ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
CAO THỊ ĐÔNG
PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
CAO THỊ ĐÔNG
PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Lời nói đầu 3
Lời cảm ơn 5
1 Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov
trong R
n
6
1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Một trong những người đã có công đầu trong việc nghiên cứu một cách hệ
thống và hoàn thiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương
trình vi phân là nhà toán học người Nga A.Lyapunov. Vào năm 1982, ông đã
công bố các kết quả nghiên cứu tính ổn định nghiệm trong luận văn tiến sĩ khoa
học nổi tiếng của mình. Trong bản luận văn này ông đã đưa ra các phương pháp
khác nhau để giải quyết bài toán về tính ổn định nghiệm của các phương trình
vi phân. Một trong các phương pháp đó là phương pháp hàm Lyapunov, nhờ
phương pháp này chúng ta có thể xác định tính ổn định nghiệm của phương
trình vi phân thông qua tính chất tương ứng của một phiếm hàm được kí hiệu
là V (t, x) mà không cần thiết phải biết rõ nghiệm tường minh của phương trình
vi phân đang xét. Từ đó đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu khoa
học tiếp theo về phương pháp này. Ngoài việc mở rộng và hoàn thiện phương
pháp hàm Lyapunov người ta đã phát triển nó cho những mô hình nghiên cứu
mới để có thể ứng dụng trong các bài toán thực tế đa dạng và phức tạp hơn.
Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả cơ
bản về phương pháp hàm Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân thường
trong R
n
, phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm bị nhiễu có
xung.
Ngoài việc trình bày các định lý về tính ổn định, tính ổn định tiệm cận của
Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân mới trên, chúng tôi đã giành một
sự quan tâm đặc biệt đối với phương pháp hàm Lyapunov kiểu Razumikhin.
Phương pháp này tạo nên một ưu thế cho chúng ta trong việc nghiên cứu tính
3
ổn định của phương trình vi phân hàm và sau đó là phương trình vi phân hàm
bị nhiễu có xung.
Phần cuối cùng của luận văn đã trình bày một minh họa cho mô hình dân
số dạng đơn giản (phương trình Logistis). Trong mô hình này chúng tôi đã chỉ
ra khả năng ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân cho

trong không gian Euclide thực n chiều R
n
y
), khi đó mỗi điểm (t
0
, y
0
) ∈ Ω thỏa
mãn định lý địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm y = y(t, t
0
, y
0
) đối với
hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y(t
0
, y
0
) = y
0
. Trong chương này ta giới hạn chỉ
xét nghiệm thực.
Giả sử η = η(t) (t ≤ +∞, t > a) là nghiệm của hệ (1.1) (chuyển động không
bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó, hơn nữa giả sử H là lân
cận của nghiệm đó sao cho U
H
(η(t)) ⊆ G với t ∈ [t
0
, ∞), trong đó
U
H

1.2 Các khái niệm về ổn định
Xét hệ rút gọn (1.3) với điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
, t
0
∈ R
+
, thỏa mãn các
điều kiện về tính tồn tại và duy nhất nghiệm. Kí hiệu nghiệm x(t) = x(t, t
0
, x
0
)
là nghiệm của (1.3).
Ta có các khái niệm về tính ổn của nghiệm tầm thường như sau:
Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là ổn
định theo Lyapunov khi t → ∞ nếu
∀ε > 0, ∃δ = δ(t
0
, ε) > 0 : ||x
0
|| < δ ⇒ ||x(t, t
0
, x
0
)|| < ε; ∀t ≥ t
0
.

thỏa mãn
||x
0
|| <  thì
lim
t→∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
1.3 Các hàm xác định dấu
Xét hàm số
V = V (t, x) ∈ C
tx
(Z
0
),
trong đó
Z
0
= {a < t < ∞, ||x|| < h}.
Chúng ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có
dấu xác định như sau:
Định nghĩa 1.3.1. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi
dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z
0
nếu V (t, x) ≥ 0 (hay V (t, x) ≤ 0)),
với mọi (t, x) ∈ Z
0

2
) = W (x, y)
với x
2
+ y
2
> 0, V = 0 với x = y = 0.
Nếu |α| = 1 hàm V chỉ là hàm không đổi dấu dương.
Định nghĩa 1.3.4. Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé bậc cao
khi x → 0 trong Z
0
nếu với t
0
> a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0
trên [t
0
, ∞), khi ||x|| → 0, tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho
|V (t, x)| < ε (1.5)
khi ||x|| < δ và t ∈ [t
0
, ∞).
Nhờ bất đẳng thức (1.5) ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé
bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó
t
0
≤ t < ∞, ||x|| < h.
Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và
V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0.
9
Ví dụ 1.3.2. Hàm trong ví dụ 1.3.1.với |α| < 1 có giới hạn vô cùng bé bậc cao

