S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG GIẢI TOÁN
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 5/9/2009 đến ngày 5/5/2010
4. Tác giả:
Họ và tên: Phạm Thị Thuận
Năm sinh: 1976
Nơi thường trú: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định
Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán
Chức vụ công tác: Phó hiệu trưởng
Nơi làm việc:
Trường THCS Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Phạm Thị Thuận - Trường THCS Thị trấn Gôi - Huyện
Vụ Bản - Tỉnh Nam Định.
Số điện thoại: 0945273339
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THCS Thị trấn Gôi.
Địa chỉ: Thị trấn Gôi - Huyện Vụ Bản - Tỉnh Nam Định.
Số điện thoại: 03503820694.
Trang 1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen
với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là hệ
thức Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán.
Song qua việc khảo sát tại trường THCS, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức
Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức vào giải nhiều loại

S = x
1
+x
2
=
b
a
−
P = x
1
.x
2
=
c
a
Điều cần lưu ý là để áp dụng được hệ thức Vi-ét thì phương trình phải có nghiệm.
* Ứng dụng:
+ Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0
( )
0a ≠
có a + b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm là
1
1x =
, còn nghiệm kia là
2
c
x

2
- 5x + 2 = 0
b) 7x
2
+ x - 6 = 0
c) (m-1) x
2
+ mx - 1 = 0 (m
≠
1)
Giải:
a) 3x
2
- 5x + 2 = 0
Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
x
1
= 1, x
2
=
c
a
=
2
3
b) 7x
2
+ x - 6 = 0
Ta có a - b + c = 7 -1 - 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm
Trang 3

1
1m −
* Trường hợp phương trình bậc hai không có sự đặc biệt về hệ số nhưng có
nghiệm nguyên đơn giản, ta có thể nhẩm nghiệm như sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau
a) x
2
- 7x + 10 = 0
b) x
2
+ 6x +8 = 0
Giải:
a) Ta có: 2 + 5 = 7 và 2 . 5 = 10.
Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x
1
= 2, x
2
= 5.
b) Tương tự như câu a) ta có -2 + (-4) = -6 và (-2)(-4) = 8.
Ta nhẩm được hai nghiệm là x
1
= -2, x
2
= -4
2.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã
cho và tìm nghiệm còn lại.
* Phương pháp:
+ Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó
kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
+ Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm

1
x
2
=
5
2
mà x
1
= 2 nên x
2
=
5
4
.
Mặt khác x
1
+ x
2
=
2
p
⇒
2
p
= 2 +
5
4
⇒ p =
13
2

x + 4 = 0
b) x
2
+ 5x - 1 = 0
c) x
2
- 2
3
x + 1 =0
Trang 5
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
d) x
2
+ 9x + 6 = 0
Giải:
a) Ta có ∆ '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm
b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Ta có ∆' = 2 > 0; S = 2
3
> 0; P = 1 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm dương phân biệt
d) Ta có ∆ =57 > 0; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm âm phân biệt
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau:
2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm
c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương

0
1
2
1 2 1
0 0 1 2 0
3
2 2
0 1 0
2
1 1
0
2
m
m
m
m
m
S m m
m
P m
m m



≠




− >

( )
2
3
2
0 2 3 0
1
0 1 2 0
2
0 1 0
1
m
m
S m m
P m
m

≠


∆ > − >



 
> ⇔ − > ⇔ < ⇔
  
  
> − >



2
. Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
3
+ x
2
3

c)
1 2
x x−

Giải:
Vì phương trình có nghiệm x
1
, x
2
nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
x
1
+ x
2
= -m và x

1
+x
2
)
3
- 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = -m
3
+ 3m
c) (x
1
- x
2
)
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 4x
1


(với x
1
là một nghiệm của phương trình đã cho)
Phân tích: - Quan sát biểu thức ta thấy: cần biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai
thành dạng bình phương để đưa A về dạng A =
1 1
( ) 5B x x−
- Bằng cách xét dấu nghiệm ta chứng tỏ B(x
1
) > 0 từ đó tính được giá trị
của A.
Giải:
Vì x
1
là nghiệm của phương trình đã cho nên :
x
1
2
= 4x
1
-1 ⇒ x
1
4
= 16x
1
2
- 8x
1
+ 1


Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Ta có x
1
> 0 ⇒ 5x
1
+ 2 > 0 ⇒ A = 5x
1
+ 2 - 5x
1
= 2. Vậy A = 2.
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
+ x - 1 = 0
và x
1,
x
2
là nghiệm của phương trình (x
1
< x
2
) . Tính giá trị của biểu thức

8
1 1 1
10 13B x x x= + + +
Giải:
Từ giả thiết ta có: x
1

10 13B x x x= + + +
=
2
1 1 1 1
9 12 4 10 13x x x x− + + + +( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2
1 1 1 1 1 1 1
9 2 17 8 2 17 8 1 2 17
10 25 5 5
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
= − + + = + − + + = + − − + +
= − + + = − + = − +
Theo hệ thức Vi-ét ta có P = x
1
x
2
= -1
Trang 8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x
1
< x

= p ) thì ta thường kết hợp với một
trong hai hệ thức của Vi-ét để được hệ phương trình. Giải hệ phương trình đó ta
tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi-ét ta tìm được giá trị của
tham số.
+ Đối với các hệ thức giữa hai nghiệm dạng khác (chẳng hạn: x
m
+ x
n
= p
hoặc
( ) ( )
m
xg
xg
xf
xf
=±
2
1
2
1
)()(
,
1 2
( ) ( )f x f x n± =
,
1 2
( ) ( )f x f x p± =
) ta thường biến đổi hệ
thức chứa nghiệm về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó áp dụng hệ thức

1
2
+ x
2
2
= 8
Giải: Phương trình x
2
+ 2x + m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x nên ta có
' 1 m∆ = −
Để phương trình có nghiệm thì ∆'
≥
0 ⇔
1 0m
− ≥
⇔
1m
≤

Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
2x x
x x m
+ = −


=

a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi-ét ta có hệ:

1 2
6 (1)
2 (2)
(3)
x x
x x
x x m

− =

+ = −


=

Giải hệ (1), (2) ta được x
1
=
5
2
−
; x
2
=
1
2
Thay vào (3) ta được m = -
5
4
(thoả mãn điều kiện)

- 2mx +m + 2 = 0 (m là tham số) có hai
nghiệm phân biệt thoả mãn
1 2
2 1
6 0
x x
x x
+ + =
Giải:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
( ) ( )
2
1
1 0 1
' 0 2
1 2 0
m
m m
m
m m m
≠

− ≠ ≠
 

⇔ ⇔ ⇔
  
∆ > <
− − + >



=

−


Với điều kiện (*) và (**) ta có:

1 2
2 1
6 0
x x
x x
+ + =
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
6 0 6 0
x x x x
x x
x x x x
+ −
+
⇔ + = ⇔ + =
( ) ( ) ( )
( ) ( )

4 4 2 0 2 2 0
1 17
4
m
m m m m m
m

− −
=


⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔

− +
=


Đối chiếu với điều kiện (*) và (**) thì m =
1 17
4
− ±
thỏa mãn. Vậy giá trị cần tìm của
m là: m =
1 17
4
− ±
.
Ví dụ 3: Cho phương trình: x
2
- (2m - 1)x -2m = 0 (1)


Ví dụ 4: Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (*)
Trang 11
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện
1 2
3x x− =
Giải: Phương trình (*) là phương trình bậc hai nên ta có:
2
3 4 9 4m m∆ = + = +
Phương trình (*) có hai nghiệm
9
0 9 4 0
4
m m⇔ ∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
3x x
x x m
+ = −


= −

* Các ví dụ:
Ví dụ1 : Cho phương trình x
2
- 2(m + 1) x + m
2
=0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x.
Ta có ∆' = (m + 1)
2
- m
2
= 2m + 1
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ∆'
≥
0 ⇔ m
≥
-
1
2
b) Theo hệ thức Vi-ét ta có
1 2
2
1 2
2( 1) (1)
(2)
x x m
x x m

