Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ
thừa cùng cơ sốhoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ
thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
- Nếu ai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ
thừa nào có cơ số lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
2. Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính
chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c
< b.c với c > 0)
Bổ xung kiến thức nâng cao:
1. Luỹ thừa của luỹ thừa: (a
m
)
n
= a
m.n
2. Luỹ thừa của một tích: ( a.b)
n
= a
n
b
n
.
Ví dụ: 2
5
.5
5
= (2.5)
5
= 10

n
n
m
m
a a=
Ví dụ :
( )
3
3
2
2 8
2 2 2 256= = =
Bài 1: So sánh các số sau:
a) 27
11
và 81
8
b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
Bài 2: So sánh các số sau:

44
– 72
43

Bài 5. Tìm x∈N, biết:
a) 16
x
< 128
4
b) 5
x
.5
x+1
.5
x+2
≤ 100 0 :2
18
18 chữ số 0
Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 2
2
+ 2
3
+ + 2
9
.
So sánh S với 5.2
8
.
1
Nếu a > b thì a

thừa 4n đều có tận cùng là 1.
3
4n
= 1 7
4n
= 1 9
4n
= 1
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ
thừa 4n (n ≠0) đều có tận cùng là 6.
2
4n
= 6 4
4n
= 6 8
4n
= 6
( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi
nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng
lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1.)
II/ Bài tập
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
74
30
; 49
31
; 87
32 ; 58
33 ; 23
35.

. 5
2
.5
4
.5
6
5
14
.
Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ + 3
30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính
phương.
Bài tập bổ sung
Chuyên đề 3
Số nguyên tố. Hợp số
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Xác định số lượng các ước của một số:
Nếu M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = a
x

3. Số 54 có bao nhiêu ước? Viết tất cả các ước của nó?
IV/ Bài tập
114. Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7 13 + 20
b = 147.247.347 – 13
116. Cho n∈N
*
. Chứng minh rằng số 111 1 2111 1 là hợp số
n chữ số1 n chữ số1
117. Tìm số bị chia và thương trong phép chia:
9**:17 = **, biết rằng thươnglà một số nguyên tố.
118. Cho a,n∈N
*
, biết a
n

M
5. Chứng minh a
2
+150
M
25
3
119. a) Cho n là số không chi hết cho 3. Chứng minh rằng n
2
chia 3
dư 1.
b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3. Hỏi p
2

1728cm
3
.
Bài 128: Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lượng các
ước là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.
Bài129: Tìm n ∈ N
*
biết:
a) 2 + 4 + 6 + + 2n = 210
b) 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = 225
Bài tập bổ sung
1. Chứng tỏ các số sau là hợp số:
A. 676767 B. 10
8
+ 10
7
+ 7 C. 17
5
+ 24
4
+ 13
21

D. 311141111 E. 10
100
- 7
2. Cho số 360
a) Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
b) Số 360 có bao nhiêu ước.
c) Tìm tất cả các ước của 360

N là tập hợp các ước của 50
a) Tìm A ∩ B
b) Tìm M ∩ N
Bài 131: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3
D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C ∩ D.
Bài 132: Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504 và 720.
Bài 133: Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480 (cm)
được lát loại gạch hình vuông. Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng
sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước lớn nhất
của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phòng đó cần bao nhiêu viên
gạch?
Bài 134: Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a) Hai số lẻ liên tiếp.
b) 2n + 5 và 3n + 7 (n ∈ N)
Bài 135: Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a) (a, a – b) = 1
b) (ab, a + b) = 1
Bài 136: Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau,
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n ∈ N).
Tìm (a, b).
Bài 137: ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ.
Bài 138: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là
18.
Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90
và ƯCLN của chúng là 15.
5
Bài 140: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng
là 27.
Bài 141: Cho a + 5b

