TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ BÍCH VIỆT

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
Th.s Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths Nguyễn Trung Dũng người đã tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa. Ngoài ra, trong quá trình thực hiện
khóa luận em còn nhận được rất nhiều sự động viên và giúp đỡ từ phía gia
đình, người thân và các bạn trong lớp.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện đề tài khóa luận này.
Xuân Hòa, tháng 05 năm 2015
Sinh viên


3

1.1.1. Hệ điều khiển có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
4

1.2. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Điều khiển H∞ độc lập và phụ thuộc trễ thời gian . . .

10

2.1. Điều khiển H∞ độc lập với trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Điều khiển H∞ phụ thuộc trễ thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3. Mục đích - yêu cầu
[1] Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng của
giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
[2] Nắm bắt được các nội dung cơ bản của lý thuyết (các khái niệm, các
tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng dụng...).
4. Đối tượng nghiên cứu.
Bài toán điều khiển H∞ và Lý thuyết điều khiển H∞ .
5. Phạm vi nghiên cứu
[1]. Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự thu thập và tìm hiểu thêm.
[2]. Thời gian thực hiện khóa luận.
[3]. Nơi thực tập khóa luận.

1


6. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.

2


Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
1.1.

Một số khái niệm

1.1.1.

h,t0 + A] nếu tồn tại t0 ∈ R, A > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h,t0 + A], Rn ), (t, xt ) ∈
D và x(t) thỏa mãn (1.1.1) với mọi t ∈ [t0 ,t0 + A]. Với t0 ∈ R, φ ∈ C , ta nói
x(t0 , φ ) là nghiệm của phương trình (1.1.1) với giá trị ban đầu φ tại thời điểm
ban đầu t0 (nghiệm đi qua điểm (t0 ,φ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(t0 ,φ ) là
một nghiệm của phương trình (1.1.1) trên [t0 − h,t0 + A] và xt0 (t0 ,φ ) = φ .
Khi t0 đã rõ, ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 ,φ )(t).

1.1.3.

Khái niệm ổn định

Giả thiết rằng hàm F(.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm
(t0 , φ ) ∈ R+ × C hệ (1.1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , φ ) và xác
định trên [t0 , ∞). Ta cũng giả thiết F(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.1.1) có nghiệm
không. Khi đó ta có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.1.1).
Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm không của hệ (1.1.1) được gọi là ổn định nếu với
mọi ε > 0,t0 0, tồn tại δ = δ (t0 , ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ )
của (1.1.1), nếu φ < δ thì x(t, φ ) < ε, ∀t t0 . Nếu δ không phụ thuộc
t0 thì nghiệm x ≡ 0 gọi là ổn định đều.
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm không của hệ (1.1.1) được gọi là ổn định tiệm
cận nếu nó ổn định và với mỗi t0 0, tồn tại δ0 = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với
mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1.1), nếu φ < δ0 thì lim x(t, φ ) = 0.
t→+∞

1.1.4.

Hàm Lyapunov

Định nghĩa 1.1.3. [Lớp hàm K ]
Cho hàm φ ∈ [R+ , R+ ], R+ := [0; +∞) hoặc φ ∈ C[[0, h], R+ ]. Khi đó, φ

• Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V : R × C → R sao cho
u( φ (0) )

V (t, φ )

v( φ c )

và
V˙ (t, φ )

−w( φ (0) )

thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều, và w(s) > 0, ∀s > 0, thì
nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = ∞ thì
s→∞

nghiệm không của (1.1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Định lý 1.1.2. [Định lí Razumikhin]
Giả sử f: R+ × C → Rn biến mỗi tập R+ × B (B là tập bị chặn trong C )
thành tập bị chặn trong Rn ; và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục không
5


giảm, u(s) và v(s) dương ∀s > 0, u(0) = v(0) = 0, và v tăng ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R+ × Rn → R sao cho
(i) u( x ) V (t, x) v( x ), ∀x ∈ Rn ,t 0
(ii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ), khiV (t + θ , x(t + θ )) V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0]
thì nghiệm không của (1.1.1) là ổn định đều.


M

0

ν

w(s)ds
0

ν

wT (s)Mw(s)ds.

0

Bổ đề 1.2.3. Giả sử A, E, H là các ma trận bất kì với số chiều thích hợp và
F thỏa mãn điều kiện F T F I. Khi đó, với mọi ε > 0 và ma trận P đối xứng
xác định dương, ta có
(i) EFH + H T F T E T εEE T + ε −1 H T H.
(ii) Nếu εI − HPH T > 0 thì
(A + EFH)P(A + EFH)T

APAT + εEE T + APH T (εI − HPH T )−1 HPAT .
6


(iii) Nếu P − εEE T > 0 thì
(A + EFH)T P−1 (A + EFE)



Y = XL2



Z − L2 XL2 ≥ 0
trong đó L1 , L2 tùy ý và có số chiều phù hợp.
• M xác định dương nếu và chỉ nếu một trong hai điều sau đúng

Z > 0
X −Y Z −1Y > 0
hoặc

X > 0
Z −Y X −1Y > 0
7


Bổ đề 1.2.5. [Bổ đề A.1]
Cho X,Y là các ma trận thực với số chiều phù hợp. Khi đó
1
X Y +Y X ≤ εX X + Y Y
ε
đúng với mọi ε > 0.