= (x
1
+ x
2
- 2)
2
là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Ví dụ 2: Cho phương trình mx
2
- 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số )
Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào m.
Giải :
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, do đó
0m ≠
Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
1 2
2( 3) 6
2 (1)
1 1
1 (2)
m
x x
m m
m
x x
m m
−

= 8
2.7. Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu
thức chứa nghiệm.
* Phương pháp:
+Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
+ Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó vận
dụng hệ thức Vi-ét đưa biểu thức về dạng chỉ chứa tham số. Từ đó sử dụng các
phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ giải
được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
- 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức
A = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trang 13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Giải:
Ta có ∆' = (m - 1)
2

+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m - 1)
2
- 2(m - 5)
= 4m
2
- 10m +14 =
2
5 31 31
2
2 4 4
m
 
− + ≥
 ÷
 
Dấu bằng xẩy ra khi m =
5
4
. Vậy A
min
=
31

2

≥
0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị
của m.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= m và x
1
x
2
= m - 1
Thay vào biểu thức B ta có

( )
( )
1 2 1 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 1 3
2 3 2 3 2 1
2( 1) 2 2
2
m
x x x x m
B

2
+ t + 1
Trang 14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Biểu thức B nhận giá trị t khi phương trình (1) (phương trình bậc hai ẩn m) có nghiệm
⇔
' 0
∆ ≥
⇔ -2t
2
+ t + 1
≥
0 ⇔ 2t
2
- t - 1
≤
0 ⇔ (t - 1)(2t + 1)
≤
0 ⇔
1
1
2
t− ≤ ≤
t = -
1
2
khi m = -2 ; t =1 khi m = 1
Vậy B
min
=

− + + − ≥
 ÷
 
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải: Ta thấy phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 2009, c = -2009.
a, c trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
Theo hệ thứcVi-ét ta có: x
1
+ x
2
=
2009 2010
2009
m −
và x
1
x
2
=
2009
1
2009
−
= −
Ta có:

( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1 2 2 1

−
   

( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3 3 9
2 6
2 2 2 2
x x
x x x x x x x x
− 
= − + = − + − = −
 
 
Ta có: C = 6(x
1
- x
2
)
2
= 6[(x
1
+ x
2

Dấu bằng xảy ra khi (x
1
+ x
2
)
2
= 0
⇔
x
1
+ x
2
= 0
⇔
2009 2010 2010
0
2009 2009
m
m
−
= ⇔ =
Ví dụ 4: Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ 2mx + 4 = 0.
Xác định m để x
1



=


Ta có: x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
- 2x
1
2
x
2
2
=
( )
2
2
2

≥
0 ta được m = 2 hoặc m = -2
Ví dụ 5: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
- 18x + 1= 0 .
Đặt S
n
= x
1
n
+ x
2
n

(n
∈
N
*
). Chứng minh:
a) S
n+2
= 18 S
n+1
- S
n
b) S

+ x
2
n+2
và S
n+1
= x
1
n+1
+ x
2
n+1
Mặt khác ta có: x
1
n
(x
1
2
- 18x
1
+ 1) + x
2
n
(x
2
2
- 18x
2
+ 1) = 0
hay x
1

1
x
2
= 1 >0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm cùng
dương
1 2
0
n n
n
S x x⇒ = + >
với mọi n
∈
N
*
. (1)
Ta có: S
1
= x
1
+ x
2
= 18 , S
2
= x
1
2
+ x
2
2
= (x

nguyên ta suy ra S
4
nguyên.
Cứ tiếp tục lập luận như thế ta được S
n
nguyên với mọi n
∈
N
*
. (2)
Trang 16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Từ (1) và (2) ta có S
n
nguyên dương với mọi n
∈
N
*
.
Tương tự câu a) ta có: S
n+3
= 18S
n+2
- S
n+1
= 17S
n+2
+ S
n+2
- S

