TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MAI LAN

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MAI LAN

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Hà Nội, tháng 6 năm 2015



Mục lục
Kí hiệu toán học

1

Mở đầu

2

1

2

CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm . . .
1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm
1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ . . . .
1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . .
1.2.1 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ .
1.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.


41

Tài liệu tham khảo

42


1

Kí hiệu toán học
• R+ : Tập các số thực không âm.
• Rn : Không gian vectơ n-chiều với kí hiệu tích vô hướng là ., . và
chuẩn vectơ là . .
• Rn×r :Không gian các ma trận (n × r)-chiều.
• AT : Ma trận chuyển vị của ma trận A.
• I : Ma trận đơn vị.
• λ(A): Tập tất cả các giá trị riêng của A.
• λmax (A) = max {Reλ : λ ∈ λ (A)}
•

A =

λmax (AT A): Chuẩn phổ của ma trận A.

• η(A) = 12 λmax (A + AT ): Độ đo của ma trận A.
• C ([a, b] , Rn ):Tập các hàm liên tục trên [a; b]và nhận giá trị trên Rn .
• A > 0: Ma trận A xác định dương nếu Ax, x > 0, ∀x = 0.
• A ≥ 0: Ma trận A xác định không âm nếu Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .


Luận văn này gồm 2 chương


3

Chương 1: Cơ sở toán học
Chương 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ
3. Mục đích nghiên cứu
Trình bày cơ sở bài toán ổn định Lyapunov, một số kết quả chọn lọc
của tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định
tiệm cận, ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính; trình bày những
kiến thức này dưới dạng một luận văn khoa học. Vận dụng để giải một số
bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, lý thuyết ổn định.
6. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp và kỹ thuật toán học của phương trình vi phân, đại
số tuyến tính, giải tích thực hiện đại, phương pháp hàm Lyapunov.
7. Đóng góp của đề tài nghiên cứu
Hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết ổn định hệ phương trình
vi phân tuyến tính, hệ có trễ và các kết quả chọn lọc mới về bài toán ổn
định mũ, ổn định tiệm cận Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính
có trễ.


4

Chương 1

Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1) là
t

x(t, x0 ) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Các định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ
phương trình vi phân (1.1).


5

Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff)
Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó giả sử hàm f(t,x(t)):R+ ×
Rn → Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:

∃K > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ 0.
Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ
(1.1) luôn có nghiệm duy nhất trên khoảng [t0 − d, t0 + d] . Vậy qua mỗi
điểm (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua.
Trường hợp đối với hệ tuyến tính:

t ∈ R+ ,

x˙ = A(t)x(t) + g(t),
x (t0 ) = x0 ,

A(t), g(t) là các hàm liên tục trên R+ thì hệ luôn có nghiệm duy nhất trên


x˙ 1 = −2x1 − x2 ,
x˙ 2 = 3x1 − 2x2 ,
là một hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm với:

−2
A=
3

−1
−2

,

g(t) = 0, ∀t ≥ t0 .


6

1.1.3

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Định nghĩa 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có
dạng:

x˙ (t) = A (t) x (t) + g (t) ,

t ∈ R+ ,
(1.3)

 d φ (t, s) = A (t) φ (t, s) , t ≥ s,
t
dt
và φ (t, t0 ) = e to A(s)ds .


φ (s, s) = I , ∀s ≥ 0,
Ví dụ 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm :

1

x
˙
=
x1 + 2x2 + sin t,

1

3t
t ∈ R+ .


 x˙ = − 3 x − 3x + cos t,
1
2
2
2t
Ma trận



Ta có:

0

0

2t

0

1

A(t) =

,

B(t) =

.
0

Khi đó ta tìm được ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ là

1
φ(t, s) =

0

2



Phương trình vi phân tuyến tính có trễ tổng quát có dạng :

x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t),

t ≥ 0,

t ∈ [−h, 0] ,

trong đó f : R+ × C → Rn , hàm φ(t) liên tục là hàm trễ cho trước.
Trong luận văn này, chúng tôi xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
có trễ dạng:

x˙ (t) = A (t) x (t) + B (t) x (t − h) ,
x (t) = φ (t) ,

t ∈ [−h, 0] ,

t ≥ 0,


8

trong đó A(t), B(t) là n × n− ma trận hàm liên tục trên R+ , hàm φ(t)
liên tục trên [−h, 0].
Theo [3] hệ phương trình tuyến tính có trễ trên luôn có nghiệm duy
nhất trên [0, ∞).

