7

MỞ ĐẦU

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao gồm tính điều

khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0, tính điều khiển được xấp xỉ)
đã được nghiên cứu đối với nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và
nửa tuyến tính. Bởi phương pháp duy nhất Hilbert HUM (Hilbert Uniqueness
Method) đề xuất bởi J.-L. Lions (xem [48, 49, 50]), tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán liên hợp tương
ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán liên hợp tương ứng thông
qua các bất đẳng thức quan sát, một trong những công cụ hiệu lực nhất là
các ước lượng kiểu Carleman toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán
nửa tuyến tính được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của
bài toán tuyến tính hóa tương ứng và phương pháp điểm bất động đề xuất lần
đầu tiên bởi Zuazua [68, 69] cho phương trình truyền sóng nửa tuyến tính.
Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều là
lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng phương trình truyền nhiệt
cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic xuất hiện trong hóa học, sinh học và
trong cơ học chất lỏng. Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình
parabolic đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng hai
thập niên gần đây. Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov và Imanuvinov [37, 43], Lebeau và Robbiano [46] bằng công cụ ước lượng Carleman,
đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu về các tính chất điều khiển được của
các phương trình parabolic không suy biến với các hệ số biến thiên. Các kết


8

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên cứu tính điều

khiển được của các phương trình parabolic suy biến hoặc có thế vị kì dị trong
trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề
thời sự hiện nay. Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo
hướng nghiên cứu này:
Một trong những lớp phương trình suy biến nhiều chiều được nghiên cứu
mạnh trong vài năm gần đây là lớp phương trình chứa toán tử Grushin
Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ 0.
Toán tử này được đưa ra đầu tiên bởi Grushin trong [41]. Chú ý rằng G0 = ∆
là toán tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền có
giao với mặt x = 0. Đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưng
không là elliptic. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương
trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử này đã được nghiên cứu gần
đây trong cả trường hợp ôtônôm và không ôtônôm (xem, chẳng hạn, [4, 5, 7]).
Tính điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin được
nghiên cứu đầu tiên trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard, Cannarsa và
Guglielmi [12]. Xem thêm kết quả gần đây trong [14]. Tuy nhiên, tính điều
khiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều vẫn còn
nhiều vấn đề mở.
Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp phương
trình parabolic chứa toán tử Laplace với thế vị kì dị: Aµ = −∆ − µ/|x|2 . Các
kết quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của
phương trình parabolic chứa tử Aµ đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học
(xem [8, 9, 16, 64] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong khi đó, tính điều
khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã nhận được trong
các công trình của Vancostenoble-Zuazua [63] và Ervedoza [30] cho trường hợp



toàn cục khi λ ≤ 1/4 và nghiệm bùng nổ hoàn toàn khi λ > 1/4. Giá trị tới
hạn 1/4 của tham số λ là giá trị tối ưu trong bất đẳng thức Hardy
∫ 1
∫
1 1 u2
2
dx với mọi u ∈ H01 (0, 1).
ux dx ≥
2
4
x
0
0

(2)

Trong trường hợp toán tử (1) không có kì dị (β = 0), tính điều khiển được về
0 khi α ∈ [0, 2), (khi α ≥ 2, tính không điều khiển được về 0 được chứng minh


11
trong [22]), được chứng minh trong [24] mà công cụ chính là đi thiết lập ước
lượng Carleman dựa trên bất đẳng thức Hardy sau
∫ 1
∫
(1 − α)2 1 u2
α 2
x ux dx ≥
dx, với mọi u ∈ C0∞ (0, 1).
2−α



12
thế vị kì dị trong trường hợp nửa tuyến tính.
Khi nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic tuyến tính
thì tính điều khiển được chính xác thường không đạt được do hiệu ứng trơn
của nghiệm so với dữ kiện ban đầu. Hơn nữa tính điều khiển được về 0 kéo theo
tính điều khiển được xấp xỉ của hệ. Do vậy trong luận án này chúng tôi chỉ
tập trung vào việc nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của những lớp phương
trình trên. Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ xét bài toán khi điều khiển có giá bên
trong miền. Bài toán điều khiển biên đối với lớp phương trình parabolic suy
biến/kì dị là một vấn đề rất phức tạp và mới chỉ có một vài kết quả gần đây
[15, 40].
Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận án
tiến sĩ: "Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic".

