ngược của toán tử A : B
1
→ B
2
và kí
hiệu B = A
−1
, nếu AB = I
2
; BA = I
1
, trong đó I
k
là toán tử đồng nhất trong
B
k
: I
k
x = x với mọi x ∈ B
k
(k = 1, 2) .
6
Định lý 1.1.1. Giả sử một toán tử A ∈ [B
1
, B
2
] là ánh xạ một-một tương ứng
từ không gian Banach B
1

1
+ x
2
, (1.2)
trong đó x
1
∈ B
1
, x
2
∈ B
2
. Mỗi không gian con B
1
và B
2
là phần bù trực tiếp của
không gian con kia.
Phép khai triển (1.2) sinh ra hai toán tử P
k
: B → B
k
(k = 1, 2) được xác định
bởi các đẳng thức P
k
x = x
k
(k = 1, 2); trong đó x
1
và x

Giả sử B là một không gian Banach phức. Điểm λ của mặt phẳng phức được
gọi là điểm chính qui của toán tử A ∈ B nếu trong [B] tồn tại một toán tử (giải
thức của toán tử A), R
λ
= (A − λI)
−1
.
7
Tập hợp ρ (A) tất cả các điểm chính qui của toán tử A là mở. P hần bù σ (A) của
nó được gọi là phổ của toán tử . Phổ σ (A) luôn khác rỗng, đóng và nằm trong
hình tròn |λ| ≤ A. Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm trong hình tròn có bán kính
r
A
bằng
r
A
= lim
n→∞
n

A
n

(Sự tồn tại giới hạn dễ dàng suy ra từ hệ thức


A
m+n




k=0
λ
−(k+1)
A
k
. (1.4)
Có thể chỉ ra rằng trên đường tròn |λ| = r
A
luôn có một điểm của phổ σ (A).
Vì vậy giới hạn lim
n→∞
n

A
n
 được gọi là bán kính phổ của toán tử A.
1.1.3 Toán tử e-mũ
1. Định nghĩa e-mũ toán tử
Trong lý thuyết phương trình vi phân toán tử hàm e
At
đóng vai trò đặc biệt
quan trọng, nó có thể được đưa ra nhờ bất kì một trong hai hệ thức.
Đầu tiên ma trận e
A
xác định bởi
e
A
= lim
n→∞

λt
(A − λI)
−1
dλ, (1.5)
e
At
=
∞

k=0
A
k
t
k
k!
. (1.6)
8
Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dưới dấu tích phân ta được công thức
de
At
dt
= Ae
At
. (1.7)
Thật vậy,
de
At
dt
= −
1

λt
(A − λI)
−1
dλ

= Ae
At
].
1.1.4 Ví dụ
Ví dụ 1.1.1. Tìm e
tA
, biết: (a)A =

0 1
−1 0

; (b)B =

1 1
−1 −1

.
Lời giải:
a,Ta tính đư ợc
A =

0 1
−1 0

, A

=

1 0
0 1

+t

0 1
−1 0

+
t
2
2!

−1 0
0 −1

+
t
3
3!

0 −1
1 0

+
t
4
4!

(−1)
n
t
2n+1
(2n+1)!
∞

n=0
(−1)
n
t
2n
(2n)!




=

cos t sin t
− sin t cos t

Ở đây ta đã sử dụng công thức khai triển Taylor cos t =
∞

n=0
(−1)
n
t
2n

0 0

,
9
Vậy ta có
e
tA
=

1 0
0 1

+ t

1 1
−1 −1

+
t
2
2!

0 0
0 0

+
t
3
3!


Bổ đề 1.1.1. Nếu


e
At


≤ c với mọi t ∈ (−∞, +∞) thì phổ σ (A) phân bố trên
trục ảo.
1.1.5 Định lý Lyapun ov tổng quát về các toán tử có phổ n ằm
ở nửa mặt phẳng trái
Trong phần này các phép tính sẽ xét trong không gian Hilbert. Tích vô hướng
của các phần tử x, y ∈ B kí h iệu là (x, y). Điều kiện cần và đủ để toán tử tuyến
tính A : B → B giới nội (A ∈ [B]) là tồn tại một toán tử tuyến tính A
∗
: B → B
sao cho với mọi x, y ∈ B :(Ax, y) = (x, A
∗
y)
Cùng với A ∈ [B] thì cả A
∗
∈ [B], ngoài ra (A
∗
)
∗
= A. Toán tử A
∗
được gọi là
toán tử liên hợp đối với toán tử A. Ta có những tính chất đơn giản sau của toán
tử liên hợp:

