I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Với một bài toán cụ thể, tìm ra nhiều cách giải khác nhau thì quả là phong phú và
thú vị có cách giải làm cho bài toán đơn giản hơn, đưa từ bài toán lạ thành bài toán
quen thì thật là ấn tượng . Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là việc làm
thường xuyên và quan trọng của người dạy toán.Trong Toán học có nhiều đề tài rất
lý thú, rất thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào Đại học. Trong
bài viết này tôi chọn đường tròn và khai thác một phần nhỏ về ứng dụng của nó.
Trong chương trình hình học 10, các em đã được tiếp cận với đường tròn, sự tương
giao của một đường tròn với đường thẳng. Đường tròn là một trong những phần
quan trọng trong chương trình Toán THPT và ta thường bắt gặp những bài toán về
đường tròn trong các đề thi đại học. Đề tài về đường tròn có rất nhiều bài toán hay.
Có những bài nhìn qua không có màu sắc gì về đường tròn nhưng ta có thể áp dụng
đường tròn để giải quyết. Trong khuôn khổ bài viết này , tôi chỉ nêu ra những ví dụ
về việc sử dụng phương trình và các tính chất của đường tròn để giải và biện luận
hệ, phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Dĩ nhiên những bài toán này có
thể dùng phương pháp đại số để làm nhưng tương đối phức tạp đối với học sinh.
Yêu cầu của các bài toán này thường là: Tìm giá trị của tham số để phương trình, hệ
phương trình có nghiệm duy nhất, có nghiệm. Thực tế cho thấy khi các em làm
những dạng toán này thường là các em còn lúng túng và không xét hết các trường
hợp của tham số, và còn mắc những sai lầm không đáng có. Tuy nhiên trong một số
bài tập nếu ta sử dụng phương trình và tính chất của đường tròn (hình tròn) trong mặt
phẳng tọa độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình thì bài toán nói trên trở nên đơn
giản hơn rất nhiều.
Năm học 2010-2011, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Tuy là các
lớp chọn khối A, nhưng đa số học sinh nhận thức còn chậm, kĩ năng làm bài còn
kém, tư duy chưa rõ ràng. Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở,
làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm
toán cơ bản nhất và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học
sinh nắm được bài tốt hơn.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT, cùng
với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống

3
trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Phương trình (2) biểu diễn
một đường thẳng . Để hệ có nghiệm duy nhất thì đường thẳng
: 0x y a− + =V
tiếp
xúc với đường tròn có phương trình:
( ) ( )
2
2
1 3 ,
1 0
3
2
1 6; 1 6
x y d I R
a
a a
− + = ⇔ ∆ =
− −
⇔ =
⇔ = − − = − +

Bài 2:Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2
1
x y xy m m
x y

+ + + ≥

+ ≥ − +
+ ≥ − +
 
⇔
 
+ ≤

+ ≤




− + − ≤ +

⇔

+ ≤


Với m+1
≤
0 hay
1m
≤
hệ vô nghiệm.
Với m+1 > 0 hay m>-1, BĐT(3) biểu diễn hình tròn tâm I(1;1),bán kính R=
1m +
trên mặt phẳng tọc độ Oxy
BPT(4) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x+y=1.Hệ có nghiệm duy nhất
khi và chỉ khi đường thẳng x+y=1 tiếp xúc với đường tròn

25
a OH a≥ ⇔ ≥
(với H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống
đường thẳng 4x-3y+2= 0)
Bài 4: Cho hệ:

( ) ( )
2 2
1 1 2(5)
0(6)
x y
x y m

− + − ≤


− + =


Xác định m để hệ nghiệm đúng với mọi x
[ ]
0;2∈
.
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
3
Lời giải: Tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn (5) là các điểm nằm trong và trên đường
tròn
( ) ( )
2 2
1 1 2x y− + − =

2 1 2 1 2
m
IA R
m
IB R
m

− + − ≤
≤


⇔ ⇔ =
 
≤

− + + − ≤


Bài 5: Cho hệ phương trình

2 2
0(7)
0(8)
x y x
x ay a

+ − =

+ − =


x y+ − =
cũng luôn đi qua A(0;1).
Để hệ có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng x+ay-a=0 phải cắt đường tròn (I;R)
tại hai điểm phân biệt . Vậy đường thẳng x+ay-a=0 phải nằm giữa hai tiếp tuyến trên
Lúc đó 0 <a <
4
3
.
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
4
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2
1 x m x− = −
Lời giải: Đặt
2
1y x= −
,
0y ≥
khi đó phương trình chuyển thành hệ
2 2
1(2)
0(3)
x y
x y m

+ =

+ − =


x t y

+ =

+ − =

suy ra khoảng cách từ tâm đường tròn(1) đến đường thẳng (2) nhỏ hơn hoặc bằng
bán kính
2 2 max 2
2
x=
2
y
a a y a y a
a
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ =
⇔
Bài 8: Hãy biện luận số nghiệm của hệ sau theo m.
2 2 2
4(1)
(2)
x y
x y m
+ =


+ =

+ m=0 thì hệ vô nghiệm.

y
=


=

+Nếu
2 2m >
thì hệ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm

Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
6
( 0)( )a x x a a a I− + + > >
Lời giải:
Đặt
u a x
v a x

= +


= −


điều kiện u,v
0
≥
Khi đó bất phương trình chuyển thành hệ:
2 2


=


hoặc h(x) =k(m)
Khi đó số nghiệm của (I) là số giao điểm của đồ thị hàm số f và g hoặc h va k.
Trong những ví dụ trên ta đã xét f(x,y) =0 là phương trình của một đường tròn.Còn
g(x,y,m)=0 là một đường thẳng.
Tuy nhiên phương pháp hình học không phải là tối ưu cho mọi bài toán đại số, cho
nên khi đứng trước bài toán cụ thể, chúng ta cần linh hoạt trong cách chọn hướng giải
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
7
bài toán.Phương pháp hình học sử dụng được chỉ khi ta khéo léo chuyển ngôn ngữ
của bài toán đại số sang ngôn ngữ hình học được.
Thông qua ví dụ trên nhận thấy rằng : Khi sử dụng phương trình và tính chất của
đường tròn (hình tròn) xét sự tương giao giữa các hình, ta đã đưa bài toán biện luận
hệ, bài toán bất phương trình chứa tham số về một dạng toán đơn giản và quen thuộc
hơn với học sinh.
Sau đây là các bài tập tương tự để chúng ta luyện tập thêm cho học sinh , giúp cho
các em thành thạo cách giải này.
Bài 9: Tìm các số dương a để hệ sau có nghiệm

2 2 2
1x y a
x y a

+ = −

+ >


( )
2 2
;x y
là hai nghiệm của hệ

2 2
0
0
x y x
x ay a

+ − =

+ − =

Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
1x x y y− + − ≤
Bài 12: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 2
2 2
2 1
2 1 1
x y y a
x y x

+ + + ≤

Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
Số
lượng
Tỷ lệ
2010-
2011
10A8 43 11 21 % 20 57 % 12 22 %
10B8 46 7 18 % 17 51 % 22 31 %

Mặc dù cố gắng tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều
hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập
nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu
lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở
nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Lê Thị Thu Huyền-THPT Lê Viết Tạo
9
Hoằng Hóa ngày 8 tháng 5 năm 2011
Giáo viên