Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 1
TÀI LIỆU MỤC LỤC:
1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan
2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất
3- Lƣợng Giác
4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit
5-Tích Phân và Ứng Dụng
6-Số phức
7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz
8-Hình Học Không Gian Thuần Túy
9-Tổ Hợp và Xác Suất
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 2 Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa đủ
để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT cũng
nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới.
Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là
điều không hề khó khăn.

 Tập xác định.
 Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)
 Đạo hàm
 Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)
 Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị.
II. Tổng kết các dạng đồ thị:
1. Hàm bậc 3:
32
,0y ax bx cx d a    

 Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn.
 Dạng đồ thị được căn cứ vào: Số nghiệm của
'0y 
và dấu của hệ số a.
 Có 3 trường hợp:
 TH1:
'0y 
có 2 nghiệm phân biệt

có 2 cực trị.

0a 

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 4
 TH3:
'0y 
vô nghiệm

không có cực trị.

0a  0a 

2. Hàm trùng phương:
42

'0y 
có 1 nghiệm

có 1 cực trị. 0a 
0a 

3. Hàm phân thức:
22
,0
ax b
y a c
cx d


TCĐ
-
' 0,y x D  


hàm số nghịch biến.

B. Các dạng toán liên quan:
I. Đồng biên nghịch biến:
 Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2
Cho phương trình:
2
y ax bx c  

 
0a 

 Hệ thức Vi-et:
1 2 1 1
;
bc
S x x P x x
aa
     

 Để phương trình có hai nghiệm trái dấu
0P

 Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu










 So sánh nghiệm
12
,xx
của phương trình với các số
,
cho trước:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 6
Để phương trình có nghiệm
12
,xx
thõa mãn:

12
0
. ( ) 0
xx
af








12
0
. ( ) 0
2
x x a f
S




     







12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
2
af




     







12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
2
af
xx
af
S






     

   

, , , , , , , , , , ,a b a b a a b b   

 Phƣơng pháp chung:
 Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận.
 Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở
đây là các số a, b trong các khoảng đó.
Ví dụ 1: Cho hàm số
 
32
1
32
3
y x mx m x   
. Xác định m để hàm số đồng biến trên
R.
Giải:
Do
1
0
3
a 
nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 7
'0y
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 
2
' 1 2 3 2y m x mx m    

Để hàm số nghịch biến trên R
  
'
2
2
'
1
0
10
1
1
0
1 3 2 0
2
2 5 2 0
2
1
2
y
m
a
m
m
m m m
mm
mm

Ví dụ 3: Cho hàm số
32
2 3 6( 1)y x x m x   
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
khoảng
 
2,0

Giải:
Ta có:
2
' 6 6 6( 1)y x x m   

Từ tính chất của đồ thị, do
0a 
để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số
phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là
12
,xx

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng
 
12
,xx

Vậy để hàm số nghịch biến trên
 
2,0
thì
12

Ta có:
2
' 6 2 6y x x m  

Từ tính chất của đồ thị, do
0a 
để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp:
+ TH1: Hàm số không có cực trị
1
0 1 36 0
36
mm       
suy ra hàm số đồng
biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng
 
2,

+ TH2: Hàm số có cực trị
0  
. Gọi các điểm cực trị là
12
,xx
thì hàm số đồng biến
trên các khoảng
   
12
, , ,xx 

Để hàm số đồng biến trên
 








Vậy khi
14
3
m 
thì hàm số đồng biến trên khoảng
 
2,

Ví dụ 5: Cho hàm số
4
xm
y
xm



.
a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên
 
1, 

Giải:



Vậy
0m 
thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 9
b) Ta có khi
0m 
thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:
 
m
và
 
4m, 

Để hàm số nghịch biến trên
 
1, 
thì
   
1, 4 ,m   

Có nghĩa là
1
41
4
mm    

4mx
y
xm



.
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng
 


4/Cho hàm số
1x
y
xm



. Xác định m để:
a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
 
0,

5/Cho hàm số
42
2 3 1y x mx m   
. Xác định m để

3 3 3 4y x mx x m    
. Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên
đoạn có độ dài đúng bằng 1.
8/Cho hàm số
32
1
( 1) 3( 2) 1
3
y mx m x m x     
. Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch
biến trên
 
2,
.
9/Cho hàm số
22
3(2m 1)x (12 5) 2y x m x     
. Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời
trên cả 2 khoảng
 

và
 
2,

10/Cho hàm số
32
3 ( 1) 4y x x m x m    
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
 

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 11
II. Cực trị:
 Bài toán 1: Xác định m để hàm số đạt cực trị.
 Phƣơng pháp: Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số để suy luận.
 Tìm m để đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d   