khối vào từng nhóm. Mỗi nhóm đều có đủ học sinh 3 khối.
Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho bao nhiêu nhóm,
mỗi nhóm có bao nhiêu người và số học sinh mỗi khối trong một nhóm
là bao nhiêu.
Đ 14. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
1. Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)
2. Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thương của chúng
là những số nguyên tố cùng nhau.
3. Nếu a
M
m và a
M
n thì a
M
BCNN(m,n). Từ đó suy ra:
- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó
chia hết cho tích của chúng.
6
- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau
thì nó chia hết cho tích của chúng.
III/ Ví dụ: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30;
45; có số dư lần lượt là: 8 ; 20; 35.
Giải
Gọi số phải tìm là a. Ta có: a + 10 chia hết cho 18; 30; 45.
Vậy a + 10 ∈ BC (18,30,45).
BC (18,30,45) = 2.3
2

a
2
– 1 : 6.
7
Bài 154: Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
120.
Bài tập bổ sung
1.Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1.
2. Tìm các số tự nhiên a, b biết
ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105
3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10,
chia cho 15 dư 13 và cxhia hết co 23.
4. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và
thương của số lớn chia cho số nhỏ là bội của 6.
5. Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b?
6. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều dư
1. Tìm A biết A < 400.
7. Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250
em, khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho
6 dư 5, chia 10 dư 9. tìm số học sinh của khối 6
Chuyên đề 4
Nguyên lý Điriclê và bài toán chia hết
Bài 155: Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng
có ít nhất hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 154: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
Bài 154: Cho dãy số : 10; 10
2
; 10
3
; ;10

b) Nếu dùng dấu ngoặc thì có thể có những giá trị nào khác.
Bài 168: Tìm x biết:
a) x + (x + 1) + (2+x) + +(x+30) = 1240
b) 1 + 2 + 3 + +x = 210
Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978. Trong hệ
đếm CAN CHI năm đó là năm nào?
Bài 170: Chứng minh:
a) 10
n
+ 5
3

M
9 b) 43
43
-17
17

M
10
c) 555 5 chia hết cho 11 nhưng khôngchia hết cho 125
2n chữ số 5
Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sso cho chia nó cho 17 dư 5 ; chia
nó cho 9 dư 12
Bài 172: Ngày 1 tháng 2 năm 2003 là ngày thứ 7.
a) Hỏi ngày 1 tháng 3 ; ngày 1 tháng 4 của năm này là ngày thứ
mấy?
b) Ngày 1 tháng 2 nămm 2004 là ngày thứ mấy?
Bài 173: Cho A = 4 + 4
2

9
Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4.
Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Bài 179: Cho các số 12 ; 18 ; 27
a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó?
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều dư 1?
Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia 12 dư 10 ; chia 18 dư 16 ; chia
27 dư 25?
Bài tập bổ sung chương I
Chương II. Số nguyên
Đ 1. Tập hợp Z các số nguyên. Thứ tự trong Z
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 180.
Bài 180
Bài 183: Cho A = {x ∈ Z | x > -9}
B = {x ∈ Z | x < - 4}
C = {x ∈ Z | x ≥ - 2}
Tìm A ∩ B ; B ∩ C ; C ∩ A
Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.
Bài 182: Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm
nhỏ nhát có 2 chữ số có phải là 2 số nguyên liên tiếp nhau
không?
Bài 186: Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
a)
a00
> -111
b)

192. Cho x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10}
y ∈ { -1 ; 1; 0; 1; ; 5}
Biết : x + y = 3.
193. Tính nhanh :
a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256
b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172)
c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78
194. Tính tổng các số nguyên x biết:
a) – 17 ≤ x ≤ 18
b) |x| < 25
195. Cho S
1
= 1 + (-3) +5 +(-7) + +17
S
2
= -2 +4 +(-6) + +(-18)
Tính tổng S
1
+ S
2

196. Cho x và y là những số nguyên tố có 3 chữ số. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.
197. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của
chúng.
198.Cho |x| = 5 ; |y| = 11. Tính x + y
199*. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu . Tĩnh + y biết |x| + |y| = 10.
200. Tính tổng :
a) S
1

208. Tìm x, y ∈ Z, biết | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| ≤ 0.
209*. Cho x < y < 0 và |x| - |y| = 100. Tính x – y
210. Cho x ∈ {-2 ; -1; 0 ; 1; ; 11}
y ∈ { -89; -88; - 87; ; -1; 0 ; 11}
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhất của x – y.
211. Cho x, y ∈ Z.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN,
tìm GTLN đó.
b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm
GTNN đó.
12
c) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức
C = | x – 100 | + | y + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó.

