BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

VŨ MẠNH TỚI

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————— * ———————

VŨ MẠNH TỚI

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA
MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Cung Thế Anh


học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viện, tạo môi trường học tập
nghiên cứu thuận lợi cho tác giả.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Thủy lợi, các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán,
Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi đã luôn tạo điều kiện
thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu
thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.


3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1. MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . .

17

1.2. LÍ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU . . . . . . . . . . .

18

1.2.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


26

2.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.1. Tính đặt đúng của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2. Khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.3. Tốc độ tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.4. Bất đẳng thức Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3. CHỨNG MINH KẾT QUẢ CHÍNH

. . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.1. Lược đồ chứng minh Định lí 2.1 . . . . . . . . . . . . . .


67

3.3.1. Một số tính chất của hàm trọng . . . . . . . . . . . . .

67

3.3.2. Chứng minh Định lí 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70


5
Chương 4. TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC MỘT CHIỀU NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN
VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2. TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN

. . . . . . . . . . . . . .

88

4.2.1. Không gian hàm và toán tử . . . . . . . . . . . . . . . .

88


C0∞ (Ω)

không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

∥ · ∥∞

chuẩn trong L∞ (Ω × (0, T ))

S01 (Ω)

không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu các bài
toán chứa toán tử Grushin (xem trang 28)

1
Sµ,0
(Ω)

không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu các bài
toán chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị (xem trang 57)

1
Hα,0
(0, 1)

không gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu bài toán
chứa toán tử suy biến một chiều (xem trang 88)

Gs

toán tử Grushin (xem trang 9)


hàm đặc trưng của miền ω

⇀

hội tụ yếu

a⊗b

tích tensor giữa hai vectơ a và b


7

MỞ ĐẦU

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao gồm tính điều

khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0, tính điều khiển được xấp xỉ)
đã được nghiên cứu đối với nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và
nửa tuyến tính. Bởi phương pháp duy nhất Hilbert HUM (Hilbert Uniqueness
Method) đề xuất bởi J.-L. Lions (xem [48, 49, 50]), tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán liên hợp tương
ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán liên hợp tương ứng thông
qua các bất đẳng thức quan sát, một trong những công cụ hiệu lực nhất là
các ước lượng kiểu Carleman toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán
nửa tuyến tính được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của

trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử div(A(x)∇u)
với A(x) là ma trận vuông cấp hai đối xứng [25], phương trình parabolic chứa
toán tử Grushin [12], phương trình Kolmogorov [11, 45], và một lớp phương
trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu [65, 66, 67]. Ngoài ra, các kết
quả về tính điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến
tính vẫn còn rất ít. Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Chúng tôi sẽ
chọn những vấn đề này làm đề tài nghiên cứu trong luận án tiến sĩ của mình.


9
2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên cứu tính điều

khiển được của các phương trình parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị trong
trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề
thời sự hiện nay. Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo
hướng nghiên cứu này:
Một trong những lớp phương trình suy biến nhiều chiều được nghiên cứu
mạnh trong vài năm gần đây là lớp phương trình chứa toán tử Grushin
Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ 0.
Toán tử này được đưa ra đầu tiên bởi Grushin trong [41]. Chú ý rằng G0 = ∆
là toán tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền có
giao với mặt x = 0. Đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưng
không là elliptic. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương
trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử này đã được nghiên cứu gần
đây trong cả trường hợp ôtônôm và không ôtônôm (xem, chẳng hạn, [4, 5, 7]).
Tính điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin được

(1)

với các điều kiện biên tương ứng tùy thuộc vào α. Toán tử này có rất nhiều
điều thú vị. Trong trường hợp α = 0 và β = 2, ta có thế vị kì dị dạng nghịch
đảo bình phương mà xuất hiện trong vật lí phân tử, cơ học lượng tử phi tương
đối, vũ trụ học lượng tử hay trong lí thuyết cháy nổ (xem [10, 58] và các tài
liệu trích dẫn trong đó). Thế vị này sinh ra nhiều hiện tượng thú vị và trong
nghiên cứu của Baras và Goldstein [9] chỉ ra rằng: Nghiệm dương tồn tại toàn
cục (với mọi λ ∈ R) nếu β < 2 nhưng trái lại thì nghiệm bùng nổ hoàn toàn
(với mọi giá trị của λ) nếu β > 2. Do đó, số mũ β = 2 là số mũ tới hạn. Điều
đó cho thấy trường hợp có thế vị λ/|x|2 thực sự thú vị. Khi số mũ là tới hạn,
tức là khi β = 2, giá trị của tham số λ sẽ quyết định dáng điệu nghiệm của
phương trình. Thật vậy, cũng trong [9] đã chỉ ra rằng nghiệm dương tồn tại
toàn cục khi λ ≤ 1/4 và nghiệm bùng nổ hoàn toàn khi λ > 1/4. Giá trị tới
hạn 1/4 của tham số λ là giá trị tối ưu trong bất đẳng thức Hardy
∫ 1
∫
1 1 u2
2
dx với mọi u ∈ H01 (0, 1).
ux dx ≥
2
4
x
0
0

