Bốn phép tính trong tập hợp Q các số hữu tỉ
Kiến thức cơ bản:
Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ
1. Qui tắc
m
ba
m
b
m
a
yx
m
ba
m
b
m
a
yx
Zmba
m
b
y
m
a
x
QyQx

==
+
=+=+
==

x
hay x.x=1thì x gọi là số
nghịchđảo của x
Tính chất
có:
QzQyQx

;;
a) Tính chất giao hoán: x + y = y +x; x .
y = y. z
b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y
+z)
(x.y)z = x(y.z)

c) Tính chất cộng với số 0:
x + 0 = x;
với x,y,z
Q
ta luôn có :
1. x.y=y.x ( t/c giao hoán)
2. (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp )
3. x.1=1.x=x
4. x. 0 =0
5. x(y+z)=xy +xz (t/c phân
phối của phép nhân đối với phép
cộng
Bổ sung
Ta cũng có tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ, nghĩa
là:
1.

0.
y
x
yx
3. (x.y) = (-x).y = x.(-y)
Hệ thống bài tập
Bài số 1: Tính
a)
78
55
78
352
26
1
3
2
=

=

+

b)
6
1
30
5
30
611
5

;
d)
68
7
1
68
75
4.17
25.3
24.17
25.18
24
25
.
17
18
24
1
1.
17
1
1 =====
e)
3
1
3
3
10
3.1
2).5(

)1.(3
14.5
)5.(21
14
5
.
5
21
5
4
2:
5
1
4 =

=

=

=







=



2
=

===






+
b)
2
1
1
2
3
6
9
6
42
6
33
7
6
33
711.
6
3
711.

11
24
22
8
7
24
1
8
3
2
1
24
1
=

=

=






+


b)
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10





+

Lu ý: Khi thực hiện phép tính với nhiều số hữu tỉ cần:

GV: Hong Vit Hi
2
Nắm vững qui tắc thực hiện các phép tính, chú ý đến dấu của kết
quả.
Đảm bảo thứ tự thực hiện các phép tính.
Chú ý vận dụng tính chất của các phép tính trong trờng hợp có thể.

Bài số 3: Tính hợp lí:
a)
2 3 16 3
. .
3 11 9 11


+
ữ ữ

=
3
2
9.11
)22.(3

+
ữ ữ

=
15
7
1
15
22
5
7
.
21
22
7
5
:
21
2
14
6
7
5
:
7
1
21
1
14
13










+






=






+
c)
4 1 5 1
: 6 :
9 7 9 7

+

Bài tập số 4: Tìm x, biết:
a)
15
4
3
2
=

x
; ĐS:
5
2
=x
b)
21
20
:
15
8
=x
ĐS:
25
14
=x
c)
7
5
5
2
=x

5
2
=+ x

4
1
5
2
=+ x
X =
5
2
4
1

X =
20
3
d)
3
2
5
2
12
11
=





3
=+ x
ĐS: x =-5/7
Bài tập số 5: Tìm x, biết
a) (x + 1)( x 2) < 0
x = 1 và x 2 là 2 số khác dấu và do x + 1 > x 2, nên ta có:

21
2
1
02
01
<<



<
>




<
>+
x
x
x
x
x
b) (x 2) ( x +



>+
>
x
x
x
x
x
* Trờng hợp 2:

3
2
3
2
2
0
3
2
02

<






<
<

7
.5)(
9
2
5
1
).
3
2
.
9
4
)(
0
49
25
7
5
).
7
5
)(
20
11
21
4
3
)
5
1

7
4
2,0).3)(
=+

=

=
=+
=+

=
=+
=+
Ch
Ri
Og
Te
Id
Ac
Gb
Na
***********************************************************************
Buổi 2:
Ôn tập
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
Kiến thức cơ bản
a) Định nghĩa:



7
4
) == xxa
;
11
3
11
3
) =


= xxb
;
479,0749,0) == xxc
;
7
1
5
7
1
5) == xxd
Bài tập số 2: Tìm x, biết:
;00) == xxa

375,1375,1375,1) === hoặcxxxb
=>=
5
2
1) xc
không tồn tại giá trị của x, vì

x = 2,5 1,3
x = 1,2 (thoả mãn)
Trờng hợp 2: Nếu 2,5 x < 0 => x . 2,5, thì
xx += 5,25.2
Khi đó, ta có: -2,5+x = 1,3
x = 1,3 + 2,5
x = 3,8 (thoả mãn)
Vậy x = 1,2 hoặc x = 3,8
b) 1, 6 -
2,0x
= 0
=>
2,0x
= 1,6
KQ: x = 1,8 hoặc x = - 1,4
*Cách giải bài tập số 3:
>= )0(aax
x = a hoặc x = -a
Bài tập số 4: Tìm giá trị lớn nhất của:
a) A = 0,5 -
5,3x

