SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG
GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC CHƯƠNG TRÌNH THPT.
Người thực hiện: Ngô Thị Thủy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2013.
1
A- ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa
vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết
sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn
hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu
sắc mối quan hệ đó là công thức
01
iπ
e =+
). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới
và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do
những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên
có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn
người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức
đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây
dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.
Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán ''ỨNG DỤNG CỦA SỐ
PHỨC TRONG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC" trên cơ sở khai thác
tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.
B- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU :

học sinh thấy được tầm quan trọng của số phức trong toán học và thực tiễn tôi
đã giới thiệu và biên soạn hệ thống ví dụ bài tập có tính mở rộng ở nhiều mảng
toán học giải phương trình, giải hệ phương trình , giải bài toán lượng giác, hình
học.
1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức:
1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức:
1.1- Khái niệm số phức:
• Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
mãn
2
i
= –1.
• Ký hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
3
• Tập hợp các số phức kí hiệu là
£
= {a + b
i
/ a, b∈
¡
và
2

'
'
a a
b b
=


=

1.3Biểu diễn hình học của số phức:
 Mỗi số phức z = a + b
i
được xác định bởi cặp số thực (a; b).
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được
biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là
mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn
số ảo.
1.4-Môđun của số phức:
 Số phức z = a + b
i
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy.
Độ dài của véctơ
OM
uuuur
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu
2 2
z = a + bi = a + b
1.5-Số phức liên hợp:

∈
R)
2 2
.Z OM a b z z= = + =

Chú ý:
ZZ
=

z
∀
∈
C
 Hai điểm biểu diễn z và
z
đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng
Oxy.
1.6-Cộng, trừ số phức:
 Số đối của số phức z = a + b
i
là –z = –a – b
i

 Cho
z a bi
= +
và
' ' 'z a b i
= +
. Ta có

2
2 2
z.z = a + b = z
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
1.8-Phép chia số phức: Số nghịch đảo của số phức
z a bi
= +
≠ 0là
-1
2
1 z
z
z
z
= =
hay
2 2
1 -a bi
a bi a b
=
+ +
.Cho hai số phức
z a bi
= +
≠ 0 và
' ' 'z a b i
= +

thì
2

w là số thực: w = a∈
¡
•a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
•a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
a
và –
a
•a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
.a i
và –
.a i


w là số phức: w = a + b
i
(a, b∈
¡
, b ≠ 0) và z = x + y.
i
là 1 căn bậc hai của
w khi
2 2
2 2
-
( )
2
x y a
z w x yi a bi
xy b


2
b i
x
a
− ± ∆
=
+Phương trình bậc hai với hệ số phức:

2 2
0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC
+ + = ≠ ∆ = −
,
a bi
∆ = +
 ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
−
=
6
 ∆ ≠ 0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2
B
x
A
δ
− ±


nên có acgumen là
ϕ
+ (2k + 1)π
•
z
biểu diễn bởi M′ đối xứng M qua Ox
nên có acgumen là –
ϕ
+ k2π
• –
z
biểu diễn bởi –
'OM
uuuuur
nên có acgumen là –
ϕ
+ (2k + 1)π
•
1
z
=
1
2
| |
z
z
z
−
=

( )
2 2
cos sin ; ; cos ; sin
a b
z a bi z r i r a b
r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇔ = + = + = =



Chú ý :
7
•Số – cos
ϕ
–
i
sin
ϕ
có dạng lượng giác là cos(
ϕ
+ π) +
i
sin(
ϕ
+ π)
•Số cos
ϕ
–
i

ϕ
) và z′ =
r
′(cos
ϕ
’ +
i
sin
ϕ
’) với
r
,
r
′≥ 0
. ' . '[cos( ') sin( ')]z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +

và
[cos( - ') sin( - ')]
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= +
(
r
′≠ 0)
•Ta có

r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)

[ ]
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
(n∈
*
¥
)
f/Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
 Mọi số phức z =
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
) (

trình :
Bài toán 1: Giải phương trình bậc ba:
3 2
0ax bx cx d+ + + =
;(a≠0)(1)
Năm 1545 nhà toán học người Ý, Cardano Ginolamo, năm 1545 đã tìm ra
công thức nghiệm của phương trình bậc ba thu gọn trình bày theo cách ký hiệu
hiện nay: Gọi
2 2
2
;
27 3 3
a ab a
q p b
= − = +
; và δ là 1 căn bậc 2 của
2 3
4 27
p p
+
;u là căn
bậc 3 của
;
2
q
δ
− +
v là căn bậc 3 của
2
q