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích luận án: Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp nhiều chiều, phương
trình parabolic chứa toán tử Grushin có thế vị kì dị trong trường hợp
nhiều chiều, phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến
có thế vị kì dị.
• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán điều khiển đối với lớp phương trình
parabolic chứa toán tử Grushin không có hoặc có thế vị kì dị trong
trường hợp nhiều chiều và lớp phương trình parabolic một chiều nửa
tuyến tính suy biến có thế vị kì dị.
• Phạm vi nghiên cứu:
◦ Nội dung 1: Bài toán điều khiển được đối với phương trình parabolic

• Đối với bài toán điều khiển cho phương trình parabolic chứa toán tử
Grushin trong trường hợp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển
được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu). Khi s = 1
(suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời
gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian


14
điều khiển quá nhỏ. Chứng minh được tính không điều khiển được về 0
khi s > 1 (suy biến quá mạnh).
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ
lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế
vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều.
• Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình
parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào việc
hoàn thiện lí thuyết điều khiển được đối với lớp phương trình parabolic suy
biến không có/có thế vị kì dị.
Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp
chí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI) và đã được báo cáo tại:
• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VIII, Nha Trang, 08/2013;
• Hội thảo quốc tế "On Equilibrium and Fixed Point Problems Theory
and Algorithms", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 25-26/08/2014;
• Hội thảo quốc tế "Some Selected Problems in Optimization and Control
Theory", Viện NCCC về Toán, Hà Nội, 04-07/02/2015;
• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XIII, Ba Vì, 23-25/04/2015;
• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội;
• Xêmina của Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam;


MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM

1.1.1.

Một số không gian hàm

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω. Trong luận án này, chúng tôi có
sử dụng các không gian hàm quen thuộc sau (xem, chẳng hạn [1]):
• Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn
(∫
)1/p
∥u∥Lp (Ω) :=
|u|p dx
.
Ω

Chú ý rằng Lp (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞;
Không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
∫
(u, v) =
u.vdx,
Ω

và chuẩn là ∥ · ∥L2 (Ω) = (u, u)1/2 .
• L∞ (Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp trên Ω với chuẩn
∥u∥∞ := esssup|u(x)|.
Ω

∥u∥H01 (Ω) =

)1/2
|∇u| dx
2

.

Ω

• H 2 (Ω) là không gian Hilbert bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2 (Ω) có các
đạo hàm suy rộng Dα u ∈ L2 (Ω), |α| ≤ 2, và chuẩn xác định bởi
∥u∥H 2 (Ω)


∫
:= 

2
∑

1/2
|Dα u|2 dx

.

Ω |α|=0

1.1.2.


+∞. Không gian đối ngẫu của Lp (0, T ; X) là Lq (0, T ; X ′ ) với 1/p+1/q =
1 và X ′ là không gian đối ngẫu của X.
• Với X là không gian Banach, ta định nghĩa H 1 (0, T ; X) là không gian
Banach bao gồm các hàm u ∈ L2 (0, T ; X) sao cho tồn tại đạo hàm suy
rộng ∂t u ∈ L2 (0, T ; X) với chuẩn
(∫

T

∥u∥H 1 (0,T ;X) :=

)1/2
(∥u(t)∥2X + ∥u′ (t)∥2X )dt

< +∞.

0

1.2.

LÍ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH TRONG
KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Trong phần này chúng tôi trình bày một số kết quả của lí thuyết điều khiển
được của hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều (có thể xem trong một
số cuốn sách chuyên khảo [27, 39]):


∂t u = Au + Bv,


khiển v ∈ L2 (0, T ; U) sao cho bài toán (1.1) có nghiệm u thỏa mãn:
∥u(T ) − u1 ∥X < ε.
Nhận xét 1.1. Từ các định nghĩa trên ta có
• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác thì sẽ điều khiển được chính xác đến
quỹ đạo, điều khiển được về 0 và điều khiển được xấp xỉ.
• Hệ (1.1) điều khiển được chính xác tới quỹ đạo thì điều khiển được về 0.
Nhận xét 1.2. Nếu (1.1) là parabolic đều thì
• Tính điều khiển được chính xác của hệ (1.1) không đạt được vì hiệu ứng
trơn của nghiệm (nghiệm trơn hơn điều kiện ban đầu).
• Tính điều khiển được chính xác đến quỹ đạo của (1.1) tương đương với
tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1).
• Tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1) suy ra tính điều khiển được xấp
xỉ của (1.1).