GV: Hong Vit Hi
6
Ta có:
05,305,3 xx

=> A = 0,5 -
5,3x


Ta có:
08,2 +x
=> D =
5,38,2 +x

5,3
Vậy D
min
= 3,5 <=> x + 2,8 = 0 <=> x = -2,8

543286min,86
868654325432)
<<=
==++++=
xEVậyE
xxxxEc
Lu ý: Cách giải bài toán số 4 và số 5:
+) áp dụng tính chất:
0x
dấu bằng sảy ra khi x = 0
yxyx ++
dấu bằng sảy ra khi x.y
0
+)
A
+ m
m
=> bài toán có giá trị nhỏ nhất bằng m <=> A = 0
+) -
A

j

O
1
đối đỉnh

O
2
=>

O
1
=

O
2
4 2
3
1
O
2. Kiến thức bổ sung (dành cho học sinh khá giỏi)
- Hai tia chung gốc cho ta một góc.
- Với n đờng thẳng phân biệt giao nhau tại một điểm có 2n tia chunggốc. Số góc
tạo bởi hai tia chung gốc là: 2n(2n-1) : 2 = n( 2n 1)
Trong đó có n góc bẹt. Số góc còn lại là 2n(n 1). Số cặp góc đối đỉnh là: n(n 1)
Bài tập:
Bài tập 1: Cho góc nhọn xOy; vẽ tia Oy là tia đối của tia Oy
a) Chứng tỏ góc xOy là góc tù.
b) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy;gócxOt là góc nhon, vuông hay góc tù.
Bài giải

. Hay

xOy' là góc tù
b) Vì Ot là tia phân giác của

xOy' nên:

xOt =
1
2

xOy'
mà

xOy' < 180

=>

xOt < 90

Hay

xOt là góc nhọn
y'
x
O
y

Bài tập 2:
a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Trên đờng thẳng aa lấy điểm O. Vẽ tia Ot sao cho

yOx' = 180

(t/c hai góc kề bù)
=>

yOx' = 180

-

xOy
= 180

- 45


= 135

*

xOx' =

yOy' = 180

( góc bẹt)
*

x'Oy' =

xOy = 45




x'Ot' =

xOt 9 đối đỉnh)
=>

x'Ot' =
1
2

x'Oy'
T~ơng tự, ta có

y'Ot' =
1
2

x'Oy'
=> Ot' là tia phân giác của góc x'Ot'
t'
t
y'
y
x'
x
Bài tập 5:

GV: Hong Vit Hi
11

0
. Trên nửa mặt bờ
xy không chứa Ot vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 120
0
. Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc
yOz. Chứng tỏ rằng góc xOt và góc yOt là hia góc đối đỉnh.
Hớng dẫn:

GV: Hong Vit Hi
12
30

120

z
t
t
y
O
x
- tính góc tOz
- Tính góc tOt
3) Cho 2004 đờng thẳng phân biệt cắt nhau tại O; hình tạo thành có bao nhiêu cặp góc
đối đỉnh.
Hỡng dẫn: Sử dụng kết quả của bài tập 6
***********************************************************************
Buổi 4
Ôn tập
Luỹ thừa của một số hữu tỉ
A. Mục tiêu:

=
n
n
a
b
( a,b

Z, b

0)
2) Các phép tính về luỹ thừa
với x , y

Q ; m,n

N
*
thì :
x
m
. x
n
=x
m+n
; x
m
: x
n
=x
m n

x
-n
=
1
( 0)
n
x
x

* So sánh hai luỹ thừa
a) Cùng cơ số
Với m>n>0
Nếu x> 1 thì x
m
> x
n
x =1 thì x
m
= x
n
0< x< 1 thì x
m
< x
n
b) Cùng số mũ
Với n

N
*


0
2
1







; b)
2
2
1
3






; c)
( )
3
5,2
; d)
4
4
1
1

1
6
7
3
20






+








; g) 25
3
: 5
2
Bài tập số 2: Tính:
a)
5
5
5.
5

3
GV: Hớng dẫn:
- Biến đổi các luỹ thừa về dạng các luỹ thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- áp dụng các công thức về luỹ thừa để thực hiện phép tính.
- Lu ý về tha tự thực hiện các phép tính: Luỹ thừa -> trong ngoặc -> nhân -> chia
-> cộng -> trừ
Dạng 2: Viết các biểu thức số dới dạng lữu thừa
Bài tập số 3: Viết các biểu thức sô sau dới dạng a
n
(a