là dạng Hermit (Hx, x), x ∈ [B] chỉ nhận giá trị thực. Phổ của toán tử σ (H) là
một tập đóng giới nội trên trục thực. Đoạn nhỏ nhất chứa ph ổ σ (H) được kí
hiệu là [λ
m
(H) , λ
µ
(H)]. Ở đây:
λ
m
(H) = inf {(Hx, x) |x = 1} ; λ
µ
(H) = sup {(Hx, x) |x = 1} ;
H = max {λ
µ
(H) ; −λ
m
(H)}.
Toán tử H ∈ [B] được gọi là dương (khôn g âm) nếu dạng (Hx, x) là dương (không
âm) với mọi x = 0. Đối với H không âm luôn có H = λ
m
(H).
Toán tử H được gọi là dương đều và viết H ≫ 0 nếu dạng (Hx, x) dương đều
trên hình cầu đơn vị S = {x |x = 1} trong B, tức là nếu λ
m
(H) > 0.
Tương tự ta định nghĩa các toán tử âm, không dươ ng và âm đều (và ý nghĩa
của cách viết H ≪ 0).
Rõ ràng rằng điều kiện để một toán tử không âm là khả nghịch là nó ph ả i dương
đều
Định lý 1.1.3. Định lý tổng quát Lyapunov.

0
)
x
0
(1.12)
Nghiệm này có đạo hàm liên tục theo t và là một nghiệm của bài toán (1.10)-
(1.11).
Dễ dàng thử lại rằng nghiệm này là duy nhất trong lớp hàm khả vi. Chỉ cần
chứng minh rằng nếu một hàm liên tục x(t) thỏa mãn phương trình (1.10) bằng
0 tại t = t
0
, thì nó cũng bằng 0 trong lân cận nào đó của đ iểm này.
Thực vậy, hàm này phải thỏa mãn
x (t) =
t

t
0
Ax (s) ds ,
12
,
từ đó với ∀t, |t − t
0
| ≤ δ ta có đánh giá x (t) ≤ δ A sup
|t−t
0
|≤δ
x (s)
dẫn tới mâu thuẫn sup
|t−t

x (t) = e
A(t−t
0
)
x
0
+
t

t
0
e
A(s−t
0
)
f (s)ds. (1.13)
Biểu thức (1.13) rõ ràng là một hàm khả vi.
Tính duy nh ất nghiệm của (1.13) của bài toán Cauchy (1.9)-(1.11) suy ra từ
tính duy nhất nghiệm của phương trình thuần nhất.
1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên
khoảng vô hạn
1. Xác định lại chuẩn
Dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân của bài toán (1.10)-(1.11) trên
tại vô hạn phụ thuộc đáng kể vào sự phân bố phổ của toán tử A.
Giả sử rằng phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Khi đó từ (1.12), trên
cơ sở định lí (1.2) có đánh giá:
x(t) ≤ Ne
−ν(t−t
0
)

=
∞

0


e
As
x (t)


ds =
∞

0



e
A(t+s)
x
0



ds =
∞

t


tách thành 2 tập phổ nằm trong nửa mặt phẳng phải và trái), đồng thời tập
phổ σ
+
(A) là không rỗng.
Giả sử P
+
và P
−
là các phép chiếu phổ với sự phân tích của ph ổ như trên
và cho B = B
+
+ B
−
là tương ứng với sự phân tách đó và B
+
và B
−
là sự khai
triển thành tổng trực tiếp của khô ng gian B tương ứng là bất biến dưới toán tử
e
At
(0 ≤ t < ∞), một nghiệm x (t) = e
At
x
0
xuất phát từ một điểm trong không
gian này thì không đi ra khỏi không gian con tương ứng.
Chúng ta đưa vào B chuẩn bất định:
x (t)
A

∞

0



e
As
e
At
P
−
x
0


−


e
−As
e
At
P
+
x
0




.
14
Do đó
(d/dt) x (t)
A
= −



e
At
P
−
x
0


+


e
At
P
+
x
0



< 0 (1.17)