20
Do đó trong lí thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic
tuyến tính, người ta đặc biệt quan tâm đến bài toán điều khiển được về 0.
1.2.2.

Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM)

Ta xét bài toán điều khiển (1.1). Để cho đơn giản ta giả sử X = L2 , U =
L2 (ω), V = L2 , với ω là miền con mở khác rỗng của miền không gian tương
ứng.
Để nghiên cứu tính điều khiển được của bài toán (1.1), ta sử dụng phương
pháp duy nhất Hilbert (HUM) do J.-L. Lions sử dụng đầu tiên vào năm 1988
(xem [48, 49, 50]).
Ta xét bài toán liên hợp của Bài toán (1.1):


ở đó φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .

⟨v(t), B ∗ φ(t)⟩L2 (ω) dt,


21
Xét J : φT ∈ L2 → J(φT ) xác định bởi
∫
1 T
J(φT ) =
∥B ∗ φ(t)∥2L2 (ω) dt − ⟨u1 , φT ⟩L2 + ⟨u0 , φ(0)⟩L2 ,
2 0
với φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT .
Bổ đề 1.2. [39, Chương 1] Nếu J có cực tiểu φT , thì khi đó v := B ∗ φ, ở đó
φ là nghiệm của (1.2) liên kết với φT , là điều khiển mà chuyển trạng thái của
(1.1) từ trạng thái ban đầu u0 đến u1 tại thời điểm T > 0.
Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng hệ liên hợp (1.2) quan sát được (trạng thái φ(0)
là quan sát được bởi B ∗ tại thời điểm T > 0) nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho với mọi φT ∈ L2 , nghiệm φ của (1.2) thỏa mãn
∫ T
2
∥φ(0)∥L2 ≤ C
∥B ∗ φ(t)∥2L2 (ω) dt.
0

Mệnh đề 1.1. [39, Chương 1] Tính quan sát được của (1.2) tương đương với
tính điều khiển được về 0 của hệ (1.1).
Nhận xét 1.3. Một cách khác để chứng minh tính quan sát được suy ra tính
điều khiển được về 0 bằng cách xét phiếm hàm
∫

(1.3)


22
ở đó µ∗ = (N − 2)2 /4.
Bổ đề 1.4. Với mọi miền Ω bị chặn trong RN , N ≥ 3, ta có
∫
∫
|u|2
2
∗
|∇u| dx ≥ µ
dx, ∀u ∈ H01 (Ω).
2
|x|
Ω
Ω
Tiếp theo là những bất đẳng thức Hardy mở rộng.
Bổ đề 1.5. [16] Cho Ω là miền mở, bị chặn trong RN , N ≥ 3. Khi đó tồn tại
hằng số C(Ω) > 0 sao cho với mọi u ∈ H01 (Ω)
)
∫
∫ (
µ∗ 2
2
u2 dx,
|∇u| − 2 u dx ≥ C(Ω)
|x|
Ω
Ω

∫
(
)
2
2s
2
∗
|∇x u| + |x| |∇y u| dxdy ≥ µ (N1 )
Ω

Ω

u2
dxdy, ∀u ∈ H01 (Ω),
|x|2

(1.4)

ở đó µ∗ (N1 ) = (N1 − 2)2 /4.
• Một số bất đẳng thức kiểu Hardy trong trường hợp một chiều.
Đầu tiên là bất đẳng thức Hardy cổ điển.
Bổ đề 1.8. [42] Với mọi u ∈ H01 (0, 1), ta có
∫ 1
∫
1 1 u2
2
ux dx ≥
dx.
4 0 x2
0


với mọi u ∈ C0∞ (0, 1).
Hằng số λ(α) = (1 − α)2 /4 là hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức (1.6).
Bổ đề 1.10. [62, Định lí 2.1] Cho α ∈ [0, 2) cố định. Với mọi n > 0 và
0 < γ < 2 − α, tồn tại hằng số C0 = C0 (α, γ, n) > 0 sao cho, với mọi
u ∈ C0∞ (0, 1), ta có bất đẳng thức:
∫

∫

1

xα u2x dx
0

∫

1

1

u dx ≥ λ(α)

+ C0
0

0

∫


4γ
(2 − α)2 − γ 2

2γ
) 2−α−γ

.

