Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1.1. Kiến thức liên quan
1.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
sin
MH
OM
α
• =
cos
OH
OM
α
• =
tan
MH
OH
α
• =
cot
OH
MH
α
• =
1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho
ABC
∆
vuông ở A
• Định lý Pitago:

1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường
• Định lý hàm số Côsin:
2 2 2
2 .cosa b c bc A= + −
• Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
1.1.4. Các công thức tính diện tích.
a. Công thức tính diện tích tam giác.
•
1 1 1
.
2 2 2
a b c
S a h bh ch= = =
•
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B= = =
•
3
.
183
.
8

2
3
4
a
S =
b. Diện tích hình vuông cạnh a:
2
S a=
(H.1)
c. Diện tích hình chữ nhật:
.S a b=
(H.2)
d. Diện tích hình thoi:
1
.
2
S m n=
(H.3)
e. Diện tích hình thang:
( )
1
2
S h a b= +
(H.4)
1.1.5. Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng
• Đường chéo hình vuông cạnh a là
2d a=
(H.5)
• Đường cao tam giác đều cạnh a là
3

1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện
1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dụng công thức thể tích
Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể
tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam
giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông,…
a. Thể tích khối chóp.
Ví dụ 1. (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SH =
3a
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.
Lời giải.
Vì
( )
SH ABCD⊥
nên
( )
. D
2 3
1 1
. .
3 3
1 5 5 3
3
3 8 24
S CDMN CDMN ABC BCM AMN
V SH S SH S S S
a a a
= = − −

2SA SC AB BC AC a+ = + = =

nên
SAC
∆
vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên
2
2 2
AC a
SH = =
2 3
.
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a
V SH S a a⇒ = = =
(đvtt)
*Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy
Ví dụ 3.
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp
đáy góc
0
60
.
Lời giải
Gọi H là tâm của tam giác
ABC
, M là trung điểm của BC

2 4
ABC
S AM BC a⇒ = =
(đvdt) (2)
Mà ta lại có
,AM BC SH BC⊥ ⊥
nên
SM BC
⊥
. Do đó, Góc giữa mặt phẳng
( )
SBC
và mặt
phẳng
( )
ABC
bằng góc giữa SM và AM hay góc
·
0
60SMA =
.
Do H là trọng tâm tam giác
ABC
nên
1 3
3 6
HM AM a= =
Trong tam giác vuông
SHM
,

thì góc giữa d và
( )
α
bằng
0
90
-Nếu
( )
d
α
⊥
thì góc giữa d và
( )
α
bằng góc giữa d và d’ là hình chiếu của d trên
( )
α
111
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
+Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
-Cách 1: Xác định hai đt A, B sao cho
( ) ( )
,a b
α β
⊥ ⊥

Ví dụ 6.
Cho tứ diện
ABCD
có
ABC
là tam giác đều cạnh a,
BCD
là tam giác vuông cân tại D,
mặt phẳng
2
r
π
. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên
AH BC⊥

mà
( ) ( )
ABC BCD⊥
,
( ) ( )
ABC BCD BC∩ =
⇒
AH
( )BCD⊥
.
Ta có
ABC∆

V AH S a a⇒ = = =
(đvtt)
*Nhận xét:
Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy góc thì chân đường cao
thuộc giao tuyến mặt đó với đáy, đường cao nằm trong mặt bên hoặc mặt chéo đó.
*Ghi nhớ:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,
d a
a a d
α β
α β β
α
 ⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥

112
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Ví dụ 7.
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD

là:
2
. 2
ABCD
S AB BC a= =
Do AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng
( )
ABCD
nên góc giữa SC và mặt phẳng
( )
ABCD

là góc
·
0
60SCA =
Ta có:
·
2 2 0
5 .tan 5.tan60 15AC AB BC a SA AC SCA a a= + = ⇒ = = =
Vậy thể tích khối chóp là:
3
.
2 15
3
S ABCD
a
V =
(đvtt)
*Nhận xét:

mà tam giác
ABC
vuông tại A nên H là trung điểm của BC.
Vì
SBC
là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao
3
2 . 3
2
SH a a= =
Theo định lí Pitago,
2
2 2 2
1 3
3 3 .
2 2
ABC
a
AC BC AB a AC a S AB AC= − = ⇒ = ⇒ = =
(đvdt)
Nên thể tích khối chóp là:
3
.
1
.
3 2
S ABC ABC
a
V SH S= =
(đvtt)