−
x
0
= 0, x
0
∈ B
+
(= P
+
B). Trong không gian con này đại lượng
x
A
≥ 0 là một dạng vi phân tương đương x. Ta có
d
dt
x (t)
A
= x (t) ≥ −
1
M
x (t)
A
.
Lấy tích phân bất đẳng thức trên ta thấy − x(t)
A
≥ − x
0

A
e

0
+ P
+
e
At
x
0

suy ra nghiệm bất kỳ mà P
+
x
0
= 0 sẽ tăng vô hạ n. Đặc b iệt khi phổ nằm trong
nửa mặt p hẳng phải σ (A) = σ
+
(A), thì nghiệm khác không tiến tới vô hạn khi
t → +∞, và chuẩn x (t)
A
đơn điệu tăng. Hơn nữa, trường hợp này dần đến
trường hợp ban đầu nếu ta thay thế A bởi −A và đổi chiều thời gian t.
Chúng ta nhớ lại rằng toán tử A với phổ phân đ ô i thành hai tập phổ tương ứng
nằm trong nửa mặt phẳng trái và n ửa mặt phẳng phải:σ (A) = σ
+
(A) ∪ σ
−
(A)
được gọi là nhị phân. Trong trường hợp này ta cũng nói phương trình vi phân
15
(1.10) là nhị phân.
Từ những lập luận trên suy ra ra rằng k hông gian pha B cuả phương trình nhị

(x
′
(t), x(t))
x
′
(t) . x(t)
≤ −
cx (t)
2
A .x(t)
2
= −
c
A
Vậy, α ≥
π
2
+ arcsin

c
A

và trường vector của tiếp tuyến của đường cong
tích phân của phương trình (1.10) là tại mỗi điểm hướng chủ yếu vào tron g mặt
cầu có tâm là gốc tọa độ.
Bây giờ chúng ta xem xét trư ờng hợp tổng quát khi phổ σ (A) nằm trong nửa
mặt phẳng trái. Khi đó từ Định lí 1.1.3 tồn tại toán tử dương đều W giới nội
sao cho Re (W ) ≪ 0. Các suy luận trên vẫn đúng nếu các đánh giá được thực
hiện với chuẩn metric mới (x, y)
W

e
A
∗
t
e
At
dt
(x, x)
W
= (W x, x) =
∞

0


e
At
x


2
dt
(1.18)
Trong trường hợp này hệ các mặt cầu được thay thế bởi hệ các mặt ellipxoit
(W x, x) = const với tâm là gốc mà các đường cong tích phân đi vào trong.
Việc xét trong không gian pha Banach chuẩn (1.15) là tương tự với (1.18),
sẽ bao hàm ý tưởng về hình học tổng quát về đề cập hình học trên liên quan tới
phương pháp thứ 2 Lyapunov.
Ở đây vai trò của các ellipxoit là các vậ t thể đối xứng tâm lồi được giới hạn
bởi các mặt x

0
nằm trên hyperboloid trừ thì việc giảm tiếp của (W x, x) khi t
tăng có n g hĩa là quỹ đạo của x(t) cắt các hype rboloid với các giá trị âm có giá
trị tuyệt đối càng lớn và do đó quỹ đạo chạy ra vô cùng.
1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần
nhất
1. Phương trình vi phân cấp 1
Ta hãy xác định điều kiện để nghiệm của phương trình thuần nhất dx/dt = Ax
là bị chặn trên toàn bộ trục th ực. Vì tập nghiệm của phương trình này xác định
bởi công thức x (t) = e
At
x
0
(x
0
= x (0)), từ điều kiện giới nội của nghiệm suy ra
bất đẳng thức:


e
At
x
0


≤ C
x
0
(−∞ < t < ∞) ,
trong đó hằng số C

18
thực thì phổ σ (A) nằm trên trục ảo.
Nếu không gian pha B là không gian Hilbert thì tất cả các nghiệm bị chặn khi
và chỉ khi toán tử A đồng dạng với một toán tử phản Hermit.
2. Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Banach
Chúng ta xét phương trình cấp 2:
d
2
y
dt
2
+ T y = 0, (1.20)
trong đó T ∈ [B].
Việc nghiên cứu phương trình này dẫn tới việc nghiên cứu phương trình cấp
1 trong không gian pha đôi B
(2)
= B
·
+ B có phần tử là cặp
x = (x
1
, x
2
) (x
1
, x
2
∈ B) và có chuẩn xác định bởi công thức
x
2

2
) trong B
2
dx
dt
= Ax. (1.21)
Trong đó
A ∈

B
(2)