4
không chia hết cho 17 suy ra S
5
không chia hết cho 17.
Cứ tiếp tục lập luận như thế ta được S
n
không chia hết cho 17 với mọi n
∈
N
*
.
2.8. Dạng 8: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét: tìm hai số biết tổng và tích
vào bài tập.
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình X
2
- SX + P = 0. (1)
Điều kiện để có hai số đó là:
2
4 0S P− ≥
* Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó thỏa mãn điều kiện cho trước
* Phương pháp: - Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.
- Sử dụng ứng dụng (1) để lập phương trình
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
1
5 1−
;
1
5 1+

− +
Vậy
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình:
2 2
5 1
0 4 2 5 1 0
2 4
x x x x− + = ⇔ − + =
Ví dụ 2: Cho phương trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
.
Lập phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm là:
1 1
2
1
t x
x
= +
,
2 2
1
1
t x
x

x x x x
+
+ = + + + = + + = − + = −

1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1 1
2 2 2
2 2
t t x x x x
x x x x
  
= + + = + + = − + + = −
 ÷ ÷
−
  
Vậy
1 2
,t t
là hai nghiệm của phương trình:
2
5 1
0
6 2
t t+ − =
hay 6t
2
+ 5t - 3 = 0
* Giải hệ phương trình:
Ứng dụng (1) thường được sử dụng vào giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn:

S
S P
=


− =

⇔
3
2
S
P
=


=

Do đó ta có:
3
2
x y
xy
+ =


=

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X
2
- 3X + 2 = 0

xy
− =


=

Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình
X
2
- 2X - 15 = 0, giải ra ta được X
1
= 3; X
2
= -5
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là :
( ) ( )
1 1
; 3;5x y =
,
( ) ( )
2 2
; 5;3x y =
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
a)
2 2
4
2
x xy y
x xy y



S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
Do đó ta có:
2
0
x y
xy
+ =


=

hoặc
3
5
x y
xy
+ = −


=

Suy ra x, y là nghiệm phương trình X
2
- 2X = 0 (1) hoặc X
2
+ 3X + 5 =0 (2)
Giải (1) được: X
1
= 0; X


suy ra S, P là nghiệm phương trình X
2
- X - 2 = 0
Giải ra ta được X
1
= -1; X
2
= 2. Vậy



=
−=
2
1
P
S
hoặc



−=
=
1
2
P
S
Từ đó ta có (I)
2

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:
( ) ( )
1 1
; 1;1x y =
,
( ) ( )
2 2
; 2;1x y = −
* Ứng dụng (1) còn được sử dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào
các bài toán chứng minh khác :
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau:
a > 0, a
2
= bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
a
≥
3
, b > 0, c > 0 và b
2
+ c
2

≥
2a
2
Giải:
Từ a + b + c = abc ⇒ b + c = a(bc - 1) = a(a
2
- 1) = a

2

≥
0 ⇔ (a
2
- 1)
2

≥
4 ⇔ a
2

≥
3 ⇔ a
≥
3
( vì a > 0)
Khi đó b+ c = a( a
2
- 1) > 0 và bc = a
2
> 0 nên b > 0, c > 0.
Mặt khác:
( )
2
2 2 2
0 2 2b c b c bc a− ≥ ⇒ + ≥ =
Vậy a
≥
3

(x
1
≠
x
2
). Ta có:

2
0 0
2
0 0
0
0
x ax bc
x bx ca

+ + =
⇒

+ + =

(a - b)(x
0
- c) = 0 ⇒ x
0
= c ( vì a
≠
b)
Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có:


=

+ = −


= ⇒
 
=


+ + =

Do đó x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ cx + ab = 0 (phương trình này luôn có
nghiệm vì ∆= c
2
- 4ab = (a + b)
2

- 4ab = (a - b)
2
> 0)
* Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Không giải phương trình hãy xét dấu các nghiệm của phương trình sau:
a) x

