BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ
LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
(Phương trình vi phân và tích phân)
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Hiện

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sỹ, tôi đã nhận được sự giúp đỡ, tạo
điều kiện nhiệt tình và quý báu của nhiều cá nhân, tập thể.
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS.Lê Văn
Hiện,người không chỉ hướng dẫn và truyền đạt cho tôi kiến thức,kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học quý báu mà còn khuyến khích động viên tôi vượt qua
những khó khăn trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong tổ bộ môn giải tích,
khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, truyền
đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn,
cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời gian

3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


DANH MỤC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
R+

tập hợp các số thực không âm.

Rn

không gian vectơ Euclide n-chiều.

,

tích vô hướng trên Rn , x, y = xT y.

x

chuẩn của vectơ x =

∑ni=1 x2i

1
2

.

Rn×r

Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0.

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là
Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .

A>B
M+

ma trận A − B xác định dương.
tập các ma trận đối xứng, xác định dương.

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị
trong Rn với chuẩn supa≤t≤b x(t) .
L2 ([0,t], Rn ) không gian các hàm khả tích bậc 2 trên [0,t] có giá trị
trong Rn .
BM +(0, ∞)

tập hợp các hàm ma trận đối xứng, nửa xác định dương
và bị chặn trên (0, ∞).


PHẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết định
tính các hệ phương trình vi phân. Trải qua hơn một thế kỉ phát triển, cho đến
nay lý thuyết ổn định của Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển sôi
động, vẫn đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu, cả lý thuyết cũng như tìm kiếm các mô hình ứng dụng [1].

hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán điều khiển H∞ ) là bài
toán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu
[5, 13, 14, 16, 17, 19].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một
số lớp hệ không dừng có trễ biến thiên dựa trên cách tiếp cận bằng phương
pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và phương trình vi phân Riccati ma trận.
Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 là phần
kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi giới thiệu sơ lược về bài toán ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán điều khiển H∞ , đồng thời nêu một
số kết quả bổ trợ dùng để trình bày các kết quả trong các chương sau. Trong
chương 2, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính

2


không ô-tô-nôm có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến dạng



x(t)
˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + B1 (t)ω (t)







+ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), t ≥ 0,


˙ = A0(t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi (t)) + ∑ Dk (t)



t−r
(t)
k
i=1
k=1

+ B(t)u(t) + B1 (t)w(t), t ≥ 0,






x(t) = φ (t), t ∈ [−hu , 0].

Giả sử rằng, hàm quan sát không phụ thuộc tường minh vào điều khiển,
z(t) = C(t)x(t), t ≥ 0. Cách tiếp cận của chúng tôi trong chương này có thể mô
tả như sau. Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, trước hết chúng tôi
tìm điều kiện ổn định H∞ cho hệ. Tức là, khi không có điều khiển (u(t) = 0),
chúng tôi thiết lập các điều kiện thông quan một lớp phương trình Riccati ma
trận sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Hệ là α -ổn định mũ với
3


w(.) = 0; và (ii) Điều kiện γ -mức
sup


1.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán ổn định
Với số thực h ≥ 0, kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm
liên tục trên đoạn [−h, 0] với chuẩn

φ = sup

φ (s) .

−h≤s≤0

Với x(.) là hàm liên tục trên R+ , nhận giá trị trong Rn , chúng ta xây dựng
hàm xt ∈ C như sau xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0],t ≥ 0. Như vậy, xt là một
quỹ đạo trên [t − h,t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi
xt = sup

x(t + s) .

−h≤s≤0

Xét hệ phương trình vi phân có trễ
x(t)
˙ = f (t, xt ),
x(t) = φ (t),

t ≥ 0,

(1.1)

t ∈ [−h, 0],

của (1.1) với φ ∈ C thỏa mãn φ < δ0 thì lim x(t0 , φ )(t) = 0
t→∞

Định nghĩa 1.1.4 ([11]). Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là α -ổn định
mũ nếu nó ổn định mũ với số mũ α > 0 cho trước.
Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) là ổn định (ổn định
mũ, ổn định tiệm cận) ta sẽ nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định mũ, ổn định tiệm
cận). Khi t0 đã rõ ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 , φ )(t).
Định lí 1.1.5 (Định lí ổn định mũ [8]). Giả sử đối với hệ (1.1) tồn tại hàm
V = V (t, xt ) thỏa mãn các điều kiện
(i) ∃λ1, λ2 > 0 sao cho λ1 x(t)

2

≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt 2.
6


(ii) V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3 x(t) 2 , λ3 > 0.
Khi đó nghiệm hệ (1.1) ổn định mũ toàn cục đều, hơn nữa mọi nghiệm
x(t, φ ) của (1.1) thỏa mãn đánh giá
x(t, φ ) ≤

λ 2 − λ3 t
e
φ ,
λ1

t ≥ 0.


với hệ (1.5) là bài toán tìm hàm điều khiển SFC u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng
x(t)
˙ = [A + BK]x(t)
8


là ổn định mũ và với mỗi γ > 0 cho trước, tồn tại hằng số c0 > 0 sao cho ta
có đánh giá

∞
2
0 z(t) dt
sup
c0 x0 2 + 0∞ w(t) 2 dt

≤ γ,

(1.6)

ở đó, supremum lấy theo mọi w(t) = 0 trong L2 ([0, ∞), Rs ).

