ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trường Thanh

ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH.

Vũ Ngọc Phát


học trong nước và quốc tế, khiến cho tôi trưởng thành hơn trong môi trường
nghiên cứu. Nhân cách và lối sống của Thầy cũng là điều mà tôi đang phấn đấu
và hoàn thiện bản thân. Từ tận đáy lòng, tôi xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
Thầy, mong Thầy luôn mạnh khỏe để có thể cống hiến nhiều hơn cho sự nghiệp
giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến nhận xét và góp ý quý báu của
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh. Chính nhờ những bình luận và góp ý của Thầy
mà luận án của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy PGS.TSKH.
Vũ Hoàng Linh, PGS.TS. Đặng Đình Châu đã nhiệt tình cung cấp và hướng dẫn
tôi các kiến thức cần thiết xung quanh luận án. Đồng thời, tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và các anh chị nghiên cứu sinh trong Bộ
môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên đã luôn quan tâm, giúp đỡ, và trao
đổi những ý kiến qúy báu cho tôi trong quá trình học tập.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và
tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội. Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn đồng nghiệp,
các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại
Viện Toán Học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học
tập và làm luận án.
ii


Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất đã cho tôi cơ
hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn
Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS. Nguyễn Văn Ngọc, Ths. Tô Văn Đinh, Ths
Nguyễn Lan Hương đã tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà

0.0610







0.0726 −0.0406
 , L22 = 
,
0.0522
−0.0406 −0.1744

−0.0038

0.0046

0.0046

−0.0132

Các tập Ωli xác định như sau


Ω11 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 



Ω21 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 


 (x1 , x2 )T < 0},


 (x1 , x2 )T < 0},

−0.5164 −0.0865

−0.6918 0.2240
 (x1 , x2 )T < 0},
Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 
0.2240 0.1739


0.3627 −0.1725
 (x1 , x2 )T < 0}.
Ω22 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 ) 
−0.1725 −0.5369


Hợp của Ω1i và Ω2i là R2 \ {0} với i = 1, 2.

Các tập Ωli xác định


−0.9477

0.5608




Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞
cho một lớp hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.
Kết quả đạt được như sau:
• Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển
mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và thiết kế quy tắc
chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4).
• Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều khiển H∞ cho
hệ quy mô lớn chuyển mạch trên cơ sở phát triển Định lí 3.1.4. Đây là kết
quả đầu tiên về bài toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch
có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.

102


KẾT LUẬN

Luận án nghiên cứu tính ổn định và bài toán điều khiển H∞ cho một số hệ
phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không
đòi hỏi tính khả vi của hàm trễ.
Những kết quả đã được chứng minh trong luận án:
• Đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại điều khiển H∞ và tính ổn định
hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến và hệ quy mô lớn có trễ biến thiên liên
tục dạng khoảng xuất hiện trong cả hàm trạng thái và quan sát (Định lí
2.1.3 và Định lí 2.2.3). Tiếp đó, áp dụng các định lí này nghiên cứu các hệ
không chắc chắn tương ứng và thu được các kết quả tương tự.
• Đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển
mạch thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và thiết kế quy tắc
chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4).
• Đưa ra một điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho sự tồn tại điều khiển H∞ cho

[2]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2013), "H∞ control for nonlinear systems
with interval non-differentiable time-varying delay", European Journal of Control, 19(3), pp. 190-198.(SCI-E)
[3]. Thanh N. T. and Phat V. N. (2014), "Decentralized stability for switched
nonlinear large-scale systems with interval time-varying delays in interconnections", Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 11, pp. 22-36.(SCI-E)

105


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
[1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân
và điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội.
[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Mai Viết Thuận (2014), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi
phân hàm và ứng dụng trong lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học,
Viện Hàn Lâm Khoa Học và Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học.

Tiếng Anh
[4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G. (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans. AMS., 111(2), pp. 133 - 156.
[5] Almi A.M., Derbel N. (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer, 23, pp. 48 - 52.
[6] Babuke L. (2008), "Decentralized control: an overview", Annual Review in
Control, 32(1), pp. 87 - 98.
[7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R. (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems
with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal. Hybrid Systems,
5(4), pp. 681 - 691.

106


[21] Hardy G.H. (1915), "On the mean value of the modulus of an analytic
function", Proceeding of the London Mathematical Society, JFM 45.1331.03,
14(1), pp. 269 - 277.
[22] Hale Jack K., Sioerd M. Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional
Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc.
[23] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stability and stabilization of
a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin
Institute, 346(6), pp. 611 - 625.
[24] Hien L.V., Phat V.N. (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid
systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal. Hybrid
Systems, 3(3), pp. 259 - 265.
[25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P. (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10),
pp. 2600 - 2606.
[26] Ichikawa A. (2000), "Product of non-negative operators and infinite dimentional H∞ ricatti equations", Systems and Control Letters, 41(3), pp.
183 - 188.
[27] Ikeda M., Sijak D.D. (1980), "Decentralized stabilization of large-scale systems with time delays", Large Scale Systems, 1, pp. 273 - 279.
[28] Jiang X., Han Q.L. (2005), "On H∞ control for linear systems with interval
time-varying delay", Automatica, 41(12), pp. 2099 - 2106.
[29] Keulen B.V. (1993), H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A
State-Space Approach, Bikhauser, Bolton.
[30] Kharitonov V. L., Hinrichsen D. (2004), "Exponential estimate for time
delays systems", Systems and Control Letters, 53(5), pp. 395 - 405.
108