Bài toán 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 2
1
3
1 4 2
1
7
x
x y
y
x y

 
+ =

 ÷
+
 


 

− =
 ÷

+
 


 
⇔ = ± + ±
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
= + = −
 
 
⇒
 
 
= + = −
 
 
9
Thử lại ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn hệ.
II> Ứng dụng giải một số bài toán tính tổng các tổ hợp :
Dạng 1:Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp
hoặc khai triển trực tiếp các số phức
Bài toán 3: Tính tổng
A=
0 2 4 6 2004 2006 2008

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C C

=
2009
2009
C
2009
i
2008
2009
C
2008
i
2
2009
C
2
i
1
2009
iC
0
2009
C
+++++
= (
2008
2009
C
2006
2009
C

2009
3
2009
C
1
2009
C CC
−+−−+−+−
)i
Mặt khác:
2009
π π
2009 2009
(1 i) ( 2) cos isin
4 4
 
   
 ÷  ÷
 ÷
   
 
− = − + −
2009π 2009π
2009
( 2) cos isin
4 4
 
 ÷
 
= −







So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )
2009
trong hai cách tính trên ta được:
A =
2008
2009
C
2006
2009
C
2004
2009
C
6
2009
C
4
2009
C
2
2009
C
0
2009

C
8
3
2
20
C
9
3
0
20
C
10
3
+−++−+−
)
+ +
i






−++−
19
20
C3
17
20
C







6
20π
isin
6
20π
cos
20
2
20
6
π
isin
6
π
cos
20
2
20
2
1
i
2
3
20







So sánh phần thực của
( )
20
i3 +
trong hai cách tính trên ta có:D = - 2
19
Dạng 2: Khai triển (1 + x)
n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá
trị là những số phức thích hợp
Bài toán 5: Tính tổng:
E =
1 3 5 7 25 27 29
3 5 7 25 27 29
30 30 30 30 30 30 30
C C C C C C C
− + − + + − +
Giải:
(1 + x)
30
=
30
30
C

30(1 + x)
29
=
30
30
C
29
x30
29
30
C
28
x29
28
30
C
27
x28
3
30
C
2
x3
2
30
xC2
1
30
C
++++++

30C
28
30
28C
26
30
26C
8
30
8C
6
30
6C
4
30
4C
2
30
2C
+−++−+−
)i
Mặt khác:
11
30(1 + i)
29
=
( ) ( )
=+=+



15
15.2
15
15.2i
2
2
2
2
29
230
−−=−−=








.So sánh phần thực
và ảo của 30(1 + i)
29
trong hai cách tính trên ta có: E = - 15.2
15

Dạng 3: Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị
Ta có các nghiệm của phương trình: x
3

1
2
ε +−=⇒
và
ε
có các tính chất sau:1)
ε
+
2
ε
= -1; 2)
1
3
ε =
;3)
1
3k
ε =

4)
ε
13k
ε =
+
;5)
2
ε
23k
ε =
+

3
20
C
3
x
2
20
C
2
x
1
20
xC
0
20
C
+++++++
Cho x = 1 ta có: 2
20
=
20
20
C
19
20
C
18
20
C
3

20
C
3
20
C
2
20
C
2
ε
1
20
εC
0
20
C
+++++++

(2)
Cho x =
2
ε
ta có:
12
(1 +
2
ε
)
20
=

ε
)
20
+(1 +
2
ε
)
20
= 3S.
Mặt khác:
ε
40
ε
20
)
2
ε(
20
ε)(1
==−=+
;
2
ε
20
ε
20
ε)(
20
)
2

os
5
c
π
+i
sin
5
π
. Ta có z
5
=-1 hay(z+1)(z
4
-
z
3
+z
2
-z+1)=0. Ta để ý rằng x=
1 1
2
z
z
 
+
 ÷
 
, Từ đẳng thức trên ta có 4x
2
-2x-1=0
1 5 1 5

=-z
3
và z
8
=z.Suy ra z
10
+ z
8
+ z
6
+ z
4
+ z
2
+1= z
6
+ z
4
-z
3
+ z
2
- z+1=
Z
6
- z
5
+ z
4
-z

B
A
B'
C'
Bài toán 9: (IMO Shortlst) Cho tam giác ABC đều có tâm S và A'B'O là một
tam giác đều khác có cùng hướng nhưng S khác A' và S khác B'. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng A'B và AB'. Chứng minh rằng các tam
giác SB'M và SA'N đồng dạng .
Giải: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABO, đăt ε=
2
os
3
c
π
+i
2
sin
3
π
. Ta xét bài toán trong mặt phẳng phức. Chọn S là gốc tọa độ và SO là
trục thực. Khi đó, tọa độ của các điểm O, A, B biểu diễn các số R, Rε,Rε
2
. Gọi
R+z là tọa độ của điểm B', Thì R-εz là tọa độ của điểm A'. Suy ra tọa độ của M,
N là
z
M
=
2 2
'