1.3. Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều
khiển có trễ
Xét hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ
x(t)
˙ = f (t, xt , u(t)),
x(t) = φ (t),

t ≥0


1.4. Một số kết quả bổ trợ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả bổ trợ dùng trong chứng
minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo.
Mệnh đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [11]). Giả sử Q, S là các ma
trận có số chiều thích hợp và S là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó
2 Qy, x − Sy, y ≤ QS−1 QT x, x ,

∀x, y.

Nhận xét 1.4.1. Giả sử P ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi
đó, ta có
2xT y ≤ xT Px + yP−1y,

∀x, y ∈ Rn .

Mệnh đề 1.4.2 ([6]). Với mọi ma trận đối xứng xác định dương W , nếu tồn
tại một số σ > 0 và một hàm vectơ ω : [0, σ ] → Rn , sao cho các tích phân
dưới đây tồn tại, thì ta có
ν
0

ω (s)ds

ν

T

W
0









+ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), t ≥ 0,
(2.1)


z(t) = C(t)x(t) +C1 (t)x(t − h(t)) + D(t)u(t), t ≥ 0,






x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],

ở đó x(t) ∈ Rn là biến trạng thái, u(t) ∈ Rm là biến điều khiển, ω (t) ∈ Rr

là nhiễu đầu vào, z(t) ∈ Rq là hàm quan sát, A, A1 , B, B1 ,C,C1 , D là các hàm

ma trận liên tục trên R+ . Kí hiệu xh := x(t − h(t)), hàm nhiễu phi tuyến
f : R+ × Rn × Rn × Rm × Rr −→ Rn thỏa mãn f (t, 0, 0, 0, 0) = 0 ∀t ≥ 0 và
11


điều kiện tăng trưởng sau

tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để chứng minh sự hội tụ
mũ của hệ đóng với tốc độ mũ cho trước. Với (H2), chúng tôi dùng định lí ổn
định Razumikhin chứng minh tính ổn định mũ của hệ đóng mà không đánh
giá được hiển tốc độ hội tụ mũ.
Trước hết chúng tôi giới thiệu bài toán điều khiển H∞ cho (2.1) như trong
định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) gọi là H∞ ổn định hóa được nếu với mỗi γ > 0
cho trước, tồn tại một hàm điều khiển dạng u(t) = K(t)x(t) thỏa mãn hai yêu
cầu sau
12


(i) Với nhiễu ω (t) = 0, hệ đóng tương ứng của (2.1)


x(t)
˙ = A(t) + B(t)K(t) x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B1 (t)ω (t)




+ f (t, x(t), x(t − h(t)), K(t)x(t), ω (t)), t ≥ 0,




x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],

(2.3)



(2.5)

Hơn nữa, với các số dương a, b, c, d, γ , α , β , h, εi , i = 1, 2, 3, 4 cho trước, chúng
tôi kí hiệu

σ

= ε3−1a2 +

3b2
+ c2 + ε4−1 d 2,
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ )

ε = ε1 + ε3 + ε2 he2α h + 2(α + β ),
p = sup P(t) , l = sup η (C1 (t)),
t≥0

t≥0

13


1
ρ 2(t)
3


M
,
β

A = A(t) + α I.

Định lí sau đây cho các điều kiện ổn định hóa H∞ hệ (2.1).
Định lí 2.2.1. Với giả thiết (H1), giả sử tồn tại các số dương α , β , εi , i =
1, 2, 3, 4, ε4 < γ , ε1 > 3le2α h (1 − δ )−1, một hàm liên tục ρ (t),t ≥ 0, và hàm
ma trận P ∈ BM +(0, ∞) thỏa mãn phương trình vi phân Riccati sau
˙ + A T (t)Pβ (t) + Pβ (t)A (t) − Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t) = 0.
P(t)

(RDE1)

Khi đó hệ (2.1) là H∞ ổn định hóa được. Hàm điều khiển ngược cho bởi
1
u(t) = − ρ 2(t)BT (t)Pβ (t)x(t),
2

t ≥ 0.