2
n
→ 0 mặc dù
hàm đó bị chặn và V → 0 khi ||x|| → 0.
1.4 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định
Giả sử X(t, x) ∈ C
(0,1)
tx
(Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H} và hệ vi phân
dx
dy
= X(t, x) (1.6)
là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0. Rõ ràng hệ (1.6) có nghiệm tầm thường x = 0.
Ta đặt
V = V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx
(Z
0
), Z
0
= {a < t < ∞ : ||x|| ≤ h < H} ⊂ Z
và X = X(t, x) = column[X
1
(t, x), X
n
(t, x)]. Hàm
˙
V (t, x) =
∂V


d
dt
V (τ, x(τ, t, x))

τ=t
. (1.8)
10
Chú ý. Khái niệm đạo hàm
˙
V (t, x) theo hệ (1.6) có thể mở rộng được. Cụ thể,
khi đó ta đặt
.
V
(t, x) = lim
h→0
+
1
h
{V (t + h, x + hX(t, x)) − V (t, x)}.
Nếu V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx
(Z
0
) thì hiển nhiên có công thức (1.7).
Định lý 1.4.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov) Nếu đối với hệ rút gọn (1.6),
tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C
(1,1)
(t,x)

∈ S
ε
mà cận dưới của
W (x) là x
∗
, Tức là
inf
x∈S
ε
W (x) = W (x
∗
) = α > 0. (1.9)
Giả sử t
0
∈ (a, ∞) tùy ý. Hàm V (t
0
, x) liên tục theo x, và do V (t
0
, 0) = 0 nên tồn
tại lân cận ||x|| < δ < ε sao cho
0 ≤ V (t
0
, x) < α với ||x|| < δ. (1.10)
Xét nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu ||x(t
0
)|| < δ. Ta sẽ chứng
minh quỹ đạo của nghiệm đó nằm hoàn toàn bên trong mặt cầu S
ε
, tức là
||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t

, x(t
0
)) ≥ V (t
1
, x(t
1
)) ≥ W (x(t
1
)) ≥ α.
Điều này vô lý. Như vậy nghiệm x(t) với t ∈ [t
0
, ∞) hữu hạn bất kỳ còn nằm
trong mặt cầu S
ε
vì ε < H, nghiệm đó xác định với t
0
≤ t < ∞ (thác triển vô
hạn bên phải), hơn nữa
||x(t)|| < ε khi t
0
≤ t < ∞
nếu ||x(t
0
)|| < δ. Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định theo Lyapunov khi
t → ∞.
1.5 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định
tiệm cận
Định lý 1.5.1. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm xác định dương
V (t, x) ∈ C
(1,1)

t
v(t) = α ≥ 0. (1.13)
Ta chứng tỏ rằng α = 0.
Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó ta có:
||x(t)|| ≥ β > 0 khi t
0
≤ t < ∞, (1.14)
trong đó β là số dương. Giả sử ngược lại (1.14) không đúng thì ta tìm được dãy
t
1
, t
2
, , t
k
, → +∞ sao cho:
lim
k→∞
x(t
k
) = 0.
Khi đó, nhờ sự tồn tại giới hạn vô cùng bé bậc cao của hàm V (t, x) khi x → 0,
ta có:
lim
k→+∞
v(t
k
) = lim
k→+∞
V (t
k

Khi đó lấy tích phân bất đẳng thức (1.15) với cận từ t
0
đến t và nhớ rằng
β ≤ ||x|| ≤ h với t
0
≤ x ≤ t, ta có:
v(t) = v(t
0
) +
t

t
0
V (τ, x(τ ))dx ≤ v(t
0
) −
t

t
0
W
∗
(τ)dτ,
trong đó W
∗
(τ) = W
1
(x(τ)) .
Vì −W
1

||x|| <  với t > T. (1.21)
Thậy vậy, nếu với thời điểm t
1
> T nào đó, thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại
||x(t
1
)|| ≥ ε,
14
thì nhờ vào công thức (1.19) và (1.18), ta có:
l > V (t
1
, x(t
1
)) ≥ W (x(t
1
)) ≥ l,
điều này là vô lý.
Tóm lại, từ công thức (1.21), ta có
lim
t→+∞
x(t) = 0,
đó là điều phải chứng minh.
1.6 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn
định
Định lý 1.6.1. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx
(Z
0
)

˙
V (t, x) ≥ W
1
(x) > 0 (1.23)
với t
0
≤ t < ∞ với 0 < ||x|| < h, trong đó W
1
(x) là hàm liên tục, không đổi dấu
dương. Vì theo giả thiết của định lý, hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao
khi x → 0, nên V (t, x) bị chặn trong hình trụ đủ hẹp, tức là
|V (t, x)| ≤ M (1.24)
15
với t
0
≤ t < ∞, ||x|| < ∆
0
< h, trong đó M và ∆
0
là các hằng số dương nào đó.
Giả sử δ > 0 (δ < ∆
0
) nhỏ tùy ý. Nhờ giả thiết của định lý, tồn tạo điểm (t
0
, x
0
),
trong đó 0 < ||x|| < δ, sao cho:
V (t
0

