72

> plane(P2,[d,EC],[x,y,z]);
P2

> Equation(P2);
=
−
−
+
−
288
144
x
144
y
48
z
0

> line(d3,[P,P2]);
d3

> Equation(d3,m);
[
]
,
,
+
2

+ ( ) − x1 x2
2
( ) − y1 y2
2

c) Đường thẳng :
Để nhập phương trình của đường thẳng l : ax + by + c = 0, ta nhập
[> line(l,a*x +b*y + c = 0,[x,y]);

I. TAM GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
1) Khai báo một tam giác trong Maple

a) Tam giác có tên là ABC đi qua ba đỉnh A, B, C cho trước, ta nhập:

triangle[ABC, [A, B, C] );
Ví dụ
: Khai báo một tam giác ABC đi qua ba điểm A(1; 1), B(0; 0) và
C(0; 5) ta làm như sau:
[> point(A,1,1), point(B,0,0),point(C,0,5);
,
,
A
B
C

[> triangle(ABC,[A,B,C]);
ABC

b) Tam giác có tên là T được lập bởi ba đường thẳng l
1

cạnh là
π
/2, ta nhập:
[
> triangle(T4,[2,'angle'=Pi/2,1]):

2)
CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
A. ĐƯỜNG CAO
Để khai báo đường cao h
A
đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :

altitude(hA, A, ABC); hay altitude(hA, A, ABC, H );

v Ở đây, H là chân đường cao.

71

> a:=ParallelVector(d);
:=
a
[
]
,
,
-12

> plane(P,[d,AB],[x,y,z]);
P

> Equation(P);
=
−
−
−
576
144
x
72
y
48
z
0

> line(EC,[E,C]);
EC

> Equation(EC,t);
[
]
,
,
2
t
4
t
6


> DefinedAs(pp);
[
]
,
,
d1
d2
d3

> detail(pp);
name of the object: pp
form of the object: parallelepiped3d
the 6 parallelogram faces of the object: [[[0, 0, 0], [4, 0, 0], [9, 5, 1], [5, 5, 1] \
], [[0, 2, 5], [4, 2, 5], [9, 7, 6], [5, 7, 6]], [[0, 0, 0], [4, 0, 0], [4, 2, 5], [0, 2, 5 \
]], [[4, 0, 0], [9, 5, 1], [9, 7, 6], [4, 2, 5]], [[5, 5, 1], [9, 5, 1], [9, 7, 6], [5, 7,
\
6]], [[0, 0, 0], [5, 5, 1], [5, 7, 6], [0, 2, 5]]]
coordinates of the 8 vertices: [[0, 0, 0], [4, 0, 0], [5, 5, 1], [9, 5, 1], [0, 2, 5], [ \
4, 2, 5], [5, 7, 6], [9, 7, 6]]

(Đề dự bò khối A, 2007)
> plane(alpha,6*x-3*y+2*z=0,[x,y,z]);
α

> plane(beta,6*x+3*y+2*z-24=0,[x,y,z]);
β

> n1:=NormalVector(alpha);
:=

trình đường cao h
A,
còn nếu khai báo theo cách 2 ta sẽ biết được
toạ độ chân đường cao H.
Ví dụ:
Viết phương trình đường cao h
A
của tam giác ABC với ba đỉnh
A(0; 0), B(2; 0) và C(1; 3). Ta làm như sau:
Cách 1

[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,3)]):
altitude(hA1,A,ABC);
hA1

[> detail(hA1);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,
respectively

name of the object: hA1
form of the object: line2d
equation of the line: -_x+3*_y = 0

Trong detail ta có phương trình đường cao h
A1
là – x + 3y = 0
Cách 2

[> with(geometry);
[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0),

form of the object: line2d
equation of the line: 7-7*_y = 0

trong detail cho biết phương trình đường trung tuyến AM là 7 – 7y = 0.

C. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC.
Để khai báo đường phân giác trong AD đi qua đỉnh A của tam giác ABC,
ta nhập :
bisector(AD, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường phân giác trong AD, ta dùng lệnh
detail(AD);
Ví du
ï : Viết phương trình đường phân giác trong AD của tam giác ABC
biết A(1; 6), B(3; 4) và C(0; 1).
[>
triangle(ABC,[point(A,1,6),point(B,3,4),point(C,0,1)]):bisector(AD,A,
ABC);
AD

[> detail(AD);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,
respectively

69

Description
A parallelepiped is a polyhedron bounded by six parallelograms. It
can be defined from three given directed segments having a
common initial point.