Bài tập bổ sung
Đ 4.Quy tắc chuyển vế. Quy tắc dấu ngoặc
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
IV. Bài tập:
212. Tính hợp lý:
a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65
+374)
213. Đặt dấu ngoặc một cách hợp lý để tính các tổng đại số sau:
a) 942 – 2567 + 2563 – 1942
b) 12 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 5 - 4 + 3 + 2 -1
214. Tìm x biết:
a) 416 + ( x – 45) = 387
b) 11 – (x + 84) = 97
c) - (x + 84) + 213 = - 16
215. Chứng minh đẳng thức:

a + b = -10 nên a, b cùng dấu âm
Do đó a. b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6)
Trong các trườnghợp trên thì chỉ có (-4) + (-6) = -10
Vậy a = - 4; b = -6 hoặc a = - 6; b = - 4
Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích
Giải
Gọi hai số cần tìm là x và y
Ta có xy = x + y
⇔ xy – x – y = 0
⇔ xy – x – y + 1 = 1
⇔ x(y – 1) – (y – 1) = 1
⇔ (y – 1)(x – 1) = 1 ⇔
1 1 1
1 1 1
y x
y x
− = − =


− = − = −

⇔
2; 2
0; 0
x y
x y
= =


= =

225. Tìm x ∈ Z biết:
a) (x – 3) (2y + 1) = 7
b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55.
226. Tìm x ∈ Z sao cho :
(x- 7) (x + 3) < 0
227. Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợ lý:
a) 125.(-61).(-2)
3
.(-1)
2n
(n ∈N*)
b) 136.(-47) + 36.(-304)
c) (-48).72 + 36.(-304)
228. Tìm x ∈ Z biết:
a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = 0
b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 0
229. Cho m và n các số nguyên dương:
A =
2+4+6+ +2m
m
B =
2+4+6+ +2n
n
Biết A < B hãy so sánh m và n
230*. Cho 16 số nguyên. Tích của 3 số bất kì luôn là một số âm.
Chứng minh rằng tích của 16 số đó là một số dương.
231. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a) (a + b)(a + b)
b) (a – b)(a – b)
c) (a + b)(a – b)

- Số lẻ được viết là 2k + 1 hoặc 2k – 1
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
237. Các số sau có bao nhiêu ước?
a) 54 ; b) – 196.
238. Chứng minh rằng nếu a
M
b thì |a|
M
|b|
239. Với n ∈ Z, các số sau là chẵn hay lẻ?
A = (n – 4)(n – 15) B = n
2
– n – 1
240. Co a, b , x , y ∈ Z trong đó x , y không đối nhau. Chứng minh
rằng nếu ax – by
M
x+ y thì ay – bx
M
x + y
241. Tìm các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho
3x – 4y = -21 (Phương trình Điôphăng)
242. Cho S = 1 – 3 + 3
2
– 3
3
+ + 3
98
– 3
99

Ví dụ: Cho x ∈ Z hãy so sánh x
2
và x
3

Chú ý: để so sánh A và B ta thường xét hiệu A – B .
Nếu A – B > 0 thì A > B ; Nếu A – B < 0 thì A < B
Bài tập:
247. Tính giá trị của biể thức A với x = - 43; y = 17
A = - 125(x + x + + x – y – y – – y)
(x có 8 số hạng, y có 8 số hạng)
248. Cho biểu thức B = 1 10 100. Hãy điền vào cá ô trống
dấu của các phép tính cộng, trừ, nhân , chia và thêm dấu ngoặc
(nêu cần) để B là số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ nhất.
249. Tìm x ∈ Z biết 2 ≤ |x| ≤ 5
250. Tìm x ∈ Z
a) – 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20
251. Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
a) Có bao nhiêu hiệu dạng a – b với a ∈ A; b ∈ B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5
c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?
252. Số (-3)
20
+ có phải là tích của hai số nguyên liên tiếp không ?
253. Tìm x ∈ Z biết (x + 5)(3x – 12) > 0
254. Tìm x ∈ Z biết (x
3
+ 5)(x
3
+ 10)(x

