Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
1. Mục lục
Trang
A. Đặt vấn đề 2
B. Nội dung 2
1. Thực trạng vấn đề
2.Giải pháp thực hiện
3. Phạm vi thực hiện
4. Nội dung 3
5. Hiệu quả 18
C. Kết luận 18
Sáng kiến kinh nghiệm
1
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
A. Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích 12 chuyên đề hàm số là một phần quan trọng
đối với Học sinh. Việc giải các câu hỏi phụ về hàm số thường là vấn đề khó
đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, đặc biệt phải biết phân loại từng
dạng một. Trong các dạng toán về câu hỏi phụ về hàm số bài toán về “ tiếp
tuyến” là một bài toán cơ bản đối với học sinh. Để có được cách nhìn tổng
quan về phần này đòi hỏi học sinh phải nắm được các kiến thức cơ bản và các
bài toán tổng quát cho từng dạng.
Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ ,thi tốt nghiệp và đại
học. phần lý thuyết đơn giản nhưng bài tập thì rất đa dạng đòi hỏi học sinh
phải có tính tư duy lôgic. Chính vì vậy tôi nghiên cứu đề tài “ Một số phương
pháp giải bài tập về tiếp tuyến” nhằm mục đích giúp HS phân loại một số
dạng toán để đưa ra cách giải nhanh hơn.
B. Nội dung
1. Thực trạng của vấn đề
Trong SGK đại số và giải tích lớp 11 đã đưa ra bài toán về tiếp tuyến khi
biết tiếp điểm. Nếu chưa biết tiếp điểm thì có phương pháp nào để viết được

lim ( )
M M
MM
→
= Tiếp tuyến M
0
T.
Ta thường gặp các bài toán về tiếp tuyến sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua một điểm
cho trước.
Sáng kiến kinh nghiệm
2
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Bài toán 4; Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm
phân biệt. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
và cắt đồ thị tại hai điểm khác.
Đối với hai bài toán 1 và 2 ta cần chú ý tới việc viết phương trình tiếp
tuyến tại tiếp điểm và bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm (có thể thuộc đồ thị hoặc không thuộc). Đối với bài toán 4 thì chỉ
xuất hiện ở đồ thị hàm số bậc 4.
Phương pháp giải bài toán 1:
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)

i
là nghiệm của f
,
(x) = k . Giải phương trình
f
,
(x) = k ta tìm được các x
i
và viết được phương trình tiếp tuyến
Phương pháp giải bài toán 3:
Bài toán: Cho đồ thị (C): y= f(x) và điểm A(a;b) cho trước. Viết phương
trình tiếp tuyến đi qua A(a; b) đến đồ thị (C)
Để giải loại này có 2 phương pháp:
1.Phương pháp tìm tiếp điểm
Phương pháp này có 2 cách
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc (C) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i
suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f
,
(x
i
)(x- x
i
) + f(x
i
) (t)
Do A(a;b)
∈
(t) nên b= f

)(x- x
i
) + f(x
i
)
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-a) +b tiếp xúc với đồ thị (C):
⇔
Hệ phương trình:





=
+−=
kx
f
baxkxf
)(
,
)()(
,
có nghiệm
Giải hệ phương trình trên ta tìm được các nghiêm x=x
i
và viết được
phương trình tiếp tuyến: y= f
,
(x

, x
2
khi đó f(x)= kx+m (*)có hai nghiệm kép
phân biệt x
1
, x
2
. Giải phương trình (*) bằng cách cho đồng nhất các hệ số ta
tìm được x
1
,x
2
và phương trình tiếp tuyến.
Sau đây là các dạng toán cụ thể:
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x)=x
3
-3x+5 khi biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x
1
=-1; x
2
=2; x
3
=
3
2) Tung độ của tiếp điểm là y
1
=5; y

2) y
1
=5
⇔
3
1 1
3 5x x− +
=
5
⇔
x
1
( )
2
1
3x −
=0
⇔
x
1

{ }
3,0 ±∈
Tiếp tuyến tại x
1
=0 là (t
1
): y=y’(0)(x - 0) + 5
⇔
y = -3x + 5

+ 5
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x
3
– 3x
2
+ 9x – 4. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
1. Đường thẳng (d): y = 7x + 4
2. Parabol (p): y = -x
2
+ 8x – 3
3. Đường cong (C): y = x
3
– 4x
2
+ 6x – 7
Giải:
1. Hoành độ giao điểm của (C) với (d) là nghiệm của phương trình:
2x
3
– 3x
2
+ 9x – 4 = 7x + 4
⇔
(x - 2)( 2x
2
+ x + 4)