(2.6)

Chứng minh. Với hàm điều khiển u(t) = K(t)x(t), ở đó
1
K(t) = − ρ 2(t)BT (t)Pβ (t), t ≥ 0,
2
xét hệ đóng (2.3). Hàm Lyapunov-Krasovskii được xây dựng dạng sau [18]

Lấy đạo hàm của V (t, xt ) đối với t dọc theo nghiệm x(t) của hệ, ta được
˙
V˙1 (t, xt ) + V˙2(t, xt ) = P(t)x(t),
˙ x(t)
x(t) + 2 Pβ (t)x(t),
˙ + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t)
= P(t)
− ρ 2(t)Pβ (t)B(t)BT (t)Pβ (t)x(t), x(t)
+ 2 Pβ (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t)
+ 2 Pβ (t)B1 (t)ω (t), x(t)
+ 2 Pβ (t) f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t) .
(2.8)
˙
x(t − h(t)) 2 ,
V˙3 (t, xt ) = −2αV3(t, xt ) + ε1 x(t) 2 − ε1e−2α h(t) (1 − h(t))
≤ −2αV3(t, xt ) + ε1 x(t)

2

− ε1e−2α h (1 − δ ) x(t − h(t)) 2 ,

V˙4 (t, xt ) = −2αV4(t, xt ) + ε2 he2α h x(t)
−2α h

− ε2e

˙
(1 − h(t))

0


≤ [P˙ + AT Pβ + Pβ A − ρ 2(t)Pβ BBT Pβ + 2(α + β )I]x(t), x(t)
+ 2 Pβ A1 x(t − h(t)), x(t)

ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)), x(t − h(t))
3
+ 2 Pβ (t)B1 (t)ω (t), x(t)
+ 2 Pβ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t)

+ (ε1 + ε2 he2α h) x(t)

2

2ε1 e−2α h(1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2 .
3

(2.10)

Áp dụng Mệnh đề 1.4.1 ta có

ε1 e−2α h (1 − δ )
x(t − h(t)), x(t − h(t))
2 Pβ A1 x(t − h(t)), x(t) −
3
3
Pβ A1 AT


2

+ ε3 x(t)
16

2

+ c2 Pβ x(t)

2

+ u(t)

2


3b2
Pβ x(t) 2
+
α
h
−2
ε1 e
(1 − δ )
ε1 e−2α h (1 − δ )
+
x(t − h(t))
3
+ ε4−1d 2 Pβ x(t)

V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt )
3ρ 2(t)
T
˙
≤ P + A (t)Pβ + Pβ A (t) −
Pβ RPβ + ε I x(t), x(t)
4
ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2 + 2 Pβ B1ω (t), x(t)
3
+ ε4 ω (t)

2

+ σ Pβ2 x(t), x(t) .

Chú ý rằng, vì P(t) là nghiệm của (RDE1) nên ta có

ρ 2(t)
˙
Pβ BBT Pβ x(t), x(t)
V (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ −
4
3
CTC1C1TC x(t), x(t)
− CTC +
−2
α
h


∀t ≥ 0.

≤ V (t, xt ), ∀t ≥ 0 nên từ (2.16) ta nhận được đánh

giá
V (0, x0 ) −α t
e ,
β

x(t, φ ) ≤

∀t ≥ 0.

Từ
V (0, x0 ) ≤ (p + β + hε1 ) φ

2

≤ (p + β + hε1 ) φ

2

0

+ ε2

0

−h τ −h(τ )

2

s

dt =

z(t)
0

−

s

2

− γ ω (t)

2

+ V˙ (t, xt ) dt

V˙ (t, x(t))dt.

0

Vì V (t, xt ) ≥ 0,t ≥ 0, nên ta có
s

−



2

+ V˙ (t, xt ) dt +V (0, x0 ).


Mặt khác, từ (2.14) ta có

ρ 2(t)
˙
V (t, xt ) ≤ −
Pβ BBT Pβ x(t), x(t) + 2 Pβ B1 ω (t), x(t)
4
3
− CTC +
CTC1C1TC x(t), x(t)
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l
ε1 e−2α h (1 − δ )
x(t − h(t)) 2 + ε4 ω (t) 2
−
3
1
−
P B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) .
γ − ε4 β


4
1
−
Pβ B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) + 2 Pβ B1 ω (t), x(t)
γ − ε4
ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2
3
3
CTC1C1TC x(t), x(t)
− CTC +
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l

dt

+V (0, x0 ).
Sử dụng công thức của hàm điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) ta có
z(t)

2

ρ 2(t)
C C+

3
19

2

2


3
CTC1C1TCx(t), x(t)
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l
1
−
Pβ B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) dt +V (0, x0 ).
γ − ε4
−

Từ các đánh giá trên ta thu được
s

z(t)
0

2



γ = ε1 + ε2 + ehη 2 (CTC1),

η (CTC1 ) = sup η (CT (t)C1 (t)),
R(t) =

t≥0
2
ρ (t)

2

B(t)BT (t) − eh A1 (t)AT
1 (t) −

Q(t) = CT(t)C(t) + γ I,

1
B1 (t)BT
1 (t) − mI,
γ − ε1

Ph (t) = P(t) + e−hI,

A(t) = A(t) + eh η 2 (C1 ) + 2 I.
Định lí 2.2.2. Với giả thiết (H2), giả sử rằng tồn tại các số dương εi , i = 1, 2,

ε1 < γ , một hàm liên tục ρ (t) và hàm ma trận P ∈ BM +(0, ∞) thỏa mãn
20