(2)

Trong trường hợp toán tử (1) không có kì dị (β = 0), tính điều khiển được về

cứu trong [2, 19, 20, 23, 24, 52, 53]. Trong trường hợp suy biến và có thế vị
kì dị (toán tử cho bởi (1)), tính điều khiển được về 0 mới được Vancostenoble
[62] nghiên cứu cho trường hợp tuyến tính. Tính điều khiển được trong trường
hợp nửa tuyến tính vẫn hoàn toàn mở.
Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng bên cạnh những kết quả
đạt được, tính điều khiển được của các phương trình tiến hóa kiểu parabolic
suy biến hoặc có thế vị kì dị vẫn còn nhiều vấn đề mở. Nói riêng, những vấn
đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử
Grushin trong trường hợp nhiều chiều.
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử
Grushin với thế vị kì dị kiểu Hardy µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều.
• Tính điều khiển được của phương trình parabolic một chiều suy biến với


12
thế vị kì dị trong trường hợp nửa tuyến tính.
Khi nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic tuyến tính
thì tính điều khiển được chính xác thường không đạt được do hiệu ứng trơn
của nghiệm so với dữ kiện ban đầu. Hơn nữa tính điều khiển được về 0 kéo theo
tính điều khiển được xấp xỉ của hệ. Do vậy trong luận án này chúng tôi chỉ
tập trung vào việc nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của những lớp phương
trình trên. Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ xét bài toán khi điều khiển có giá bên
trong miền. Bài toán điều khiển biên đối với lớp phương trình parabolic suy
biến/kì dị là một vấn đề rất phức tạp và mới chỉ có một vài kết quả gần đây
[15, 40].
Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận án
tiến sĩ: "Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic".

3.

Fourier. Bất đẳng thức quan sát được đều sẽ được thiết lập nhờ các bất
đẳng thức Carleman mới tương ứng và các đánh giá phù hợp của tốc độ
tán xạ.
• Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính, chúng
tôi sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất bởi Zuazua: Kết hợp
tính điều khiển được của bài toán tuyến tính hóa tương ứng và các định
lí điểm bất động phù hợp (trong luận án sử dụng định lí Schauder).

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với bài toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa toán tử
Grushin trong trường hợp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển
được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu). Khi s = 1
(suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời
gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian


14
điều khiển quá nhỏ. Chứng minh được tính không điều khiển được về 0
khi s > 1 (suy biến quá mạnh).
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ
lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế
vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều.
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình
parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc
hoàn thiện lí thuyết điều khiển được đối với lớp phương trình parabolic suy



16

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao
gồm: Một số không gian hàm, lí thuyết điều khiển được cho các hệ tuyến tính
trong không gian vô hạn chiều, một số bất đẳng thức thường dùng và một số
kết quả thường dùng.
1.1.

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1.

Một số không gian hàm

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω. Trong luận án này, chúng tôi có
sử dụng các không gian hàm quen thuộc sau (xem, chẳng hạn [1]):
• Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn
(∫
)1/p
∥u∥Lp (Ω) :=
|u|p dx
.
Ω


(|u| + |∇u| )dx
2

2

.

Ω

• H01 (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong chuẩn của H 1 (Ω). Khi Ω là miền
bị chặn thì chuẩn của H01 (Ω) thường dùng là
(∫
∥u∥H01 (Ω) =

)1/2
|∇u| dx
2

.

Ω

• H 2 (Ω) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2 (Ω) có các
đạo hàm suy rộng Dα u ∈ L2 (Ω), |α| ≤ 2, và chuẩn xác định bởi
∥u∥H 2 (Ω)