IBC ABCD ABI CDI
IH BC S S S S= = − −

2 2
2 2
3
3
2 2
a a
a a= − − =
nên
2 3 3
5
BCI
S
IH a
BC
= =
.
Từ đó tìm được
3
.
3 15
5
S ABCD
V a=
(đvtt)
Ví dụ 10.
Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng
1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?

x
V x x x= − = −
114
H
I
A
B
C
S
D
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Vì vậy,
2
9 3
MaxV =
đạt tại x =
2 3
3
b. Thể tích khối lăng trụ.
Với thể tích khối lăng trụ ta vẫn sử dụng những hướng trên để làm đó là tìm cách xác định
đường cao và diện tích đáy là được.
Ví dụ 1.
Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
4 , 5AB a AC a= =
mặt phẳng
( )
' 'ABC D
hợp

' 'ABC D
và đáy là góc
·
0
' 45CBC =
Suy ra, tam giác vuông cân nên
' 3CC BC a= =
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là
3
. ' ' ' '
'. 36
ABCD A B C D ABCD
V CC S a= =
(đvtt)
*Nhận xét:Với khối lăng trụ và khối đa diện khác ta có thể sử dụng một số hướng sau:
+Sử dụng trực tiếp các công thức đã biết về thể tích khối lăng trụ
+Quy về tính thể tích một khối chóp đặc biệt.
+ Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính
+Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để được khối đa diện dễ tính thể tích.
Ví dụ 2.
Cho lăng trụ đứng tam giác
. ' ' 'ABC A B C
, đáy là tam giác đều cạnh a và diện tích tam giác
'A BC
bằng
2
2a
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
Gọi I là trung điểm của BC.

115
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Do tam giác AIA’ vuông tại A nên
2 2
61
2
AA A I AI a
′ ′
= − =
3
.
183
.
8
ABC A B C ABC
a
V S AA
′ ′ ′
′
= =
(đvtt)
Ví dụ 3.
Cho lăng trụ đứng tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại A với AC = a,
·
0
60ACB =

là góc
·
0
' 30AC B =
3
tan30
o
AB
AC a
′
⇒ = =
Trong tam giác vuông
' 'AC A
,

2 2 2
' ' ' ' 8 2 2AA AC A C a a= − = =
Trong tam giác vuông
ABC
,

·
tan 3 3
AB
ACB AB a
AC
= = ⇒ =
2
1 3
.

.
Lời giải
Vì
ABD∆
đều cạnh a nên
22
3
2
3
4 2
ABCD ABDABD
a
SS
a
S == ⇒ =
ABB
′
∆
vuông tại B
tan30 3
o
BB AB a
′
⇒ = =
Vậy
. ' ' ' '
3
3
.
2

ABC
bằng
0
60
0
3
.sin 60
2
a
C H CC
′ ′
⇒ = =

2
3
4
ABC
a
S =
Vậy
3
3 3
.
8
ABC
a
V S C H
′
= =
Ví dụ 6.

và đáy lần lượt là
·
·
0 0
45 , 60ANH AMH= =
Đặt
’A H x
=
ta có:
·
' cotNH A H ANH x= =
·
' .cot
3
x
MH A H AMH= =
Vì
AMHN
là hình chữ nhật nên
2 2
2 2 2 2
4
3 3
x x
AH AM AN x= + = + =

mà
2 2
2 2 2 2 2
4 7 3

117
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’,DD’ lần lượt tại E,F
Khi đó, thiết diện tạo bởi (α) và hình lập phương chính là hình bình hành
AEKF.
Có OM là đường trung bình tam giác ACK nên
1
2 3
a
OM CK= =
Do đó,
3
a
BE DF= =
. Đặt
1 2
,
ABEKFDC AEKFA B C D
V V V V
′ ′ ′ ′
= =
Để ý rằng tứ giác BCKF=C’B’EK, mặt phẳng (AA’C’C) chia khối ABEKFDC
thành hai phần bằng nhau nên
3
1 .
3 3
3
2 . 1
1 2 1
2 2. . . . . ,

60
,
biết góc
·
0
60 ,BAD =
2 , 7AB a BD a= =
. Tính
. ’ ’ ’ ’ABCD A B C D
V
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của A’ trên
( )
ABD
,
J,K là hình chiếu của H trên
,AB AD
Áp dụng ĐL cosin cho
ABD∆
·
·
2 2 2
2 2
2
2 . .cos
2 . 3 0 3
1 3 3
. .sin
2 2
ABD