1.3.

Bài toán điều khiển H∞

Các hệ thực tiễn luôn chịu tác động của các yếu tố bên ngoài (còn gọi

sup
2
0=w(t)∈L2 [0,∞] ||w(t)||2

8


Định nghĩa 1.3.1. Một bộ điều khiển {u(t),t ≥ 0} được gọi là một bộ điều
khiển phản hồi trạng thái không nhớ nếu nó có thể được biểu diễn là u(t) =
Kx(t),t ≥ 0, trong đó K là một ma trận hằng số.
Định nghĩa 1.3.2. Hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 được cho là ổn định bên trong
nếu nó là ổn định khi w(t) ≡ 0.
Bài toán điều khiển H∞ bao gồm việc lựa chọn một bộ điều khiển u(.)
đảm bảo rằng hệ đóng là ổn định bên trong và đồng thời thỏa mãn
||z(.)||2 < γ||w(.)||2 ,
với γ là một hằng số dương.

9

(1.3.3)


Chương 2

Điều khiển H∞ độc lập và
phụ thuộc trễ thời gian
2.1.

Điều khiển H∞ độc lập với trễ thời gian


V (xt ) = x (t)Px(t) +
10

x (s)Qx(s)ds.
t−τ

(2.1.2)


Khi đó, theo (1.3.2) ta có
V˙ (xt ,t) = x (t) PA + A (t) x(t) + 2x (t)PAd x(t − τ)

(2.1.3)

+ 2x (t)PB1 w(t) + x (t)Qx(t) − x (t − τ)Qx(t − τ).
Từ (2.1.1) ta có
A P + PA + Q
Ad P

PAd
−Q

< 0,

điều này chứng tỏ hệ ổn định bên trong.
Với T > 0 bất kì, ta định nghĩa một hàm JT như sau
T

JT =


T

≤
0

z (s)z(s) − γ 2 w (s)w(s) + V˙ (xt ) ds.

Vì vậy, để chứng minh (1.3.3) ta cần chỉ ra JT < 0 với mọi T > 0. Từ
(2.1.3)
T
0

z (s)z(s) − γ 2 w (s)w(s) + V˙ (xs ) ds ≤

T
0

ξtT Θ0 ξt dt

với
ξtT = x (t)


Θ0 = 

w (t)

PA + A P + Q +C1 C1
B1 P + D11C1
Ad P


Chú ý rằng Θ1 có thể được viết lại như sau

PA + A P + Q

Θ1 = 
+ PAd Q−1 Ad P
B1 P
+

C1
D11

C1


PB1 

−γ 2 I

(2.1.4)

D11 < 0.

Sử dụng Bổ đề Schur, ta thấy rằng (2.1.1) tương đương với (2.1.4). Từ lập
luận ở trên, thì nếu tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương P, Q thỏa mãn
(2.1.1), thì thỏa mãn (2.1.4), nghĩa là JT < 0 với mọi T > 0 . Do đó, ta có
∞

J∞ =

C1
D11
−I
0

P>0,Q>0,µ>0

thỏa mãn

A P + PA + Q

B1 P



C1
Ad P


PAd
0 

 < 0,
0 
−Q

Khi đó (1.3.2) với u(t) ≡ 0 là ổn định tiệm cận và
||z(.)||2

A¯ P + PA¯ + Q PB1 C¯1 PAd

B1 P
−γ 2 I D11
0 


(2.1.6)



C1 X + D12Y
X

B1
−γ 2 I
D11
0

XC1 +Y D12
D11
−I
0


X
0 


Ad =

1
0


1 0


C1 = 0 1
0 0
 
1
 
D11 = 0
0

1
1

B=

B1 =

C2 = 1
 
0
 
D12 = 0
1


ổn định hóa hệ đang xét và hệ đóng với mức γ = 1.3274.

2.2.