(ii) Tồn tại δ > 0 sao cho y0 − x0 < δ thì lim y(t) − x (t) = 0.
t→∞

Việc xét tính ổn định của nghiệm x (t) của hệ (1.4) hoàn toàn có thể
đưa về việc xét tính ổn định của nghiệm x(t) ≡ 0, với y (t) là một nghiệm
bất kỳ của hệ thực hiện phép biến đổi z = y − x. Hệ (1.4) có dạng:

z˙ = f (t, z + x) − f (t, x) .
Đặt F (t, z) = f (t, z+x)−f (t, x) ta có được hệ z˙ = F (t, z) với F (t, 0) = 0.
Do đó ta chỉ cần xét hệ (1.4) có nghiệm 0 tức f (t, 0) = 0, t ∈ R+ và xét
tính ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0. Vậy ta có thể định nghĩa về
tính ổn định của hệ (1.4) như sau:


9

Định nghĩa 1.5. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với bất
kỳ ε > 0, t0 ∈ R+ sẽ tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào ε, t0 ) sao cho bất
kỳ nghiệm x(t) : x(t0 ) = x0 thỏa mãn x0 < δ thì x(t) < ε, với mọi
t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.6. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu x0 < δ thì lim x(t) = 0.
t→∞

Định nghĩa 1.7. Nghiệm 0 của hệ (1.4) được gọi là ổn định mũ nếu tồn
tại các số N > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.4) với x(t0 ) = x0
thỏa mãn:
x(t) ≤ N e−δ(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 .
là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó
tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.

x0 .


10

t

a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞.

+Hệ (1.6) là ổn định nếu
t0

+ Hệ (1.6) là ổn định đều nếu số µ(t0 ) là hằng số không phụ thuộc vào t0 .
t

+ Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu lim

t→∞ t
0

a(τ )dτ = −∞.

Nhà toán học người Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn
định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm:

x˙ (t) = Ax (t) , t ≥ 0,
(1.7)

x (t0 ) = x0 ,

xác định tính ổn định của hệ được dễ dàng và thuận lợi hơn.


11

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov

Phương pháp này dưạ vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi
là hàm Lyapunov, mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của
đạo hàm theo hàm vế phải của hệ đã cho. Trước tiên ta xét hệ phương
trình vi phân ôtônôm (1.4), tức là vế phải của (1.4) không phụ thuộc vào
t.
Xét hàm V (x) : Rn → R, V(x) gọi là xác định dương nếu V (x) >
0, x = 0, V (0) = 0. Khi đó ta có định nghĩa về hàm Lyapunov đối với
hệ:
x˙ (t) = f (t, x(t)) , t ≥ 0,
(1.8)
x (0) = x0 ,
trong đó f : R+ × Rn → Rn là hàm vectơ cho trước, x(t) ∈ Rn là vectơ
trạng thái của hệ với giả thiết f (0) = 0, t ∈ R+ .
Định nghĩa 1.8. Hàm V (x) : Rn → R, được gọi là hàm Lyapunov của
hệ (1.8) nếu:
(i) V (t, x) là hàm khả vi liên tục trên D.
(ii) V (t, x) là hàm xác định dương.

∂V (x)
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn .
∂x

Df V (x) = 4x1 x˙ 1 + 6x2 x˙ 2 = −4x1 (x1 − x2 )(6 + 3x1 2 + 3x2 2 )−
−6x2 (x1 + x2 )(4 + 2x1 2 + 2x2 2 )

.

= −12(x1 2 + x2 2 ) x1 2 + x2 2 + 2 .
Do đó Df V (x) < 0. Vậy hệ ổn định tiệm cận.
Bây giờ ta xét hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân không
ôtônôm:
x(t)
˙
= f (t, x (t)), t ≥ 0,
(1.9)
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,
trong đó f : R+ × Rn → Rn và f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ .
Trước tiên ta sẽ định nghĩa cho lớp hàm K như sau:
Gọi K là lớp các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ ,

a(0) = 0.

Định nghĩa 1.9. Hàm V (t, x) : R+ × D → R, D là lân cận mở tùy ý của
0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9) nếu:
(i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a x , ∀(t, x) ∈ R+ × D.
∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ × D.
(ii) Df V (t, x) =
∂t

(iii) Df V (t, x) =
+
f (t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R+ × D.
∂t
∂x

Thì khi đó hệ (1.4) là ổn định.
Định lý 1.5. Nếu hệ phi tuyến không ôtônôm (1.9) có hàm Lyapunov thì
hệ là ổn định. Nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận
đều.
Ví dụ 1.9. Xét hệ phương trình vi phân:

1

 x˙ 1 = −x1 + x1 sin2 (t),
4


x˙ 2 = −4x2 + x2 sin2 (t).
Khi đó ta chọn hàm V (t, x) = 4x1 2 +x2 2 thỏa mãn các điều kiện (i),(ii) và

Df V (t, x) = 8x1 x˙ 1 + 2x2 x˙ 2
1
= 8x1 (−x1 + x1 sin2 (t)) + 2x2 (−4x2 + x2 sin2 (t))
4
= −8(x1 2 + x2 2 ) + 2sin2 (t)(x1 2 + x2 2 ).
Do đó Df V (t, x) < −6( x 2 ). Vậy hệ ổn định tiệm cận.
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ (1.9).




với A là ma trận hằng số (n × n) chiều. Nghiệm của hệ (1.10) xuất phát
từ trạng thái ban đầu x(t0 ) cho bởi công thức:

x(t) = eA(t−t0 ) x0 ,

t ≥ t0 ≥ 0.