Q, n

N)
a)
23
3.
81
1
.3.9
; b)






16
1
.2:2.4

GV: Hớng dẫn:
Cách làm nh dạng 1
Dạng 3: Tìm số cha biết:

GV: Hong Vit Hi
14
Bài tập sô 5: Tìm x

Q, biết:
a)
0
2
1
2
=






x
; b)
( )
12
2
=x
; c)
( )
82


2
n
> 4; b) 9.27

3
n

243
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức
Bài tập số 7: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a)
15
2010
75
5.45
; b)
( )
( )
6
5
4,0
8,0
; c)
36
415
8.6
9.2
GV: Hớng dẫn:
áp dụng các qui tắc của các phép tính về luỹ thừa để thực hiện

chung.
- Lập luận để chứng minh.
III.Củng cố:
Nhắc lại cách làm các dạng bài tập đã chữa.
IV. Hớng dẫn về nhà:
* Xem và tự làm lại các bài tập đã chữa trên lớp.
* Làm bài tập 5.15; 6.19; 5.13;6.28 sách các dạng toán và phơng pháp giải Toán 7

GV: Hong Vit Hi
15
***********************************************************************
Buổi 5
Ôn tập
Tỉ lệ thức. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
A. Mục tiêu:
- Giúp học sinh củng cố về định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau.
- Rèn kĩ năng vận dụng định nghĩa, , tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau vào giải các dạng bài tập: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức, từ các số cho trớc; chứng
minh tỉ lệ thức; tìm số cha biết trong tỉ lệ thức; giải toán có lời văn
- Rèn tinh thần hợp tác tích cực trong hoạt động nhóm, làm việc nghiêm túc.
B. Chuẩn bị:
GV: Soạn bài qua các tài liệu: SGK, SBT, SLT7, Toán NC và một số chuyên
đề T7
HS: Ôn định nghĩa , tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
C. Nội dung ôn tập
Lí thuyết:
1. Tỉ lệ thức:
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau.

a
==== ;;;

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c e a c e
b d f b d f

= = =

=
(GT các tỉ số đều có nghĩa)
Bài tập:
Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức, từ các số, từ tỉ lệ thức cho trớc
Bài tập số 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể đợc từ đẳng thức sau :
6. 63 = 9. 42

GV: Hong Vit Hi
16
Bài tập số 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể đợc từ tỉ lệ thức sau:







=
4
1
29:

+
==
2)
db
ca
d
c
b
a
73
72
+
+
==
3)
22
22
.
.
db
ca
db
ca


=
4)
bdb
aca
b

c)
x
x 60
15

=

d)
25
8
2 x
x

=

e) 3,8 : 2x =
3
2
2:
4
1
f) 0,25x : 3 =
6
5
: 0,125
GV hớng dẫn:
- Tìm trung tỉ cha biết, lấy tích ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết
- Tìm ngoại tỉ cha biết, lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết
Bài tập sô 6: Tìm a,b,c biết rằng:
1) a:b:c :d = 2: 3: 4: 5 và a + b + c + d = -42

y
2
= 4; e) x : y : z = 4 : 5 : 6 và x
2
2y
2
+ z
2
= 18
GV hớng dẫn: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số cha biết
Dạng 4: Toán có lời văn
Bài tập số 8: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học
sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Bài tập số 9: Theo hợp đồng, hai tổ sản xuất chia lãi với nhau theo tỷ lệ 3 : 5 .Hỏi mỗi tổ
đợc chia bao nhiêu nếu tổng số lãi là 12 800 000 đồng.
Bài tập số 10: Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh tỉ
lệ với các số 2; 4; 5.
GV hớng dẫn:
Bớc 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bớc 2: Thiết lập các đẳng thức có đợc từ bài toán.
Bớc 3: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, để tìm giá trị của ẩn
Bớc 4: Kết luận
III.Củng cố:
Nhắc lại cách làm các dạng bài tập đã chữa.
IV. Hớng dẫn về nhà:
* Xem và tự làm lại các bài tập đã chữa trên lớp.
* Làm bài tập 6.15; 6.19; 6.13;6.28 sách các dạng toán và phơng pháp giải Toán 7
***********************************************************************
Buổi 6
Ôn tập