⇔
(x -2)

Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình y = y’(2)(x - 2) + y(2)
= 21(x - 2) + 18 = 21x - 24
Làm tương tự ta cũng giải được các ý 2 và 3.
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x
2
biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Giải: Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
3
1
x nên tiếp tuyến có hệ số
góc bằng -3. Gọi tiếp điểm có hoành độ x
0

⇒
y
’
(x
0
)=3
2

có hệ số góc bằng 9. gọi tiếp điểm có hoành độ x
0

⇒
y
’
(x
0
)=3
2
0
x
-6x
0
=9
⇔
2
0
x
-2x
0
-3=0
⇔
x
0
=-1 hoặc x
0
=3
Tiếp tuyến tại x
0

) tiếp xúc với (C): y = f(x)
⇔
Hệ





=
+






−=
kxf
xkxf
)('
4
12
19
)(
có
nghiệm
⇔+





=
=
⇒=
⇔
8
1
2
1
3
2
1
x
x
x
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến C có phương trình:
y= 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+ 6(m-2)x-1
Giải: Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y=kx-1 tiếp xúc
với (C) y=f(x)
⇔
Hệ



=
−=

)1(3
0
2
1
m
x
x
Từ
)(
,
x
f
=6x
2
+6(m-1)x+ 6(m-2) suy ra
Với x
1
= 0
⇒
f
’
(0)=6(m-2)
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y= 6(m-2)x-1
Với x
2
=
4

2
+2
a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
2;
9
23
−
) đến (C).
b. Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông
góc với nhau.
Giải: a. Đường thẳng đi qua A(
2;
9
23
−
) với hệ số góc k có phương trình:
y= k(x-
9
23
)-2 tiếp xúc với (C) y= f(x)
⇔
Hệ phương trình:






=
−−=

1
Với x=2 suy ra tiếp tuyến (t
1
): y=y
’
(2)(x-
9
23
)-2
⇔
y=-2
Với x=3 suy ra tiếp tuyến (t
2
): y=y
’
(3)(x-
9
23
)-2
⇔
y=9x-25
Với x=
3
1
suy ra tiếp tuyến (t
3
): y=y
’
(
3

,
−−=⇒ mxxfxf
⇔
0)(2))((
,
=−−− xfmxxf
⇔
(x-2)[2x
2
-(3m-1)x+2]=0



=+−−=
=
⇔
02)13(2)(
2
2
xmxxg
x
Sáng kiến kinh nghiệm
6
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến y=-2 song song với
Ox
Nên để từ M(m; -2) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) thì g(x)=0 phải có
2 nghiệm phân biệt x
1
;x

+x
2
) + 4]
= 9[1 – (3m - 1) + 4] = 9[6 – 3m] = 54 -27m

⇒
m =
27
55
Với m =
27
55
thì
∆
g = (3m - 1)
2
– 16 > (3.2 - 1)
2
– 16 = 9 > 0
Vậy điểm M(
2;
27
55
−
)

Bài 4: Cho hàm số y = -x
3
+ 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ
được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

2
– (3a + 2)x + 3a + 2] = 0
⇔
(x + 1).g(x) = 0
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác (-1)
⇔




−
<≠−
>
⇔



≠+=−
>−+=∆
3
2
1
2
0)1(6)1(
0)63)(23(
a
a

2
– (3m - 4)x – (6m - 8)] = 0
⇔
(x - 2)g(x) = 0
Sáng kiến kinh nghiệm
7
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Từ M(m; -4) kẻ được 3 tiếp tuyến đi qua (C)
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân
biệt và khác 2
⇔





≠<
−<
⇔



≠−=
>+−=∆
2
3
4
4
01224)2(

f(x) = f’(x)(x - 2) + m
⇔
f(x) – f’(x)(x - 2) = m
⇔
g(x) = -2x
3
+ 12x
2
– 24x + 17 = m
Ta có g’(x) = -6(x - 2)
2

0≤

⇒
Bảng biến thiên
x -
∞
2 +
∞

)(
,
xg
- 0 -
g(x) +
∞
-
∞
Nghiệm của phương trình tìm tiếp điểm cũng là hoành độ giao điểm của