∫
:= 

i) ∥u∥Lp (0,T ;X) :=
0

∥u(t)∥pX dt

< +∞ với 1 ≤ p < +∞,

ii) ∥u∥L∞ (0,T ;X) := esssup∥u(t)∥X < +∞.
0≤t≤T


18
Khi đó Lp (0, T ; X) là không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p


19
Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được chính xác đến quỹ
đạo tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ nếu với mọi quỹ đạo u (nghiệm của (1.1)
ứng với v và điều kiện ban đầu u(0) = u0 nào đó), mọi u0 ∈ X , tồn tại hàm
điều khiển v ∈ L2 (0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
u(T ) = u(T ).
Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được về 0 tại tại thời điểm
T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0 ∈ X , tồn tại hàm điều khiển v ∈ L2 (0, T ; U)
sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
u(T ) = 0.
Định nghĩa 1.4. Ta nói rằng hệ (1.1) là điều khiển được xấp xỉ tại thời điểm
T > 0 nếu và chỉ nếu, với mọi u0 , u1 ∈ X , và mọi ε > 0, tồn tại hàm điều
khiển v ∈ L2 (0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
∥u(T ) − u1 ∥X < ε.
Nhận xét 1.1. Từ các định nghĩa trên ta có
• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác thì sẽ điều khiển được chính xác đến
quỹ đạo, điều khiển được về 0 và điều khiển được xấp xỉ.
• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác tới quỹ đạo thì điều khiển được về 0.
Nhận xét 1.2. Nếu (1.1) là parabolic đều thì
• Tính điều khiển được chính xác của hệ (1.1) không đạt được vì hiệu ứng
trơn của nghiệm (nghiệm trơn hơn điều kiện ban đầu).
• Tính điều khiển được chính xác đến quỹ đạo của (1.1) tương đương với
tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1).
• Tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1) suy ra tính điều khiển được xấp
xỉ của (1.1).


20
Do đó trong lí thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic

với B ∗ là toán tử liên hợp của B.
Từ Bổ đề 1.1, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1. [39, Chương 1] Hàm v là điều khiển mà chuyển trạng thái của
hệ (1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 ∈ L2 tại thời điểm T > 0 nếu và chỉ
nếu, với mọi φT ∈ L2 , ta có
⟨u1 , φT ⟩L2 − ⟨u0 , φ(0)⟩L2 =

∫

T

0

ở đó φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .

⟨v(t), B ∗ φ(t)⟩L2 (ω) dt,


21
Xét J : φT ∈ L2 → J(φT ) xác định bởi
∫
1 T
J(φT ) =
∥B ∗ φ(t)∥2L2 (ω) dt − ⟨u1 , φT ⟩L2 + ⟨u0 , φ(0)⟩L2 ,
2 0
với φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .
Bổ đề 1.2. [39, Chương 1] Nếu J có cực tiểu φT , thì khi đó v := B ∗ φ, ở đó
φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT , là điều khiển mà chuyển trạng thái của
(1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 tại thời điểm T > 0.
Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng hệ liên hợp (1.2) quan sát được (trạng thái φ(0)

2
∗
|∇u| dx ≥ µ
RN

RN

|u|2
dx,
|x|2

∀u ∈ C0∞ (RN ),

(1.3)


22
ở đó µ∗ = (N − 2)2 /4.
Bổ đề 1.4. Với mọi miền Ω bị chặn trong RN , N ≥ 3, ta có
∫
∫
|u|2
2
∗
|∇u| dx ≥ µ
dx, ∀u ∈ H01 (Ω).
2
|x|
Ω
Ω

∫ (
µ∗ 2
2
|∇u| − 2 u dx ≥ C(q, Ω)∥u∥2W 1,q (Ω) ,
|x|
Ω

∀u ∈ H01 (Ω).

• Bất đẳng thức Hardy đối với toán tử Grushin.
Bổ đề 1.7. [3, Định lí 3.3] Với mọi miền mở bị chặn Ω = Ω1 × Ω2 ⊂ RN1 ×
RN2 , N1 ≥ 3, N2 ≥ 1, ta có
∫
∫
(
)
2
2s
2
∗
|∇x u| + |x| |∇y u| dxdy ≥ µ (N1 )
Ω

Ω

u2
dxdy, ∀u ∈ H01 (Ω),
|x|2

(1.4)

≥
4

1

u2
x2−α

0

dx

(1.6)

với mọi u ∈ C0∞ (0, 1).
Hằng số λ(α) = (1 − α)2 /4 là hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức (1.6).
Bổ đề 1.10. [62, Định lí 2.1] Cho α ∈ [0, 2) cố định. Với mọi n > 0 và
0 < γ < 2 − α, tồn tại hằng số C0 = C0 (α, γ, n) > 0 sao cho, với mọi
u ∈ C0∞ (0, 1), ta có bất đẳng thức:
∫

∫

1

xα u2x dx
0

∫



Ở đây C0 (α, γ, n) được cho tường minh là
C0 (α, γ, n) = (n + 1)
1.3.2.

2−α+γ
2−α−γ

2−α−γ
2−α+γ

(

4γ
(2 − α)2 − γ 2

2γ
) 2−α−γ

.

Một số bất đẳng thức sơ cấp

Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp quan trọng được sử dụng nhiều.
• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤

b2
a2
+ .