 
0a 

 Có cực trị
'
0
y
  

 Không có cực trị
'
0
y

0
'( ) 0
"( ) 0
o
o
a
yx
yx








-Đạt cực tiểu tại
o
xx

0
'( ) 0
"( ) 0
o
o
a
yx
yx



, tìm m để:
a) Có 3 cực trị
b) Có 1 cực trị
c) Chỉ có cực tiểu, không có cực đại.
Giải:
Ta có:
 
32
' 4 4 4y x mx x x m   
Suy ra:
2
0
'0
x
y
xm







Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 12
a) Để hàm số có 3 cực trị thì
'0y 
có 3 nghiệm phân biệt


Ví dụ 3: Cho hàm số
42
1y mx x  
, tìm m để hàm số đạt cực đại tại
1x 

Giải:
Ta có:
3
' 4 2y mx x
và
2
" 12 2y mx

Để hàm số đặt cực đại tại
1x 
thì :
0
'(1) 0
"(1) 0
a
y
y







Vậy
1
2
m 

 Bài toán 2: Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức hay
một yêu cầu về hình học phẳng của đề bài ( như tam giác, khoảng cách…)
 Phƣơng pháp:
 Bước 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu.(như bài toán 1)
 Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài suy ra phương trình theo m. Giải tìm m.
 Bước 3: So sánh m tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận.
 Đối với hàm số bậc 3:
32
y ax bx cx d   

Ta thấy:
D
,
C CT
xx
chính là nghiệm của
'0y 
nên ta sẽ sử dụng hệ thức Viet để
giải dạng toán này.
 Đối với trùng phƣơng :
42
y ax bx c  

Ta thấy:
D

Ta có:
2
' 2 1y x mx  

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
'0y 
có 2 nghiệm phân biệt:

'2
'
0 1 0 1 1
y
m m m          
(*)
Áp dụng Viet cho
'0y 
:
12
12
2
1
x x m
xx
  





Theo đề:





Để hàm số có cực đại cực tiểu thì
'0y 
có 3 nghiệm phân biệt
2
xm
có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m

Với
0m 
thì
2
0
0
'0
x
x
y
xm
xm




  


43
0( )
0 ( 1) 0
1( )
ml
m m m m
mn


       




Vậy
1m 
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài tập vận dụng:
1/ Cho hàm số
 
32
21y x x m x m    
. Xác định m để hàm số:
a) Không có cực trị.
b) Có cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn hệ thức
1 2 1 2
4x x x x

2x 
.
2/Cho hàm số:
42
(1 ) 2 1y m x mx m    
(
1m 
)
a) Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
b) Xác định m để hàm số có 1 cực trị.
c) Xác định m để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.
3/Cho hàm số:
32
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m     
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và hoành độ của hai điểm cực trị trái dấu.
4/ Cho hàm số:
4 2 2
21y x m x  
. Xác định m để:
a) Hàm số có 3 cực trị
1 2 3
,,x x x
thỏa mãn hệ thức
222
1 2 3
1xxx  

y f x x x y  
với:
()
oo
y f x

 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Cho hàm số:
()y f x
có đồ thị (C)
()y g x
có đồ thị (C‟)
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau là hệ sau có nghiệm:

( ) ( )
(*)
'( ) '( )
f x g x
f x g x






 Số nghiệm của hệ (*) là số tiếp điểm của hai đồ thị.
 Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc nhau.
 Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến tại điểm
 
; ( )


Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
4 6 1y x x  

a) Tại điểm có hoành độ bằng
1
.
b) Tại điểm có tung độ bằng 1.
c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng
3yx

d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
1
1
9
yx  

Giải:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 16
a) Với
1 ( 1) 9
oo
x y f      

Ta có:
2



     




Khi
 
0, 1 ' 0
o o o
x y f x   
. Phương trình tiếp tuyến là:
 
0 0 1 1y x y    

Khi
 
3
, 1 ' 9
2
o o o
x y f x   
. Phương trình tiếp tuyến là:
3 25
9 1 9
22
y x y x

     


       



d) Tương tự, Do tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
1
1
9
yx  
nên:
 
2
1 1 3
. ' 1 12 12 9
9 2 2
o o o o o
f x x x x x          

Với
1
1
2
oo
xy    
. Phương trình tiếp tuyến là:
17
99
22
y x y x

yC
x



. Tìm điểm
()MC
để tiếp tuyến của
()C
tại M
cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB.
Giải:
Gọi tiếp tuyến tại
( ; )
oo
M x y
là đường thẳng d có dạng:
'( )( )
o o o
y f x x x y  
(1)
Ta có:
2
1
' '( )
( 1)
y f x
x



   



Gọi
 
22
( ) 2 2 1;0 2 2 1
o o o o
A d Ox A x x OA x x            
22
22
2 2 1 2 2 1
( ) 0;
11
o o o o
oo
x x x x
B d Oy B OB
xx

   
     





1
o
o
o
x
x
x


  