Điều khiển H∞ phụ thuộc trễ thời gian

Các kết quả ở mục trước là độc lập với trễ thời gian của hệ, điều này có
nghĩa là các kết quả đúng với bất kì trễ thời gian nào. Đây chính là sự bảo
thủ (conservative) của các tiêu chuẩn đã xét. Trong mục này, chúng ta sẽ
15


trình bày bài toán điều khiển H∞ phụ thuộc vào trễ thời gian. Định lí dưới
đây thiết lập một điều kiện đủ phụ thuộc vào trễ thời gian kiểm tra hệ (1.3.2)
có ổn định và thỏa mãn (1.3.3) không.
Định lý 2.2.1. Với γ > 0 là một hằng số cho trước. Nếu tồn tại các ma trận
đối xứng, dương xác định X , Q1 , Q2 , Q3 thỏa mãn


#
B1
XC1
A


−γ 2 I




XAd

Ad


0
1
τ Q2
0

0

0 ,
1
τ Q3

thì hệ (1.3.2) với u(t) ≡ 0 là ổn định và thỏa mãn (1.3.3).
Chứng minh. Chúng ta có
t

x(t − τ) = x(t) −

x(s)ds.
˙
t−τ

Thay (1.3.2) với u(t) ≡ 0 vào công thức trên ta được
t

x(t − τ) = x(t) −



x(t) = 0, ω(s) = 0, s ∈ [−2τ, 0] .
(2.2.3)
16


Định nghĩa xt ∈ C [−2τ, 0] với xt (s) = x(t + s), s ∈ [−2τ, 0] và xét phiếm
hàm Lyapunov sau:
V (xt ) = V0 (xt ) +V1 (xt ),
(2.2.4)
với
V0 (xt ) = x (t)Px(t)
0

V1 (xt ) =

t

−τ t+θ
t

0

+
−τ t−τ+θ
0

+
−τ t+θ

t−τ

+2x (t)PB1 w(t).
(2.2.6)
Dựa trên Bổ đề A.1 (Bổ đề 1.2.5), tương ứng, ta được,
t

−2x (t)PAd A

t−τ

x(s)ds ≤ τx (t)PAd Q1 Ad Px(t)
(2.2.7)

t

+

x (s)A
t−τ

Q−1
1 Ax(s)ds

t

−2x (t)PAd Ad

t−τ


w (s)B1 Q3 B1 w(s)ds.


Hơn nữa, tính toán đơn giản ta được
t

V˙1 (xt ) = τx (t)A Q−1
1 Ax(t) −
+τx (t)Ad Q−1
2 Ad x(t) −

t
t−τ

t−τ

x (s)A Q−1
1 Ax(s)ds

x (s − τ)Ad Q−1
2 Ad x(s − τ)ds

(2.2.10)

t

+τω (t)B1 Q3 B1 ω(t) −

t−τ


0

T

2

z (t)z(t) − γ w (t)w(t) + V˙ (xt ) dt −
T

=
0

0

V˙ (xt )dt

z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) + V˙ (xt ) dt −V (xT )
T

≤
0

(2.2.12)

z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) + V˙ (xt ) dt.

Theo (2.2.11), chúng ta có
˜
z (t)z(t) − γ 2 w (t)w(t) + V˙ (xt ) ≤ x (t) w (t) Θ
18


˜ = 
Θ
 +τA Q−1 A 
d

d 2


−1
 +τPAd Q3 Ad P


+C1 C1



B1 P + D11C1

PB1 +C1 D11

τB1 Q3 B1
+D11 D11 − γ 2 I

˜ với diag {X, I} ta được
Đặt X = P−1 . Nhân cả 2 vế Θ


[A + Ad ] X


d 2


−1
 +τXAd Q3 Ad X 


+XC1 C1 X


τB1 Q3 B1

B1 + D11C1 X
+D11 D11 − γ 2 I

















Q1 , Q2 và Q3 thỏa mãn (2.2.1), thì P = X −1 > 0, Q1 > 0, Q2 > 0, Q3 > 0
˜ < 0, có nghĩa là JT < 0 với bất kỳ T > 0. Định lý 2.2.1 đã được
thỏa mãn Θ
chứng minh.
Dựa vào Định lý 2.2.1, chúng ta thiết kế một bộ điều khiển không nhớ
u(t) = Kx(t) ổn định hóa hệ (1.3.2) và đảm bảo hệ đóng thỏa mãn (1.3.3).

19


Thay u(t) = Kx(t) vào (1.3.2), chúng ta có được hệ đóng sau:
¯
x(t)
˙ = Ax(t)
+ Ad x(t − τ) + B1 w(t)

(2.2.15)

z(t) = C¯1 x(t) + D11 w(t)

(2.2.16)

với A¯ = A + BK, C¯1 = C1 + D12 K.
Theo Định lý 2.2.1, chúng ta thấy rằng nếu tồn tại các ma trận đối xứng,
xác định dương X, Ql , Q2 , Q3 thỏa mãn



A¯ + Ad X


0 
2


−γ
I





C¯1 X
D11
−I
0 
A
0
0
−Q
trong đó
A = X A¯
và



1
τ Q1


Q= 0


 B1
D
0
11
2



H13
H14

B1
τB1 Q3 B1
−ρI

H13
D11
−I
0

D11
0

H14





0 
 < 0,


0 
−Q

thì hệ đóng (1.3.2) dưới điều khiển u(t) = Kx(t), K = Y X −1 là ổn định