⇒
f(x) = f’(x)(x-m) + f(m)

⇔
f’(x)(x-m) – [f(x) – f(m)] = 0
⇔
(3ax
2
+ 2bx + c)(x-m) – [a(x
3
– m
3
)] + b(x
2
– m
2
) + c(x - m)] = 0
⇔
(x - m)[2ax
2
– (am – b)x – m(am + b)] = 0
⇔
(x - m)
2
[2ax + (am + b)] = 0






2
)( −
=⇔−=⇔
+−
=
Vậy M(
)
3
(,
3 a
b
f
a
b −−
)
∈
(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Nhận xét : f’(x) = 6ax + 2b = 0
⇒
Điểm uốn
; ( )
3 3
b b
U f
a a
− −
 
 ÷
 
Vậy trên đồ thị hàm bậc 3 điểm uốn là điểm duy nhất kẻ được đúng 1 tiếp



+==
−+==
mxxgyP
xxxfyC
2
22
2)(:)(
)1()1()(:)(

a. Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các điểm chung của (C) với (P).
Giải:
a. (C) và (P) tiếp xúc nhau
⇔



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm

⇔



mx
mx
xx
xxm
xxx
mxxx
Vậy với m = -3 hoặc m = 0 thì (C) và (P) tiếp xúc nhau.
b. Xét m = 1, x
0
= 0
⇒
(P): y = g(x) = 2x
2
+ 1
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0
= 0: y = g’(0)(x - 0) + g(0)
⇔
y = 1
+ Xét m = -3, x
0
=
2

⇒
(P): y = g(x) = 2x
2
– 3
Phương trình tiếp tuyến chung tại x
0

)+g(
2
)=4
2
x-7
Bài 2: Cho đồ thị (C): y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyên với
đồ thị tại A(1;0), B(-1;0)
⊥
với nhau.
Giải:
Sáng kiến kinh nghiệm
9
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Do A(1;0)
∈
(C); B(-1;0)
∈
(C) nên các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với
nhau
⇔
y’(1).y’(-1) = (4m - 4)(-4m + 4) = -1

⇔
-16m
2
+ 32m – 15 = 0

⇒
y’(x
0
) = 2
⇔
x
0
3
– x
0
2
+ x
0
+ 1 = 2
⇔
(x
0
- 1)(x
0
2
+ 1) = 0

⇔
x
0
= 1
⇒

Phương trình (t): y = 2(x – 1) + y(1)
⇔

⇒
4x
0
3
– 4x
0
+ 4 = 4
⇔
4x
0
(x
0
2
- 1) = 0
⇔
x
0
= 0; x
0
=
1±
Tại x
0
= 0
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y = 4x + y(0) = 4x – 1
Tại x
0

Giải:
Xét phương y
0
= x
0
3
+ mx
0
2
– m – 1
m∀

⇔
m(x
0
2
- 1) + (x
0
4
– 1 – y
0
) = 0
m∀
Sáng kiến kinh nghiệm
10
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
⇔
2
0
0

4 + 2m = 2
⇔
m = -1.
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài 1: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
24
2
1
2
1
xx −
. Viết phương trình tiếp tuyến đi
qua O(0;0) đến đồ thị (C).
Giải: Đường thẳng đi qua O(0;0) với hệ số góc k có phương trình y = kx tiếp
xúc với đồ thị (C): y = f(x)



=
=
⇔
kxf
kxxf
)('
)(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x).x
⇔
f’(x).x – f(x) = 0

1
2
3
224
2
xxxxx
Tại x
1
= 0
⇒
Tiếp tuyến (t
1
): y = f’(0).x
⇔
y = 0
Tại x
2
=
3
3−

⇒
Tiếp tuyến (t
2
): y = f’(
3
3−
).x =
x
9


=
+=
kxf
kxxf
)('
4)(
có nghiệm
⇒
f(x) = f’(x)x + 4
⇔
f’(x).x + 4 – f(x) = 0
⇔
(4x
3
– 8x)x + 4 – (4 – 4x
2
+ x
4
) = 0
⇔
x
2
(3x
2
- 4) = 0
Sáng kiến kinh nghiệm
11
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
⇔

y = 4
Tại x
2
=
3
32

⇒
tiếp tuyến: y = f(
3
32
)x + 4
⇔
y =
4
9
316
+
−
x
Tại x
3
=
3
32−

⇒
tiếp tuyến: y = f(
3
32−

1
, x
2
phân biệt.
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m = (x-x
1
)
2
(x-x
2
)
2