0
3 3 9
' .tan60
5 7 5 7
ABD
S a a
r A H r
p
∆
= = ⇒ = =
+ +
118
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Từ đó,
3
. ' ' ' ' '.
1 27 3
6 6. ' .
3
5 7
ABCD A B C D A ABD ABD
a
V V A H S
∆
= = =
+
*TH2: Nếu H nằm ngoài
ABD∆
thì H là tâm đường tròn bàng tiếp
ABD∆

ABCD A B C D A ABD ABD
a
V V A H S
∆
= = =
−
Tương tự hai TH còn lại ta được các kết quả:
3 3
27 3 27 3
,
1 7 7 1
a a
+ −
Ví dụ 9.(Đề dự bị ĐH khối A năm 2006)
Cho hình hộp đứng
.ABCD A B C D′ ′ ′ ′
có các cạnh
3
, '
2
a
AB AD a AA= = =
và
·
60
o
BAD =
.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′.
a) Chứng minh rằng

AA AB AB AD a AC BN= − − = − − = ⇒ ⊥
uuur uuur
(2)
Từ (1) và (2) suy ra,
( )
'AC BDMN⊥
b) Cách 1: dựa theo câu a) tính chiều cao và
BDMN
S
Cách 2:
. . ' ' ' . ' . ' . ' 'A BDMN ABD A B D A A MN B B MN M BDD B
V V V V V= − − −
3
2 0
. ' ' '
3 1 3
'. . sin 60
2 2 8
ABD A B D ABD
a a
V AA S a= = =
(đvtt)
2 3
0
. ' . ' '
1 1 3 1
'. . . sin 60
3 3 2 2 4 32
A A MN B B MN A MN
a a a

Bài 1. (Đề TN-THPT PB 2007 Lần 2) Cho hình chóp tứ giác
.S ABCD
có đáy là hình vuông
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA AC=
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
Đáp số:
3
.
2
3
S ABCD
V a=
Bài 2. (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp
.S ABC
có mặt bên
SBC
là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng
0
120
. Tính thể tích của
khối chóp
.S ABC
theo a.
Đáp số:
3
.

mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Đáp số:
3
2 15
5
V a=
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD = 4a,
10BC a=
, biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy;
mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp số: V
S.ABCD

3
6 2a=
.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh 2a, SA = SB = SC = 2a. Gọi V
là thể tích khối chóp S.ABCD, chứng minh
3
2 .V a≤
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA
tạo với đáy một góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp.
120
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Đáp số:
3
8 3 .
SABC

vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SD tạo với
mặt phẳng (SBC) một góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 14. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân,
5AB AC a
= =
, BC = 6a, các mặt
bên tạo với đáy một góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp SABC.
1.2.2. Phương pháp sử dụng tỉ số diện tích, thể tích và tính chất khoảng cách
Thông thường, khi tính diện tích đáy ta có thể linh hoạt sử dụng các hệ thức lượng trong
tam giác hay tính toán dựa trên việc thêm bớt các đa giác dễ tính diện tích. Ngoài ra, ta có thể sử
dụng thêm tính chất về tỉ số diện tích. Cụ thể:
Cho ΔABC,
' , 'B AB C AC∈ ∈
. Khi đó,
'
' '
'
' '
.
B BC
ABC
AB C
ABC
S
B B
S AB

4
AC
AH =
. Gọi CM
là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ
diện SMBC theo a.
Lời giải.
Trong tam giác vuông
SAH
và
SCH
Ta có
2
2 2 2
2 14
4 4
a a
SH SA AH a
 
= − = − =
 ÷
 

2
2
2 2
2
14 3 2
16 4
32

 

Bây giờ ta lại quay trở lại Ví dụ 9 ở phần 2.1.b với cách làm sử dụng kĩ thuật khoảng cách và
cách bù thêm khối đa diện.
Ví dụ 2. Xem lại đề bài ở Ví dụ 9 ở phần 2.1.b
Lời giải.
Gọi
'I AA DM= ∩
dễ dàng chứng minh được A’ là trung điểm của AI nên
2 3
.
1 1 3
. . 3 .
3 3 4 4
I ABD ABD
a a
V IA S a= = =
(đvtt)
. ' . ' '
1
'.
3
A A MN I A MN A MN
V V AA S= =
2 3
1 3 1 1 3
. . .
3 2 2 4 4 32
a a a
= =