geom3d[parallelepiped]( ).
Examples
> with(geom3d):
Define four points A, B, C, and E.
> point(A,0,0,0), point(B,4,0,0), point(C,5,5,1), point(E,0,2,5):
Define three directed segments d1, d2, and d3 with initial point A and
end points B, C, and E respectively.
> dsegment(d1,[A,B]), dsegment(d2,[A,C]), dsegment(d3,[A,E]):

6
8

MBD

[> Equation(MBD);
= + + −
1
2
a~ b~ x
1
2
a~ b~ y









b~
2
a~
2








− + 2








+
1
2
a~
1
2
a~ a~ a~
2
0

a~
0
{
}
=
a~
−
b~
{
}
=
a~
b~

Chú ý :
1)
Các ký hiệu a ~ , b ~ ta hiểu là a và b phải thỏa điều kiện
mà ta đã đặt trong
assume, tức là
a > 0 và b > 0.
2)
Do a > 0 và b > 0, nên ta chỉ nhận a = b hay
1=
b
a
.
Xác đònh lăng trụ
Cú pháp
parallelepiped(pp, [d1, d2, d3]) xác đònh lăng trụ “pp” với ba
cạnh là d1, d2, d3.

trọng tâm G của tam giác ABC.
[> triangle(ABC,[point(A,2,3),point(B,-2,4),point(C,-4,7)]);
ABC[> centroid(G,ABC);
G

[> coordinates(G);








,
-4
3
14
3

Ví dụ2:
Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(2; 3), C(0; 7). Tìm toạ độ trọng
tâm G của tam giác ABC.
Ta có thể làm gọn hơn như sau:
[> point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7);

6

BC
AC
ABC

[> orthocenter(H,ABC);
H

[> coordinates(H);
[
]
,
3
4

[> map(coordinates,DefinedAs(ABC));
[
]
,
,
[
]
,
4
9
[
]
,
2
1
[

d2
d3

[> parallelepiped(HHCN,[d1, d2, d3]);
HHCN

[> detail(HHCN);
* Vì không đủ giấy, nên không in ra đây kết quả của detail(HHCN);
[> point(C1,a,a,b);
C1

[> midpoint(M,C,C1);
M

[> coordinates(M);








, ,
+
1
2
a~
1
2

1
6
a~ b~








+
1
2
a~
1
2
a~

[>
plane(A1BD,[A1,B,D],[x,y,z]);

A1BD

[>
Equation(A1BD);

=
+
+

,
,
d1
d2
d3

[>
assume(a > 0);

[>
parallelepiped(ABCDA1B1C1D1,[d1, d2, d3]);

ABCDA1B1C1D1

[>
detail(ABCDA1B1C1D1);

[>
point(D1,0,a,a), point(C,a,a,0);

,
D1
C

[>
plane(BA1C,[B,A1,C],[x,y,z]);

BA1C

[>

3
0

[>
FindAngle(BA1C,DA1C);

1
3
π

Lưu ý
: Đây là góc giữa hai mặt phẳng
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình
hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ, B(a; 0; 0), D(0;
a; 0), A’(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BD’M theo a và b.
b) Xác đònh tỷ số
b
a
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc.
a) [>
point(A,0,0,0),point(B,a,0,0),point(D,0,a,0),point(A1,0,0,b);

,
,
,
A
B
D
A1

area(ABC);
Ví dụ
: Tính diện tích tam giác ABC với A(2; – 3), B(3; 2) và C( – 2; 5).

[>
with(geometry);

[>
triangle(ABC,[point(A,2,-3),point(B,3,2), point(C,-2,5)]);

ABC

[>
area(ABC);

14

Máy trả lời

diện tích tam giác ABC là 14. ĐƯỜNG THẲNG
*
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ta dùng lệnh:

distance(M, d);

,
,
,
AB
BC
AC
ABC

[>
centroid(G,ABC);

G

[>
coordinates(G);

[
]
,
-2
3

[>
distance(G,BC);

3

*
Hình chiếu của một điểm lên

Xác đònh toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b)

Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó suy ra rằng
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu
là (C). Xác đònh bán kính r và toạ độ tâm H của đường tròn (C).
[>
sphere(S,x^2+y^2+z^2+3*x+4*y-z+6=0,[x,y,z],'centername'=O);

S

[>
center(S);

O

[>
coordinates(O);









, ,
-3
2

:(
ĐH, CĐ toàn quốc, khối A, 2003
)
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Tính số đo của góc phẳng
nhò diện [B, A’C, D].
[>
point(A,0,0,0),point(B,a,0,0),point(D,0,a,0),point(A1,0,0,a);64

b)

Viết phương trình của đường thẳng qua C và vuông góc với mặt
phẳng (A, B, D).
c)

Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (A, B, D).
a) [>
point(O,0,0,0),point(A,3,0,0),point(B,0,4,0),point(C,0,0,5);

,
,
,
O
A
B
C

[>

[>
Equation(ABD);

=
−
+
+
−
60
20
x
15
y
12
z
0

[>
n:=NormalVector(ABD);

:=
n
[
]
,
,
20
15
-12



,
P
l

[>
projection(Q,P,l);

Q

[>
coordinates(Q);

[
]
,
0
1* Điểm đối xứng của

một điểm qua một đường thẳng

a) Để khai báo Q là của điểm đối xứng

của điểm P

lên đường thẳng l, ta
dùng lệnh:


=
−
−
−
10
2
x
4
y
0

[>
reflection(M1,M2,AB);

M1

[>
coordinates(M1);

[
]
,
10
-5

Lưu y
ù: Lệnh
Equation(AB);
cho ta phương trình của đường thẳng AB.

AreParallel
AreParallel(l1, l2, cond)

Kiểm tra tính song song
của hai đường thẳng l
1
,
l
2
.
ArePerpendicular

ArePerpendicular(l1, l2, cond
)

Kiểm tra tính vuông góc
của hai đường thẳng l
1
,
l
2
.
AreTangent
AreTangent(f, g)

Kiểm tra sự tiếp xúc của
đường thẳng f và đường
tròn g hay sự tiếp xúc
của hai đường tròn f và g


1
3
1
3
x
1
3
y
1
3
z 0

[>
AreCollinear(O,B,C);

true

[>
sphere(S,[B,sqrt(2)],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
+
−


[
]
,
,
1
t
t

[>
projection(l,AB,anpha);

l

[>
Equation(l);









, ,
−
1
2
3

, ,
3
2
3 1

[>
R:=radius(S);

:=
R
1
2
21

[>
d:=distance(center_S_1,anpha);

:=
d
1
2
+
3
m

[>
solve(R=d,{m});

,{ }
=

α
)vuông góc đường thẳng OC tại C.
Chứng minh rằng ba điểm O, B, C thẳng hàng. Xét vò trí tương
đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính
2 với mặt phẳng (
α
).
b)

Viết PTTQ của đường thẳng g là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên mặt phẳng (
α
).
a) [>
point(A,1,0,0), point(B,1,1,1), point(C,1/3,1/3,1/3),point(O,0,0,0);

,
,
,
A
B
C
O

[>
line(OC,[O,C]);

OC

[>

Khi kết thúc các lệnh này và nhấn Enter thì máy trả lời là
true(đúng) hoặc false (sai).
Ví dụ 1
: Xét tính thẳng hàng của ba đ
iểm
A(1; 2), B(2; 3) và C(0; 7).

Ta làm như sau:
[
point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7);

,
,
A
B
C

[
AreCollinear(A, B, C);

false

Máy trả lời false, tức ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Ví dụ 2
: Cho tam giác ABC với A(1; m – 2), B(2; 3 + m), C(0; 7). Tìm m
để ABC là tam giác vuông.

Trước hết ta dùng lệnh [>
AreCollinear(A, B, C);

[>
IsRightTriangle(ABC,cond);

IsRightTriangle: "hint: one of the following conditions must be satisfied: {-76+26*m-
2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}"
FAIL

Máy thông báo : Một trong các điều kiện sau phải thỏa mãn:

12

{-76+26*m-2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}"
Bây giờ ta dùng lệnh solve để tìm m.
[>
solve(-76+26*m-2*m^2 = 0,{m});

,{ }
=
m
−
13
2
1
2
17 { }
=
m
+
13
2

1
2
13
17
2
1
2
13
==+=−=
mmmm
;;;

Ví dụ 3
: Cho hai đường thẳng :
l
1
: 2x + 5y = 1 và
l
2
: 5x – 2y = 0.
Chứng minh rằng
l
1
vuông góc với
l
2[>
line(l1,2*x+5*y=1,[x,y]),line(l2,5*x-2*y=0,[x,y]);

[>
gtetrahedron(ABCD,[A,B,C,D]);

ABCD

[>
volume(ABCD);

4
3

c) [>
plane(ABD,[A,B,D],[x,y,z]);

ABD

[>
Equation(ABD);

=
+
2
2
z
0

[>
NormalVector(ABD);

[

2
z
2
7 3 x 6 y 2 z 0

[>
detail(S);

name of the object: S
form of the object: sphere3d
name of the center: center_S_2
coordinates of the center: [3/2, 3, 1]
radius of the sphere: 1/2*21^(1/2)
surface area of the sphere: 21*Pi
volume of the sphere: 7/2*Pi*21^(1/2)
equation of the sphere: x^2+y^2+z^2+7-3*x-6*y-2*z = 060