∀
x
⇔
x
4
– 4x
3
–kx + 3 – m =[x
2
-Sx+P]
2








−=
=
=+
=
mP
kSP
PS
S
3
2
02
42
2
2
⇔







−=−=
−==

xy
PTTT
x
x
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số:
4 2
4 4y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm A(0;4)
Bài 2: Cho hàm số:
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
đi qua điểm A(0;
3
2
)
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị.
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
1
12
+
−
=
x

3
+−= xy
⇔
4
1
4
3
−= xy
Bài 2: Tìm a,b để đồ thị (C): y =
1−
+
x
bax
cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp
tuyến tại A có hệ số góc bằng 3.
Giải:
Yêu cầu bài toán
⇔



−=
=
⇔



=−−
−=−
⇔

ba
b
ba
y
ba
y
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
Bài 1: Cho (C): y =
12
54
+
−−
x
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song
(
∆
): y=3x+2
.
Giải:đường thẳng y=3x+m tiếp xúc (C)
⇔
3x+m=
12
54
+
−−
x
x
có nghệm kép
⇔

45
32
−
−
=
x
x
y
Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
)(∆⊥
:y=-2x
Giải:Đường thẳng
mxy +=
2
1
tiếp xúc (C)
⇔
45
32
2
1
−
−
=+
x
x
mx
có nghiệm kép
⇔
(x + 2m)(5x - 4) = 2(2x - 3) có nghiệm kép

+−
x
x
Giải:
Đường thẳng đi qua A(0;1) với hệ số góc k có phương trình y = kx + 1 tiếp
xúc với đồ thị (C): y =
12
34
−
+−
x
x

⇔
kx + 1 =
12
34
−
+−
x
x
có nghiệm kép
Sáng kiến kinh nghiệm
13
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa

⇔
(kx + 1)(2x - 1) = -4x + 3 có nghiệm kép

⇔

12
−
+
x
x

⇔
phương trình k(x - 3) + a =
2
12
−
+
x
x
có nghiệm kép
⇔
[kx – (3k - a)](x -2) = 2x + 1 có nghiệm kép
⇔
kx
2
– [5k – (a - 2)]x + [6k – (2a + 1)] = 0 có nghiệm kép
⇔
k
0≠
và
∆
= [5k – (a -2)]
2
– 4k[6k – (2a + 1)] = 0
⇔




≠−=
=−=∆
>−=∆
a
a
a
ag
a
a
Bài 3: Tìm trên Oy những điểm kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y =
1
1
−
+
x
x
Giải:
Lấy bất kỳ A(0,a)
∈
Oy. Đường thẳng đi qua A(0,a) với hệ số góc k có
phương trình y = kx + a tiếp xúc với (C): y =
1
1
−
+
x
x

+ 2(a + 3)k + (a - 1)
2
= 0
Qua A(0,a) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
⇔
g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k
0≠



=+=∆
>+=∆
⇔
0)1(8'
0)1(8'
a
a




−=
=
⇔
1
1
a
a



Giải:
Lấy bất kỳ A(a,2) thuộc đường thẳng y = 2. Đường thẳng đi qua A(a,2) với hệ
số góc k có phương trình y = k(x - a) + 2 tiếp xúc với (C): y =
34
43
−
+
x
x
⇔
k(x -a) + 2 =
34
43
−
+
x
x
hay [kx – (ak - 2)](4x - 3) = 3x + 4 có nghiệm kép
⇔
4kx
2
– [(4a + 3)k - 5]x + (3ak - 10) = 0 có nghiệm kép
⇔
k
0≠
và
∆
= g(k) = (4a - 3)
2
k




= ≠


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)
Bài 2: Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
DẠNG 4: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/BẬC 1

2
0
0
2
0
0
0
2
0



≠+
=+−
⇔=
+
+−
⇒
mx
mmxx
mx
mmxx
k
0
= y’(x
0
) =
2
0 0 0 0 0
2

mmxx
xy
)(xg⇒
= x
2
– 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
khác (-m)
Sáng kiến kinh nghiệm
15
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Tiếp tuyến tại x
1
, x
2
vuông góc với nhau
)(').('1
211
xyxyk ==−⇔
=
))((
))((422
.
22
21
21
2
2