2
- mx + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x
1
, x
2
thoả mãn: a) x
1
- x
2
= 1
b) x
1
2
+ x
2
2

= 37
Bài tập 5: Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x - m = 0
a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm âm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái
dấu nhau.
e) Tìm m để
1 2
x x−

xy x y

+ − + =

− − =

Bài tập 7: Cho phương trình x
2
- 3x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức
A =
4
1 1
11 29 2x x x+ + −
(x
1
là một nghiệm của phương trình )
Bài tập 8: Cho phưong trình x
2
- 3x - 1 = 0 với
1 2
x x<
. Tính giá trị biểu thức
B =
4
1 1 1
25 5 2x x x− − +
Bài tập 9: Tìm p, q để phương trình x
2
+ px + q = 0 có các nghiệm x
1

2
.
c) Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Trang 21
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Bài tập 11: Xác định a để phương trình x
2
+ ax + 1 = 0 có nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn:
2 2
1 2
2 2
2 1
7
x x
x x
+ >
Bài tập 12: Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dương x
1
, x
2
.
Chứng minh rằng phương trình cx
2

Dạng 8: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét: tìm hai số biết tổng và tích vào bài tập.
Tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ
thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em
kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn thi, các em được hệ thống
lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên, đặc biệt chú ý cho học sinh nhận dạng và
nêu phương pháp giải đối với từng dạng. Vì thế, việc làm các bài toán có áp dụng hệ
thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi vào THPT hay trường chuyên lớp
chọn không còn khó khăn nữa. Các em hứng thú, say sưa khi học về chuyên đề Hệ
thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
Trang 22
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Với việc áp dụng sáng kiến nêu trên, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy có sự
tiến bộ vượt bậc so với thời điểm chưa áp dụng sáng kiến. Cụ thể: Các đề kiểm tra có
phần bài tập về hệ thức Vi-ét các em đều làm rất tốt. Kết quả kiểm tra chất lượng cuối
năm học đạt 97,1% học sinh có điểm từ trung bình trở lên, có 85,3% học sinh đạt điểm
giỏi. Trong khi đó, ở đợt kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm, tỉ lệ học sinh đạt điểm
từ trung bình trở lên chỉ có 34,3%, không có học sinh nào đạt điểm giỏi.
Trong kỳ thi tuyển sinh vào THPT, chất lượng bộ môn toán ở lớp tôi dạy xếp thứ
nhất huyện với tỷ lệ điểm khá, giỏi rất cao.
Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi còn phổ
biến cho các bạn đồng nghiệp trong trường. Kết quả: các bạn đồng nghiệp đều phản
ánh là sáng kiến kinh nghiệm nêu trên đem lại kết quả tốt, học sinh vận dụng tốt hệ
thức Vi-ét vào giải toán. Chất lượng học của học sinh được nâng lên rõ rệt.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi về "Ứng dụng hệ thức Vi-ét
trong giải toán". Tuy nhiên, chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định. Vậy
tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo.
Xin trân trọng cảm ơn!
V. Đề xuất, kiến nghị:
* Ngành giáo dục nên phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp tỉnh, cấp quốc
gia để giáo viên chúng tôi được học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.

9) Ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - NXB giáo dục
10) Ôn tập thi vào lớp 10 - NXB đại học quốc gia Hà Nội
11) Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên - môn Toán - NXB Hà Nội
12) Toán bồi dưỡng học sinh - Đại số 9 - NXB giáo dục
13) Các bài toán đại số hay và khó - NXB giáo dục
14) 50 bộ đề Toán 9 - NXB giáo dục
15) Bộ đề toán luyện thi vào lớp 10 - NXB giáo dục
16) Toán luyện thi lớp 9 - NXB giáo dục
17) Tuyển tập đề thi vào lớp 10 THPT (đề chung) và chuyên Lê Hồng Phong - tỉnh
Nam Định, tuyển tập đề thi vào lớp 10 Quốc học Huế.
18) Nâng cao và phát triển Toán 9 - NXB giáo dục.
Trang 25