Trong không gian Oxyz với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C,
D xác đònh bởi các hệ thức:
A = (2; 4; – 1),
→→→→
−+= kjiOB 4
, C = ( 2; 4; 3),
→→→→
−+= kjiOD 22
.
a)


Viết phương trình mặt cầu (
S
) đi qua bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
. Viết
phương trình tiếp diện
)
(
α
của mặt cầu (
S
) song song với mặt
phẳng (
ABD
).
a) [>
point(A,2,4,-1),point(B,1,4,-1),point(C,2,4,3),point(D,2,2,-1);

,
,
,
A
B

]
,
,
2
4
−
+
1
4
t

[>
line(AD,[A,D]);

AD

[>
Equation(AD,t);

[
]
,
,
2
−
4
2
t
-1


Equation(D);

=
−
+
−
21
4
x
y
0

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình – 21 + 4x – y = 0.

* Phương trình của đường thẳng qua một điểm cho trước và song song
với một đường thẳng cho trước.
Để viết phương trình của đường thẳng
lp
qua điểm P và song song với
một đường thẳng
l
cho trước ta dùng lệnh:

ParallelLine(lp, P, l);V
iết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; 3) và song song
với đường thẳng
l


Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình – 5 + x + y = 0. GÓC
* Góc tạo bởi hai đường thẳng.

Để tính góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
ta dùng lệnh :

FindAngle(d1, d2);
Ví dụ
: Xác đònh góc
ϕ
giữa hai đường thẳng:
1) 5x – y + 7 = 0, 3x + 2y = 0;
2) 3x + 2y – 1 = 0, 5x – 2y + 3 = 0.
1)
[>
line(D1,5*x-+7=0,[x,y]),line(D2,3*x+2*y=0,[x,y]);


16
11

ĐƯỜNG TRÒN

59

=
−
+
56
28
x
14
z
0

Bài 5
: (
TN, 1999, đợt 1, 4 điểm)
Trong không gian
Oxyz
cho điểm
D
( –3; 1; 2) và mặt phẳng
α
đi
qua
A
(1; 0; 11),

A
B
C
D

[>
line(AC,[A,C]);

AC

[>
Equation(AC,t);

[
]
,
,
1
t
−
11
3
t

b) [>
plane(anpha,[A,B,C],[x,y,z]);

anpha

[>

2
y
2
z
2
11 6 x 2 y 4 z 0

[>
distance(D,anpha);

14

[>
radius(S);

5

Để ý :
distance(D,anpha)< radius(S)

Bài 6
: (
TN, 2002– 2003, 2,5 điểm).58

a) [>
point(A,1,0,-2),point(B,0,-4,-4), plane(anpha,3*x-
2*y+6*z+2=0,[x,y,z]);

line(L,[A,B]);

L

[>
Equation(L,t);

[
]
,
,
−
1
t
−
4
t
−
−
2
2
t

[>
intersection(giaodiem,L,anpha);

giaodiem

[>
coordinates(giaodiem);

,
3
-2
6

[>
with(linalg);

Warning, the name inverse has been redefined
[>
crossprod(a,n);

[
]
,
,
-28
0
14

[>
v:=vector([-28, 0, 14]);

:=
v
[
]
,
,
-28

a)
Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cho trước với cú pháp như sau:
circle(tên đường tròn, [A, B, C], [x, y]);
VD
: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3)
[>
point(A,5,0),point(B,0,1),point(C,3,3);

,
,
A
B
C

>
circle(ABC,[A,B,C],[x,y]);

ABC

[>
Equation(ABC);

=
+
−
−
x
2
y
2

coordinates(center(ABC));
cho ta toạ độ của tâm đường
tròn ABC.
b)

Lệnh
radius(ABC);
cho ta bán kính của đường tròn ABC.