V
=
3
. . '.
2 2 2 1 4
. . .2 .2
3 3 3 6 9
I ABC M ABC A ABC
V V V a a a a⇒ = = = =
Ví dụ 4.
Trên cạnh
,SA SB
của hình chóp
SABC
lần lượt lấy điểm D và E sao cho
1
2
SD SE
DA EB
= =
. Mặt
phẳng qua DE và song song với SC chia khối chóp
SABC
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích
của hai phần đó.
Lời giải.
Dễ dạng xác định được thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua DE, song song với SC và hình chóp
SABC
chính là hình bình hành
DEFG

d C SAB S
d C SAB S V
= = =
=
= =
( )
( )
( )
( )
. .
2 2 1 2 1 2 4
. , . . , .
3 3 3 3 3 3 9
ABDF F ABD C ABD ABD SAB SABC
V V V d C SAB S d C SAB S V= = = = =
. .
20
27
ABDEFG A DFG B DEF ABDF SABC
V V V V V⇒ = + + =
Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là:
20
7
123
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
b. Sử dụng tỉ số thể tích
Cho hình chóp S.ABC có
' , ' , 'A SA B SB C SC∈ ∈ ∈
. Khi đó,
' ' '

1
, 2,
2
BM AC a BN a= = =
·
2 2 2 2
2 . .cos 3 3MN AM AN AM AN MAN a MN a= + − = ⇒ =
Do đó, tam giác BMN vuông tại B.
Vì AB=AM=AN nên hình chiếu của A
trên (BMN) là tâm H của đường tròn
ngoại tiếp
BMNV
, H cũng
chính là trung điểm của MN
Có
1
. .
6
ABMN
ABCD
V AB AM AN
V AB AC AD
= =
3
2 2
.
1 1 3 1 2
. . . 2
3 3 4 2 12
A BMN BMN

. . 1
. . 4
C A B C
V CM CN CC
V CA CB CC
′ ′ ′
′
= =
′ ′ ′
1
1
. ;
4 3 12
V V
V⇒ = =
2
1
.
3 12 4
V V
V V= − =
3 ' ' ' ' ' ' 2 3
4
; ;
C ABC CMNC CA B C CMNC
V
V V V V V V V= − = − = =
4 1 2 3
5
12

3 2 3 3
IK DK ID DK DK
IP CP IC AP AP
= = = ⇒ = ⇒ =
APQ∆
đồng dạng
DKQ∆

3 3
2 5
AQ AP AQ
DQ DK AD
⇒ = = ⇒ =
Đặt
ABCD
V V=
Ta có:
1 1 1
. ,
5 2 10
ANPQ
ANCD DACN
ANPQ
ANCD ABCD DABC
V
V VAP AQ DN
V V
V AC AD V V DB
= = = = = ⇒ =
( )

lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
125
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Đáp số:
3
3
.
96
CMNP
a
V =
Bài 2. (Đề thi ĐH khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a,
2AD a=
, SA = a và SA
⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Đáp số:
3
2
.
72
ABIN
a
V =
Bài 3. (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi
M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60

Bài 6. Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho
CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. Hãy xác định vị trí
điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có
thể tích bằng nhau).
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, gọi M,N,P lần thuộc các đoạn
AA’,BC,CD sao cho
AA' 3 ' , 3 , 3A M BC BN CD DP= = =
mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương
thành hai phần tính thể tích từng phần
2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
2.1. Các bài toán về chứng minh tính vuông góc
2.1.1. Kiến thức cơ bản cần biết
a. Tiêu chuẩn vuông góc
+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông
góc với hai đường thẳng giao nhau của (P).
+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng
90
0
.
126
b
a
d
P
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
b. Các định lý về tính vuông góc
d'
d
P


+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó
( ) ( )P Q∩ = ∆
thì
( )
R∆ ⊥
+ Nếu
( )a Q⊥
và
( )
P a⊃
thì
( ) ( )
P Q⊥

2.1.2. Các dạng toán thường gặp
* Chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
- Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng
0
90
.
- Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c
⊥
b.
- Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương
. 0u v =
urr
.
- Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp(
α
) chứa đường thẳng b. (hay dùng)