Vậy các điểm M cần tìm là:
(0;1)
và
(2;3) Bài toán 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y f x
biết tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
AA
A x y
.
Phƣơng pháp:
 Bước 1: Gọi tiếp tuyến qua


Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 18
Ví dụ 1: Cho hàm số:
3
3y x x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến
đi qua điểm
 
1, 2A 
.
Giải:
Gọi tiếp tuyến qua
 
1, 2A 
có phương trình
 
: ( 1) 2d y k x  

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:
 
3
2
1 2 3
33
k x x x
kx



    

   
  
  
  
  









Với
10xk  
Phương trình tiếp tuyến là:
0( 1) 2 2y x y     

Với
19
24
xk    
Phương trình tiếp tuyến là:
9 9 1
( 1) 2 y

2
2
1
3
1
x
kx
x
k
x











 
 
 
 
 
 





    

  
  
  


  







Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
 
1 1 2
2
3 3 3
y x y x    
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

36yx
.
3/Cho hàm số:
32
32y x x  

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
(0 ,3 )A
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) tại những điểm cách đều hai trục tọa độ.
4/Cho hàm số:
32
32y x x m   
(C) m: tham số
M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Xác định m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi
qua điểm
(3,2 )A
.
5/Cho hàm số
2
1
x
y
x


(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của © và trục Oy.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại A, Oy tại B sao
cho tam giác OAB cân tại O.

( ) ( )f x g x

 Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

( ) ( )f x g m

 Phƣơng pháp chung:
 Vẽ đồ thị hàm số
()y f x

 Số nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g m
là số giao điểm của hai đồ thị:
()
()
y f x
y g m





Với
()y g m
là đường thẳng song song Ox.
 Đặc biệt:
 Đồ thị hàm số
()y f x
: Từ đồ thị hàm số
()y f x

2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 21
b) Ta có
3 2 3 2
3 0 3 2 2x x m x x m       

Số nghiệm của phương trình
32
30x x m  
là số giao điểm của hai đồ thị:
32
32
2
y x x
ym

  



Với
2ym
là đường thẳng song song Ox.
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Nếu
2 2 0mm   
thì
2ym
cắt (C) tại 1 điểm

phương trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu
04m
phương trình (1) có 3 nghiệm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
3y x x
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Xác định m để phương trình sau có đúng 6 nghiệm phân biệt:
3
3x x m

c) Xác định m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:
3
30x x m  

Giải:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4
3
2
1
-1
-2
-3
-2
2

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng

ta bỏ phần đồ thị nằm
dưới Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox. Ta được:

3
2
1
-1
-2
-2
2

Dựa vào đồ thị để phương trình
3
3x x m
có đúng 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng
ym
cắt đồ thị
3
3y x x
tại 6 điểm phân biệt
02m  

Vậy
02m  
thì phương trình
3
3x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
c) Ta có
33

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 23

3
2
1
-1
-2
-2
2

Dựa vào đồ thị để phương trình
3
30x x m  
có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường
thẳng
ym
cắt đồ thị
3
3y x x m  
tại 3 điểm phân biệt
0mm     

Vậy
m 
thì phương trình
3
30x x m  
có 3 nghiệm phân biệt.
 Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đường thẳng.
 Giao điểm của đồ thị hàm số

Chú ý: Sử dụng Viet cho phương trình
2
0ax Bx C  
đối với bài toán này.
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số
32
28y mx x x m   
cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt.
Giải:
Ta có PTHDGD:
32
2 8 0mx x x m   
(*)
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 24

 
 
2
2
( 2) ( 2 1) 4 0
2
( 2 1) 4 0 ( )
x mx m x m
x
mx m x m g x
     


   


  
  

  







Vậy
1 1 1
6 2 6
mm    

 Giao điểm của đồ thị hàm số
ax b
y
cx d



và đƣờng thẳng
y kx m


20mx mx   
(1)
 
1x 

Ta thấy hai nhánh của đồ thị (C) được phân chia bởi tiệm cận đứng
1x 
nên đường
thẳng
1y mx
cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh có hoành độ
12
,xx
thì
12
1xx
.
2
0 8 0
80
. (1) 0 ( 2) 0 0
0
00
mm
mm
a f m m
m
am

   

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi
0m 

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
32
34x x m  

c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
32
14
33
x x m  

d) Xác định m để phương trình sau có 1 nghiệm
3
2
1
3
x x m

e) Xác định m để
 
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
f) Xác định m để
 
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
42
20x x m  

c) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
42
23x x m  

2/Cho hàm số
32
y x mx m  
. Xác định m để đường thẳng
yx
cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm
phân biệt:
a) Có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
b) Có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
3/Cho hàm số
32
32y x x  
. Gọi (d) là đường thẳng qua
 
3,20A
có hệ số góc là m. Tìm m
để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt.
4/Cho hàm số
42
(3m 2) 3y x x m   

a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.