Một số bất đẳng thức sơ cấp

Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp quan trọng được sử dụng nhiều.
• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤

b2
a2
+ .
2
2

• Bất đẳng thức Cauchy với ϵ:
ab ≤ ϵa2 +

b2
,
4ϵ

(ϵ > 0).

• Bất đẳng thức Young: Cho 1 < p, q < ∞,

|uv|dx ≤ ∥u∥Lp (Ω) · ∥v∥Lq (Ω) .
Ω

• Bất đẳng thức Gronwall ([59, Chương 2, tr. 54-55]): Với hàm liên tục
tuyệt đối y(t) trên [0, T ] và thỏa mãn
dy
≤ a(t)y + b(t),
dt

với hầu khắp t ∈ [0, T ],

trong đó a(t) và b(t) là các hàm khả tích trên [0, T ]. Khi đó
∫ t
A(t)
y(t) ≤ y(0)e
+
eA(t)−A(s) b(s)ds,
0

với 0 ≤ t ≤ T , ở đó

∫

t

A(t) =

a(r)dr.
0


• Đẳng thức Bessel-Parseval:
Định lí 1.3. [51, p254] Giả sử H là không gian Hilbert tách được với
tích vô hướng ⟨·, ·⟩. Với {en }n∈N∗ là một cơ sở trực giao của H. Khi đó
ta có đẳng thức Bessel-Parseval:
∥x∥2H

=

∞
∑

| ⟨x, en ⟩ |2 .

n=1

• Công thức tọa độ cầu trong không gian RN , N ≥ 3:
Với x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN . Khi đó tọa độ cầu (ρ, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN −1 )
của x được cho bởi:




x1 = ρ cos ϕ1 ,








PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của
phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều
chiều. Đầu tiên, chúng tôi đặt bài toán và phát biểu kết quả chính của chương.
Sau đó, chúng tôi đi chứng minh các kết quả bổ trợ bao gồm: tính đặt đúng
của bài toán, khai triển Fourier, đánh giá tốc độ tán xạ, và đặc biệt là việc
thiết lập bất đẳng thức Carleman mới. Tiếp theo, sử dụng phương pháp HUM,
khai triển Fourier, các đánh giá về tốc độ tán xạ và bất đẳng thức Carleman
mới vừa thiết lập, việc chứng minh tính điều khiển được đưa về tính quan sát
được đều đối với tần số của hệ số Fourier của hệ liên hợp sau khi đã biến đổi
Fourier. Tính không điều khiển được về 0 trong trường hợp suy biến quá mạnh
được chứng minh trong phần cuối của chương.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình
đã công bố.
2.1.

ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của

phương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử Grushin sau:



ut − ∆x u − |x|2s ∆y u = v(x, y, t)1ω ,



u = 0,


(N1 − 1)/N1
1 và ω = (a, b)N1 × (0, 1)N2 , trong đó

√
(N1 − 1)/N1 < a < b ≤

1, thì bài toán (2.1) không điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0.
Tính điều khiển được về 0 của bài toán (2.1) đã được nghiên cứu gần đây
bởi Beauchard, Cannarsa và Guglielmi [12] trong trường hợp hai chiều, tức
là khi N1 = N2 = 1 và miền xét phương trình có dạng Ω = (−1, 1) × (0, 1).
Chứng minh dựa trên cấu trúc hình học đặc biệt của Ω, tính điều khiển được
liên kết chặt chẽ với tính quan sát được một chiều của các hệ số Fourier của
hệ liên hợp, đều đối với tần số Fourier. Mục đích của chương này là mở rộng
kết quả đó sang trường hợp hình hộp nhiều chiều.