2
'
'
. 1 1.
2
2
A S
B S
M s N s
z z
z z R z R z
R z
z z z z
R z
ε
ε ε ε
ε
ε
ε
−
− + −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− +
− −
−
−
Từ đó suy ra các tam giác SB'M và SA'N đồng dạng.
Bài toán 10. Về phía ngoài của tam giác ABC ta lần lượt dựng các tam giác
đều, có cùng chiều dương là AC'B, BA'C, CB'A. Chứng minh rằng tâm của các
tam giác đều này là các đỉnh của một tam giác đều.

1 1
' ; " '
3 3
a b c c a b c+ + = + +
.Do đó , bằng các phép
tính đại số ta được 3(c''+a''ε+b"ε
2
)= (a+b+c')+(a'+b+c)ε+(a+b'+c)ε
2
=(b+a'ε+cε
2
)+( c+b'ε+aε
2
)+( a+c'ε+bε
2
) =0.
Tức là tâm của các tam giác này là các đỉnh của một tam giác đều.
3.Một số bài tập:
a/ Giải pt, hệ pt.
Bài 1: Giải các phương trình sau
1)
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +
2)
3
2 1 1x x− = − −
; 3)
4 4
18 5 1x x− = − −
; 4)

x y
y
x y

 
+ =

 ÷
+ +
 


 

− =
 ÷

+ +
 

2.
2 2
x y 2
x 1 y 1 3
1
(x y) 1 6
xy

+ =


A
B
C
P
D
Q
E
F
S
R
M
N
( ) ( ) ( ) ( )
29
30
C
29
329
27
30
C
27
327
5
30
C
5
35
3
30

30
2.3C
2
A
+−−+−=
3
A
0 2 4 6 8 22 24
C 2C 3.4C 5.6C 7.8C 21.22C 23.24C
25 25 25 25 25 25 25
= + − + − + + −
5
A
1 3 5 7 9 23 25
C 2.3C 4.5C 6.7C 8.9C 22.23C 24.25C
25 25 25 25 25 25 25
= + − + − + + −
0 2 4 6 16 18 20
A C 3C 5C 7C 17C 19C 21C
5
20 20 20 20 20 20 20
= − + − + + − +
1 3 5 7 15 17 19
A 2C 4C 6C 8C 16C 18C 20C
6 20 20 20 20 20 20 20
= − + − + − + −
2 1 2 3 2 5 2 7 2 95 2 97 2 99
A 1 C 3 C 5 C 7 C 95 C 97 C 99 C
7
100 100 100 100 100 100 100

Chứng minh rằng cos2a+cos2b+cos2c= Sin2a+sin2b+sin2c=0.
Bài 2: Chứng minh rằng:
3 5 7 9 1
os os os os os
11 11 11 11 11 2
c c c c c
π π π π π
+ + + + =
Bài 3:Tính các tổng sau:
S
n
=sina+sin2a+sin3a+ +sinna; T
n
=cosa+ cos2a+ cos3a+ cosna.
d.Các bài tập hình học:
Bài 1: Cho lục giác lồi ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm cạnh
AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng
MQ ⊥ PS ⇔ RN
2
= MQ
2
+ PS
2
16
B
0
C
A
A
0

2011 ,tôi đã chọn 30 học sinh lớp 12 tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau
Lớp Giỏi Khá Trung
bình
Yếu
12/A1 2 6,7% 8 26,7% 5 16,7% 15 50%
12/A2 1 3,3% 5 16,7% 6 20% 18 60%
Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2011 - 2012 ,tôi đã chọn ngẫu nhiên
30 học sinh lớp 12 và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp Giỏi Khá Trung
bình
Yếu
12/A2 10 33,3% 12 40 % 6 20 % 2 6,7%
12/A3 8 26,7% 10 33,3% 5 16,6% 7 23,3%
Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2012 - 2013 ,tôi đã chọn ngẫu nhiên
30 học sinh lớp 12 và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp Giỏi Khá Trung
bình
Yếu
12/A2 12 36,6% 12 40 % 4 17 % 2 6,7%
12/A3 9 29,7% 10 33,3% 4 13,6% 7 23,3%
18
Rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số phức
có tiến bộ rõ rệt.
C-KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:
I- KẾT LUẬN
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian
đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước
đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần
phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều
cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa ngày 25 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
21
22