Chú ý: Nếu y tỉ lệ nghich với x
theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ
nghòch với y theo hệ số tỉ lệ là
a.
TÝnh chÊt
*
31 2
1 2 3
yy y
k
x x x
= = = =
;
*
1 1
2 2
x y
x y
=
;
3 3
5 5
x y
x y
=
;
Nếu x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c thì ta
có:
x y z
a b c

x y z
1 1 1
a b c
= =
 Bµi tËp
Bài tập 1 :
a) Cho biết x và y là hai đậi lượng tỷ lệ thuận. Hãy hồn thành bảng sau:
x 2 5 -1,5
y 6 12 -8
b) Cho biết x và y là hai đậi lượng tỷ lệ nghịch. Hãy hồn thành bảng sau:
x 3 9 -1,5
y 6 1,8 -0,6
Bµi tËp 2: Cho biết x và y là hai đậi lượng tỷ lệ thuận và khi x = 5, y = 20.
a) Tìm hệ số tỷ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x
b) Tính giá trị của x khi y = -1000.

GV: Hồng Việt Hải
19
Hớng dẫn - đáp án
a) k = 20 : 5 = 4
y = 4x
b) y = -1000 <=> 4x = -1000 => x = -1000: 4 = - 250
Bài tập 3: Cho bit x v y l hai i lng t l nghch v khi x = 2, y = -15.
a)Tỡm h s t l k ca y i vi x v hóy biu din y theo x
b) Tớnh giỏ tr ca x khi y = -10
Hớng dẫn - đáp án
a) k = 2.(-15) = -30 => y = -30:x
b) y = -10 <=> -30:x = -1 => x = 30
Bài tập 4: Ba lp 7A, 7B, 7C i lao ng trng cõy xanh. Bit rng s cõy trng c ca
mi lp t l vi cỏc s 3, 5, 8 v s cõy trng c ca lp 7A ít hơn lớp 7B là 10 cây .

GV: Soạn bài qua các tài liệu: SGK, SBT, SLT7, Toán NC và một số chuyên
đề T7
HS: Ôn định nghĩa , tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
C. Nội dung ôn tập Lí thuyết:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = AC, M là trung điẻm của BC.
Chứng minh rằng:
a) AMB =AMC
b) AM là tia phân giác của góc BAC.
c) AM vuông góc với BC.

GV: Hong Vit Hi
21
1) Định nghĩa:
ABC =ABC AB = AB; AC = AC; BC = BC;
à à
à à
à à
A A'; B B'; C C'= = =
A'
B'
C '
C
B
A
2) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác
+ Neỏu ABC vaứ MNP coự : AB = MN; AC = MP; BC = NP
thỡ ABC =MNP (c-c-c).
A
B
C

thỡ ABC =MNP (g-c-g).
A
GV: Hớng dẫn chứng minh
a) AMB =AMC (c.c.c) <= AB = AC (gt); AM cạnh chung; MB = MC(gt)
b) AI là tia phân giác của góc BAC <= góc BAM = gócCAM (2 cạnh tơng ứng) <=
AMB =AMC ( theo a).
c) AM

BC




AMB =

AMC = 90
0




AMB =

AMC (AMB =AMC)


AMB +

AMC = 180
0

Có

ABE =

CDE
Cần c/m:

BAE =

DCE; AB = CD






BAE = 180
0


OAD AB = OB - OA

DCE = 180
0


OCB CD = OD - OC

OAD =


AKC
b) Chng minh : AK

BC
c ) T C v ng vuụng gúc vi BC ct ng thng AB ti E.
Chng minh EC //AK
GV: Hớng dẫn chứng minh:
a) Chứng minh nh phần a bài tập 1
b) Chứng minh nh phần b bài tập 1

GV: Hong Vit Hi
O
A
B
C D
E
y
x
23

c) EC //AK ( Quan hệ từ vuong góc đến song song)


AK

BC( theo b)
CE

BC(gt)
IV. Củng cố :

HS: ¤n ®Þnh nghÜa , tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau.
C. Néi dung «n tËp
 LÝ thut:
 Bµi tËp:
Bài tËp 1 : Hàm số f được cho bởi bảng sau:
x -4 -3 -2
y 8 6 4
a) Tính f(-4) và f(-2)
b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?

GV: Hồng Việt Hải
25
+ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trò của x ta
luôn xác đònh được chỉ một giá trò tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x
gọi là biến số (gọi tắt là biến).
+ Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm số hằng (hàm hằng).
+ Với mọi x
1
; x
2
∈ R và x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm
đồng biến.