– 3m(x
1
+ x
2
) + 5m
2
= 0
⇔
5m – 3m(2m) + 5m
2
= 0
⇔
m(5 - m) = 0
⇔
m
{ }
0;5∈
Với m = 0 thì g(x) = x
2
= 0
⇔
x
1
= x
2
= 0 = -m loại do (**)
Với m = 5 thì g(x) = x
2
– 10x + 5 = 0
⇔

−
+ Đạo hàm: y’(x) =
m
y
mx
mmxx 2
)0('
)(
242
2
2
=⇒
−
+−
+ Tiếp tuyến tại A = (C)
Oy∩
có hoành độ x
A
= 0 nên có phương trình là:
(t): y = y’(0)(x - 0) + y(0)
1
2
:)( −=⇔ x
m
yt
+ Giao điểm của (t) với TCĐ: x = m có tung độ là y =
11.
2
=−m
m

2
+ Đạo hàm: y’(x) =
2
2
2
22
16
)0('
)4(
)16(612
m
m
y
mx
mmxx −
=⇒
+
−+−−
+ Tiếp tuyến
TCĐ⊥
: x =
40160)0('
4
2
±=⇔=−⇔=⇔
−
mmy
m
+ Tiếp tuyến
TCX⊥

1
22
2
+
++
x
xx
các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó
vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Sáng kiến kinh nghiệm
16
: x=
4
m−
: y =
16
7
4
3 m
x +
−
Giáo viên: Đinh Văn Ba Trung tâm GDTX Thiệu Hóa
Giải:
y = f(x) =
1
22
2
+
++
x

+
x
x






+−⇒=⇒+−=
−
−−⇒
−
=⇒−−=
⇔
)
2
23
,
2
2
1(
2
23
2
2
1
)
2
23

2
3
1
−x
là
3
1
nên tiếp tuyến
)(∆⊥
có hệ số góc là
(-3).
Đường thẳng y = -3x + m tiếp xúc với (C)
mx
x
xx
+−=
+
++
⇔ 3
2
33
2
có nghiệm
kép
⇔
4x
2
– (m - 9)x – (2m - 3) = 0 có nghiệm kép
⇔
∆

x
xx
= 2x – 3 +
2
1
−x
. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương
trình y’(x) = 1
⇔
2 -



=
=
⇔=
−
3
1
1
)2(
1
2
x
x
x
Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình :y = (x - 1) – 2 = x – 3
Tiếp tuyến tại x = 3 có phương trình :y = (x - 3) + 4 = x + 1
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Bài tập: Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông

xx
có nghiệm kép
⇔
[kx – (k + 1)](x + 1) = x
2

+ x + 1 có nghiệm kép
⇔
(k - 1)x
2

– 2x – (k + 2) = 0 có nghiệm kép
⇔




+−=
−−=
⇔



=−+==∆
≠−
2/)51(
2/)51(
01)(
01
2

−+
=
x
xx
y
. Tìm các điểm A
∈
Ox kẻ được hai tiếp tuyến
đến (C).
5. Hiệu quả đạt được
Sau khi thực hiện xong chuyên đề trên học sinh đã nâng cao được khả năng tư
duy khi làm các bài toán về tiếp tuyến
Kết quả thu được ở hai lớp như sau:
Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu
C1 10% 62% 28% 0%
C3 25% 35% 32% 8%
C. Kết luận:
Các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng đối với
học sinh, nó chiếm một phần kiến thức trong các kỳ thi.
Mục đích của đề tài này là giúp học sinh có kỹ năng giải các bài toán liên
quan đến phần tiếp tuyến.
Trên đây là một số dạng toán mà tôi thấy phù hợp đối với tất cả các học sinh
đặc biệt là những học sinh khá, và giỏi, nhằm ôn luyện cho học sinh để từ đó
học sinh có thể định hướng cho các bài toán khác. Khi làm đề tài có những
vấn đề chưa hợp lí, rất mong được sự góp ý của các thầy cô để việc dạy học
có được hiệu quả cao hơn.
Thiệu Hoá, ngày 01/04/2012
Người viết
Sáng kiến kinh nghiệm
18