Dựa vào định lý ổn định Lyapunov được nêu trong định lý (1.2), ta có thể
xét một hệ tuyến tính ôtônôm có ổn định hay không chỉ cần tìm nghiệm
phương trình đa thức đặc trưng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ.
Bên cạnh đó, tính ổn định mũ của hệ (1.10) có thể xét thông qua sự tồn tại
nghiệm của phương trình Lyapunov (LE) A X + XA = −Y , trong đó X,Y
là các ma trận (n × n) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.10),
ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A
là âm. Theo định lý (1.2), điều này tương đương hệ (1.10) là ổn định mũ.
Định lý 1.7. Hệ (1.10) là ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận
Y đối xứng xác định dương , phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối
xứng, xác định dương.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng
xác định dương. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.10) ta xét hàm số

V (t, x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀t ≥ 0.


15

Ta có

d


x (s) 2 ds ≤

t0

Xx0 , x0
.
α

Cho t → +∞ ta được
∞

x (s) 2 ds < ∞.

t0

Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Thật vậy giả sử có một số
λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
λ0 này thì nghiệm của hệ (1.10) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 t x0 và do đó
∞
t0

x1 (t) 2 dt =

∞

e2Reλ0 t x0 2 dt = + ∞,

t0


∞

Z(s)ds < ∞,

X=
t0

là xác định và do Y là đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy
tích phân hai vế phương trình (*) từ t đến t0 ta có

Z(t) − Y = A X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0 .
Cho t → +∞ thì Z(t) → 0 và vì A là ma trận ổn định, nên ta được

−Y = A X + XA,
hay là, các ma trận đối xứng X và Y thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng
minh X là ma trận xác định dương. Thật vậy, ta có
∞

Y eAt x, eAt x dt.

Xx, x =
t0

Do Y là xác định dương và eAt không suy biến nên Xx, x
x = 0.
Định lý được chứng minh.

> 0 nếu

Bổ đề Gronwall


a ≤ t ≤ b.

β (s) ds ,
a

Định lý 1.8. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = Ax + f (t, x),
x(t0 ) = x0 .
f (t, x) ≤ L x khi đó sẽ

trong đó A là ma trận ổn định, f (t, 0) = 0,
tồn tại L > 0 để hệ ổn định mũ.
Chứng minh. Nghiệm của hệ cho bởi:
t
A(t−t0 )

x(t) = x0 e

eA(t−s) f (s, x(s)) ds.

+
t0

A là ma trận ổn định nên hệ x˙ = Ax là ổn định mũ do đó tồn tại số
k > 0, δ > 0 sao cho

eAt ≤ ke−δt , ∀t ≥ t0 .
Vì vậy

δ
thì hệ là ổn định mũ(Đpcm).
k


18

Ví dụ 1.10. Xét hệ phương trình vi phân :
x˙ 1 = −4x1 + 3x2 + mx1 sin t,

x˙ 2 = x1 − 2x2 + mx2 sin t.
Ta có

−4

3

1

−2

A=

mx1 sin t
,

f (t, x) =

,
mx2 sin t

c>0 không phụ thuộc vào t sao cho:

A(t)x, x ≥ c x 2 ,

∀t ≥ 0, x ∈ Rn .

Ma trận hàm A(t) được gọi là giới nội đều nếu tồn tại hằng số k>0
không phụ thuộc vào t sao cho:

A(t) ≤ k, ∀t ≥ 0.


19

Định lý 1.9. Xét hệ (1.11) với Q(t) là một ma trận đối xứng xác định
dương đều nào đó, nếu tồn tại một ma trận P(t) khả vi, đối xứng xác định
dương đều và giới nội đều thỏa mãn phương trình (LDE) thì hệ là ổn định
tiệm cận.
Chứng minh. Đặt V (t, x) = (P (t)x, x) ta chứng minh V(t,x) là hàm Lyapunov chặt.
Theo định nghĩa của hàm ma trận giới nội đều ta có:

P (t)x, x ≥ P (t)

x

2

≥ M x 2.

Hơn nữa

trận P(t) phụ thuộc vào t khả vi, đối xứng xác định dương đều và giới nội
đều thỏa mãn phương trình (LDE) thì hệ là ổn định tiệm cận với L>0 nào
đó.


20

Chứng minh. Đặt V (t, x) = P (t)x, x ta có

P (t)x, x ≤ P (t)
và

x

2

≤ M x 2,

dV
= P˙ (t)x, x + P (t)x,
˙ x + P (t)x, x˙
dt
= P˙ (t)x, x + (A P (t) + P (t)A) x, x + 2 P f, x
P˙ (t) + A P (t) + P (t)A x, x + 2 P f, x

=

= − Qx, x + 2 P f, x .
Do Q là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại α > 0 sao cho


.
k