được xác định bởi ma trận toán tử
A =

0 1
−T 0

.
Không khó để tính được
A
2k
= (−1)
k

T
k
0
0 T
k

k=0
t
2k
A
2k
(2k)!
+
∞

k=0
t
2k+1
A
2k+1
(2k + 1)!
. (1.23)
19
Áp dụng sự tương ứng giữa hàm vô hướng và hàm vector, ta có thể đặt:
cos T
1
/
2
t =
∞

n=0
(−1)
k
T
k

0
= (y
0
, y
′
0
) bây giờ dẫn ta tới biểu diễn của
nghiệm của phương trình (1.20) thỏa mãn điều kiện:
y (0) = 0, y
′
(0) = y
′
0
, (1.24)
dưới dạng
y (t) =

cos T
1/2
t

y
0
+

T
−1/2
sin T
1/2
t

/
2
t (−∞ < t < +∞).
Xét hàm vector:
y (t) =

T
−1/2
sin T
1/2
t

y
0
.
Các đạo hàm của nó là: y
′
(t) =

cos T
1/2
t

y
0
và
y
′′
(t) = −


(t).
Ta đặt
y
′′
(t) − y(t) = f(t). (1.26)
Hàm f(t) bị chặn trên trục th ực cùng với y(t) và y
′′
(t). Nếu ta coi phương trình
(1.26) như phương trình vi phân, ta có thể biểu diễn nghiệm là bị chặn trên
toàn trục thực nhờ công thức đã biết
y (t) =
1
2
+∞

−∞
e
−|t−s|
f(s)ds.
Lấy vi phân biểu thức đó theo t dễ dàng chỉ ra rằng
sup
t


y
′
(t)


≤ sup

là dương đều, thì việc đặt y = Sx phương trình (1.20)
có dạng
d
2
x
dt
2
+ T
1
x = 0 Do đó không mất tổng quát ta có thể giả sử ngay từ
đầu rằng T ≫ 0.
Ta xét phương trình (1.21) là phương trình tương đương với (1.20), trong không
gian Hilb e rt đôi 
2
=  + . Tính trực tiếp ta chỉ ra rằng quan hệ sau là đúng
A = iQBQ
−1
trong đó
A =

0 1
−T 0

, B =

T
1/2
0
0 T
1/2

trình (1.20).
Ta chứng minh điều kiện cần.
Trước hết chú ý rằng nếu nghiệm của (1.20) là bị chặn thì đạo hàm của nó cũng
bị chặn. Thật vậy từ phương trình suy ra:
sup


y
′′
(t)


≤ T  sup y(t) , −∞ < t < +∞
Còn ở trên ta đã chỉ ra rằng từ tính bị chặn của một hàm và đạo hàm của cấp
2 của nó bị chặn suy ra tính bị chặn của đạo hàm cấp 1.
Do đó tính bị chặn của nghiệm của phương trình (1.20) tương ứng với tính bị
chặn của nghiệm c ủa tất cả các phương trình (1.21). Theo định lý (2.2) để chỉ
ra toán tử A đồng dạng với toán tử phản Hermit. Điều kiện sau có thể được
22
viết dưới dạng HA + A
∗
H = 0. Ở đây H là toán tử dương đều trong B
(2)
.
Thay và o đ ẳ ng thức này các ma trận
H =

H
11
H

11
x
1
, x
1
) ≥ m(H)(x, x)
2
= m(H)(x
1
, x
1
)
Tương tự chứng minh với H
22
. Điều này cho phép ta viết:
T = H
−1
22
H
11
= H
−1/2
22
DH
1/2
22
trong đó D = H
−1/2
22
H

là hai không gian con bất biến của A
ứng với các tập này và P
1
và P
2
là p hép chiếu tương ứng. Ta nhớ lại rằng
(I.2.4) tài liệu [1]có:
P
k
= −
1
2πi

Γ
1
R
λ
dλ, (k = 1, 2)
Ta đưa vào hàm toá n tử Green s a u:
G(t) =





e
At
P
1
= −

, G(−0) = −P
2
; G(+0) − G (−0) = P
1
+ P
2
= I.
3, Vector hàm
x(t) =
b

a
G(t − s)f (s)ds (1.29)
Ở đó f(t) là hàm liên tục thỏa mãn phương trình không thuần nhất (1.27) khi
24