N
M
E
H
D
C
B
A
S
a
2
a
I
M
D
C
B
A
S
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH
⊥
AD
Vì (SAD)
⊥
(ABCD), suy ra SH
⊥
(ABCD) suy ra SH
⊥
BP (1)

SEBC cũng là hình bình hành
/ /SC EB⇒
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC
ta có MP // EB, PN // AC.
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)
Ta có
DB AC⊥
và
( )
SH (ABCD)BD SH do⊥ ⊥
( )
BD SAC⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
( )
DB MNP BD MN⊥ ⇒ ⊥
(đpcm)
Ví dụ 3. (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2a
, SA =
a và
( )SA ABCD⊥
. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
( ) ( )SAC SMB⊥
.
Lời giải
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
Ta có MA = MD và AD // BC
nên theo định lý Talet suy ra

3 6 2
a a a
AI MI MA
 
+ = + = =
 ÷
 
Vậy AMI là tam giác vuông tại I
MB AC⇒ ⊥
(1)
128
H
M
N
P
A
C
B
D
S
Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 3
Mặt khác
( )SA ABCD SA MB⊥ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1), (2) suy ra
( ) ( ) ( )MB SAC SMB SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒
đpcm
Bài tập tự luyện.
Bài 1. (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
trong đó

.
Bài 5. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với (P)
tại A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN = v.
Chứng minh rằng
2 2
a(u + v) = a u+
là điều kiện cần và đủ để (SAM)
⊥
(SMN).
Bài 6. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông
góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx, Dy.
Đặt BM = u, DN = v.
a. Tìm mối liên hệ giữa u, v để
(MAC) (NAC) ⊥
b. Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh
(AMN) (CMN)⊥
.
Đáp số: a.
(MAC) (NAC) 2uv = a ⊥ ⇔
Bài 7. (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông
ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng
(A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 8. Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và
(SBC) vuông góc với nhau.
Bài 10. (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh

BI d B P
=
.
c) Mặt phẳng (Q) qua A và (Q) // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với
( )B Q∀ ∈
.
Cách 3. Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P), ta có thể dựa vào công thức tính thể
tích khối chóp với đỉnh là A và đáy nằm trên mặt phẳng (P) có diện tích S. Khi đó,
3
( ;( ))
V
d A P
S
=
.
Cách 4. Dựa vào bài toán cơ bản: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc
với nhau. Kẻ
OH (ABC)⊥
. Khi đó,
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
⊥
(ABCD),
3SA a=
, gọi G là trọng tâm Δ
SAB

Từ G hạ GH
⊥
SF tại H
→
GH = d(G; (SAC)). Ta có
2 1 2
3 3 6
a
GH EF BO= = =
.
Lời giải 2: Tính gián tiếp
Nhận xét: EG cắt (SAC) tại S và
2
3
ES
GS
=

⇒
d(G;(SAC)) =
2 2 2
( ;( ))
3 3 6
a
d E SAC EF= =
.
GB cắt SA tại N và
3
BN
GN

. Ta có
1
( ;( ))
3
SABC
GSAC BASC
ASC
V
V V d G SAC
S
∆
= → =

3
1 3
.
3 2
SABC ABC
a
V SA S
∆
= =
,
2
1 2
.
2 6
ASC
a
S SA AC


Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SI
⇒
HK = d(H;(SAC))
⇒
HK =
3
2 7
a

⇒
d(B;(SAC)) = 4.HK =
6
.
7
a

 Lời giải 2:
Ta dễ dàng tính được
3
2 3 .
SABC
V a=

Lại có SB
⊥
AB
⇒

2 2

7
SABC
SAC
V a
S
∆
=

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
,SA a=
SA
⊥
(ABCD). Tính
khoảng cách giữa SB và AC.
Lời giải 1:
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng
∆
qua B song song với
AC.
Đặt (P) = (
∆
, SB).
Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)).
Từ A hạ AI
⊥
∆
tại I; Từ A hạ AH
⊥
SI tại H suy ra AH =
d(A; (P)). Ta có AI =

6.SE a=
2
2 2 6 6 2 2 6
. .
2 2 2
SBE
a
S a a
∆
     
+ −
=
 ÷  ÷  ÷
     

=
( ) ( )
2 2
3
6 2 2 6 . 2 2 6 .
4 3
a a
+ − =

3
31 1 3
. ( ;( )) .
3 2 6 3
SABC
SABC