2

Để x ∈ N thì
y-1
2
∈ N hay y = 2n + 1 với n ∈ N, do đó x = 7 – 5n ≥ 0
⇒ n = 0 hoặc n = 1. Tương ứng ta được x, y.
Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ. Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ
trâu già, ba con một bó. Hỏi số trâu mỗi loại?
Bài tâp:
Chương III. Phân số
Bài 1. Mở rộng khái niệm về phân số. Hai phân số bằng nhau.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: Tìm x, y ∈ Z biết :
x 3
=
15 y
và x < y < 0
IV. Bài tập:
18
258. Trong các số sau, số nào là phân số:
-5
7
;
43
1
;
5
a - 3

< x <
37 13
b)
-84 108
< 3x <
14 9
264. Cho A =
3n - 5
n + 4
Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
265. Tìm n ∈ Z để các phân số sau có giá trị nguyên:
15 8
12
; ;
n
n-2 n+1
266. Tìm x ∈ Z, biết :
a)
8
x - 1
=
9
3
b)
- 4
- x
=
9
x
c)

III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 3. Quy đồng mẫu số nhiều phân số. So sánh phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Đ 4. Chuyên đề
Một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
Bài 5. Phép cộng phân số. Tính chất cơ bản phép cộng phân số
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 6. Phép trừ phân số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 7. Phép nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép nhân phân
số.
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
IV. Bài tập:
Bài 8. Chuyên đề : Tổng các phân số viết theo quy luật
I/ Kiến thức cơ bản
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: 1
20

M
⊥
∆⇒≤ ≥±
∉ ∈≈≡∈ ⊃ ∪ ∩ ∅ ⊃ ⊇ ⊄  ≠ × ⊥ ∃ ∀ ÷ ± ±
1. Cho A =
2x
5 x
+
+
. Tìm x để :
a) Có giá trị là một số nguyên b) A có giá trị lớn nhất
2. Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;
a)
2y
1
3
1
9
1-x
+
=+
b)
9
2
12
y2
18
13x
=+
+

36x
6
24
10
12x
3
=
+
−
+
+
+ x
5. Chứng minh
a)
1
100
1

52
1
51
1
2
1
<+++<
b)
6
5
40
1

1b
1
2
1
7
a
+
=−
.
9. a) Chứng minh:
n)a(a
n
na
1
a
1
+
=
+
−
S
1
=
100.99
1

3.2
1
2.1
1

11.6
5
6.1
5
=
++
+++
xx
11. Cho P =
)32)(12(
2

5.3
2
3.1
2
++
+++
nn
Chứng minh P < 1, ∀ n∈ N
*
12. a) Chứng minh ∀ n∈ N, n > 1 ta có
n
1
1-n
1
n
1
n
1

101.96
3

11.6
3
6.1
3
+++
Q =
100.99.98
1

4.3.2
1
3.2.1
1
+++
14. Tính giá trị biểu thức sau:
A = 1+
200632
2
1

2
1
2
1
2
1
++++

1
1
++++
++++
15. Chứng minh rằng:
a)
4
1
2007
1

6
1
5
1
232
<+++
b)
5
1
2007
1

6
1
5
1
232
>+++
23

. Hãy tìm một số nguyên sao cho khi tử số cộng
với số đó và mẫu số trừ đi số đó ta được phân số bằng
6
7
.
Bài 5 ( 6đ):
Cho góc BOC bằng 75
0
. A là một điểm nằm trong góc BOC. Biết
góc BOA bằng 40
0
.
a) Tính góc AOC.
b) Vẽ OD là tia đối của OA. So sánh hai góc BOD và COD.
M
⊥
∆⇒≤ ≥±
∉ ∈≈≡∈ ⊃ ∪ ∩ ∅ ⊃ ⊇ ⊄  ≠ × ⊥ ∃ ∀ ÷ ± ±
1) Cho biểu thức A =
42
22
−
+
n
n
với n ∈Z.
a) Với giá trị nào của A thì A là phân số.
b) Tìm giá trị của A để A là số nguyên.
2. Rút gọn phân số :
a) M =