28
Ở đây ta dùng lược đồ chứng minh được sử dụng trong [12], tuy nhiên việc
tính toán phức tạp hơn nhiều vì ta làm việc trong trường hợp nhiều chiều. Nói
riêng là ta phải sử dụng lí thuyết chuỗi Fourier cho các hàm nhiều biến. Hơn
nữa, một số khó khăn thiết yếu mới xuất hiện, mà không có trong trường hợp
hai chiều, khi ta thiết lập bất đẳng thức Carleman mới. Đây là công cụ chủ
yếu dùng trong chứng minh. Để vượt qua khó khăn này, bên cạnh việc chọn
hàm trọng thích hợp σ(x, t), ta sử dụng hằng số λ trong (2.15) dưới đây và
khai thác một số kĩ thuật được sử dụng trong chứng minh Bổ đề 5.2 trong
[32]. Các kết quả nhận được, nói riêng, là mở rộng kết quả đã có trong trường
hợp hai chiều, và trả lời câu hỏi mở được đưa ra trong [12, Sect. 5].

u ∈ L2 (0, T ; S01 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)), ∂t u ∈ L2 (0, T ; S −1 (Ω)), u(0) = u0 và
∫∫
∫∫
(
)
ut φdxdydt +
∇x u · ∇x φ + |x|2s ∇y u · ∇y φ dxdydt
Ω×(0,T )

Ω×(0,T )

∫∫
=
Ω×(0,T )

với mọi hàm thử φ ∈ L2 (0, T ; S01 (Ω)).

v1ω φdxdydt,


29
Sử dụng phương pháp Galerkin, ta có kết quả sau (xem, chẳng hạn [4]).
Định lí 2.2. Với mọi u0 ∈ L2 (Ω) và v ∈ L2 (ω × (0, T )) cho trước, bài toán
(2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u thỏa mãn
∥u∥2C([0,T ];L2 (Ω)) + ∥u∥2L2 (0,T ;S 1 (Ω)) ≤ C(∥u0 ∥2L2 (Ω) + ∥v∥2L2 (ω×(0,T )) ),
0

ở đó C là hằng số dương không phụ thuộc vào u0 và v.
2.2.2.





− ∆x uα + (|α|π)2 |x|2s uα = vα 1ω


∂t

uα = 0





uα (x, 0) = u0,α (x)
với u0,α (x) =

∫
Ω2

u0 (x, y)φα (y)dy và vα (x, t) =

trong Ω1 × (0, T ),
trên ∂Ω1 × (0, T ),

(2.3)

trong Ω1 ,
∫
Ω2

λα,s := min
| φ ∈ H01 (Ω1 ) \ {0} .
2
|φ| dx
Ω1
Khi đó dáng điệu (khi |α| → +∞) của λα,s cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2. Với mọi s > 0, tồn tại c∗ = c∗ (s) > 0 và c∗ = c∗ (s) > 0 sao
cho
c∗ |α| 1+s ≤ λα,s ≤ c∗ |α| 1+s ∀α ∈ (N∗ )N2 .
2

2

(2.4)

Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề theo các bước trong [12, Mệnh đề 4].
1

Đầu tiên, ta chứng minh chặn dưới. Đặt αs := |α| 1+s . Đổi biến
N1

N1

φ(x) = αs 2 ϕ(αs x) = αs 2 ϕ(y),
ta có
{∫

(

λα,s = inf

(
RN1

|∇y ϕ(y)| + π |y| |ϕ(y)|
2

2

2s

2)

dy | ϕ ∈

C0∞ (RN1 ),

}
∥ϕ∥L2 (RN1 ) = 1 .


31
Tiếp theo, ta chứng minh chặn trên trong Mệnh đề 2.2. Với mọi k > 0 ta xét
hàm
φk (x) =



1 − k|x|

0

|x|2 dx.

Sử dụng phép đổi biến trong tọa độ cầu (xem (1.8)), ta có
∫
CN
dx = N11
k
|x|≤1/k
trong đó

 N1 /2
π


 ( N1 )
2 ! N −1
=
N1 +1
1


2 2 π 2
N1 !!

CN1

Và

∫
−2k


(0,π)N1 −2

sinN1 −2 ϕ1 sinN1 −3 ϕ2 . . . sin ϕN1 −2 dϕ1 dϕ2 · · · dϕN1 −2 .
∫
|φk (x)|2 dx = C1,N1
Ω1

với

(
C1,N1 := CN1 − π

1

(2.5)

k N1

4
2
−
N1 + 1 N1 + 2

)
CN1 > 0.