)|| > ∆
0
(1.27)
Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ ∆
0
với t ≥ t
0
, khi đó nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên
phải. Vì hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên từ bất đẳng
thức (1.26), nhờ lý luậnđã trình bày trong định lý thứ hai Lyapunov, ta suy ra
rằng
0 < β ≤ ||x(t)|| ≤ ∆
0
với t
0
≤ t < ∞,
trong đó β là số dương nào đó. Giả sử
γ = inf
β≤||x||≤∆
0
W
1
(x) > 0,
Khi đó, nhờ bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ ∆
0
, ta có
˙
V (t, x(t)) ≥ γ với t
0
≤ t < ∞.

Định nghĩa 1.7.1. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định
mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t
0
, x
0
) của hệ đó ở trong miền
nào đó t
0
≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thỏa mãn bất đẳng thức
||x(t)|| ≤ N||x(t
0
)||e
−α(t−t
0
)
(t ≥ t
0
) (1.29)
trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm
x(t).
Ta dễ dàng thấy rằng từ sự ổn định mũ của nghiệm x = 0 suy ra sự ổn định
tiệm cận của nó. Thật vậy, nếu:
||x(t
0
)|| <
ε
N
= ε,
trong đó ε > 0 tùy ý từ bất đẳng thức (1.29), ta có
||x(t)|| < ε với t ≥ t

= Ax (1.30)
với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞, thì hệ đó ổn định mũ, tức
là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t → ∞.
Chứng minh. Như đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.30) ổn định tiệm
cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng λ
p
(A) của ma trận A có phần thực âm:
Reλ
p
(A) < 0 (p = 1, 2, , n).
Ta đặt:
min
p
Reλ
p
(A) < −α < 0.
Khi đó, với t ≥ 0, ta được
||e
tA
|| ≤ Ne
−αt
, (1.31)
trong đó N là hằng số dương nào đó. Từ phương trình (1.30), đối với nghiệm
bất kì x(t), ta có
x(t) = e
(t−t
0
)A
x(t
0

19
Chương 2
Về phương pháp hàm Lyapunov đối
với phương trình vi phân hàm
2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán với
giá trị ban đầu
2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu
Cho R
n
là không gian Euclid, x ∈ R
n
, |x| =

x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2
n
gọi là chuẩn
của x. Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0], R
n
) là không gian Banach các hàm
liên tục trên [−h, 0] và nhận giá trị trong R
n
. Với ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ được
định nghĩa là:

− h, t
0
+ A] nếu x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ A], R
n
), (t, x
t
) ∈ Ω và x(t) thỏa mãn
phương trình (2.1) với t ∈ [t
0
, t
0
+ A].
Định nghĩa 2.1.2. Cho t
0
∈ R,ϕ ∈ C, ta kí hiệu x(t) = x(t
0
, ϕ)(t) gọi là nghiệm
của phương trình vi phân (2.1) với giá trị ban đầu ϕ tại t = t
0
, nếu tồn tại số
A > 0 sao cho x là một nghiệm của (2.1) trên [t
0
− h, t
0
+ A] và x
t

t
0
= ϕ.
Định lý 2.1.1. (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f là hàm
liên tục trên Ω. Nếu (t
0
, ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (2.1) đi qua
(t
0
, ϕ).
Chúng ta gọi f(t, φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R × C nếu
tồn tại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t, φ
i
) ∈ K, i = 1, 2
|f(t, φ
1
) − f (t, φ
2
)| ≤ k||φ
1
− φ
2
||
Định lý 2.1.2. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω → R
n
liên tục và f(t, φ) là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t
0
, ϕ) ∈ Ω
thì có duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t
0

x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
hay

x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2
x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
Trên đoạn [2, 3] ta có

x(t) = ϕ(2) +

t
1
6x(s − 1)ds, 2 ≤ t ≤ 3
x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2.
Suy ra

x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 2 ≤ t ≤ 3
x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2.
Vậy nghiệm của phường trình trên [0, 3] là







0
−1
e
−pt
ϕ(t)dt + X(p)

=
1 − e
−p
p
2
−
1
p
+ e
−p
X(p).
Phương trình vi phân có chậm dạng đang xét được đưa về dạng:
pX(p) =
1 − e
−p
p
2
−
1
p
+ e
−p

+ +
e
−kp
p
k
+ )+
+
1 − e
−p
p
3
(1 +
e
−p
p
+
e
−2p
p
2
+ +
e
−kp
p
k
+ )
= −
1
p
2

0 khi t < 0.
2.2 Các định lý cơ bản về phương pháp hàm Lya-
punov đối với phương trình vi phân hàm
2.2.1 Các khái niệm về ổn định
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm thông thường
chúng ta thường áp dụng phương pháp hàm Lyapunov. Sau đây, tôi xin trình
23