16

c)

Lệnh
Equation(ABC);
cho ta phương trình của đường tròn ABC.
d)

Nếu không dùng các lệnh này, ta có thể xem chi tiết về đường
tròn ABC bằng lệnh
detail(ABC);

[>
detail(ABC);

name of the object: ABC
form of the object: circle2d
name of the center: center_ABC
coordinates of the center: [5/2, 1/2]
radius of the circle: 1/2*13^(1/2)*2^(1/2)

[>
point(C,1,-1),line(D,5*x-12*y+9=0,[x,y]);

,
C
D

[>
R:= distance(C,D);

:=
R
2

[>
circle(T,[C,R],[x,y]);

T

[>
Equation(T);

=
−
+
−
+
x
2
2 y

y
2
z
2
2 x 4 y 4 z 0

[>
center(S);

center_S_1

[>
coordinates(center_S_1);

[
]
,
,
1
2
2

[>
R:=radius(S);

:=
R
3

b) [>

8

[>
line(D,[point(center_S_1,1,2,2),[16, 8, 8]]);

D

[>
Equation(D,t);

[
]
,
,
+
1
16
t
+
2
8
t
+
2
8
tBài 4
: (


56

obj

[>
coordinates(obj);

[
]
,
,
4
0
1

Bài 2
.(
TN, 1997, đợt 2)

Trong không gian
Oxyz
cho
A
(1; 4; 0),
B
(0; 2; 1),
C
(1; 0; 4).
a)

[
]
,
,
−
1
t
−
4
2
t
t

[>
v:=ParallelVector(L);

:=
v
[
]
,
,
-1
-2
1

b)[>
plane(anpha,[C,v],[x,y,z]);

anpha

2

Bài 3
: (
TN, 1998, đợt 1, 2 điểm
)
Trong không gian
Oxyz
cho các điểm
A
(2; 0; 0),
B
(0; 4; 0),
C
(0; 0; 4).
a)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm
O, A, B, C
. Xác đònh
toạ độ tâm
I
và độ dài bán kính
R
của mặt cầu đó.
b)

Viết phương trình mặt phẳng (
ABC
). Viết PTTS của đường thẳng

để C thuộc đường tròn.
[>
point(A,1,-5), point(B,6,1), circle(DTRON,x^2+y^2-2*x+4*y-
8=0,[x,y]),point(C,-m,m);

,
,
,
A
B
DTRON
C

[>
powerpc(A,DTRON);

-4

[>
powerpc(B,DTRON);

21

[>
powerpc(C,DTRON);

+
−
( )
−

m
-4

Lưu ý:
a)

Từ đáp số ta thấy: A ở trong đường tròn và B ở ngoài đường tròn.
b)

Có thể dùng lệnh IsOnCircle để tìm
m
để C thuộc đường tròn.
4) Lệnh
intersection
: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, một đường
thẳng và một đường tròn, hoặc hai đường tròn.
(find the intersections between two lines, a line and a circle, or two
circles).
Cú pháp
:

18

intersection(obj,f,g);
hay intersection(ten,f,g,[M, N]); obj - (một tên )
a name


>
circle(C,x^2+y^2-3*x+2*y-3=0,[x,y]),line(D,y=2*x-3,[x,y]);

,
C
D

[>
intersection(H,D,C,[M,N]);

[
]
,
M
N

[>
coordinates(M);









,
11
5

C
D

[>
AreTangent(C,D);

true

[>
intersection(TX,C,D,[M,N]);

TX

[>
coordinates(TX);

[
]
,
0
-3

55

a) [>
point(A,3,-2,-2),point(B,3,2,0),point(C,0,2,1),point(D,-1,1,2);

,
,
,


b) [>
sphere(S,[A,BCD],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
+
−
+
+
x
2
y
2
z
2
3 6 x 4 y 4 z 0

[>
detail(S);

name of the object: S
form of the object: sphere3d
name of the center: A

,
+
3
t
−
+
2
2
t
−
+
2
3
t

[>
intersection(obj,L,BCD);54

gd1

[>
coordinates(gd1);

[
]
,
,

[>
detail(gd3);

name of the object: l1_intersect1_S
[
form of the object: point3d
coordinates of the point: [-25/29, 35/29, 50/29] name of the object: l1_intersec \,
t2_S
form of the object: point3d
coordinates of the point: [-1, 1, 2]
]

Qua detail(gd3) ta có hai giao điểm của l
1
và S là :
( – 25/ 29; 35/29 ; 50/ 29)và ( – 1; 1; 2).
MỘT SỐ ĐỀ THI
Bài 1
. (
TN, 1997, đợt 1
)
Trong không gian
Oxyz
cho bốn điểm
A
(3; –2; –2),
B
(3; 2; 0),
C
(0;

circle(C,x^2+y^2-1=0,[x,y]),line(D,y=x+10,[x,y]);

,
C
D

[>
AreTangent(C,D);

false

[>
intersection(H,C,D,[M,N]);

intersection: "there is no point of intersection"
Máy báo đường thẳng và đường tròn không có điểm chung
434
.Từ điểm M(4; – 4), vẽ các tiếp tuyến tới đường tròn
x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 5 = 0.
Tính độ dài dây cung nối các tiếp điểm.(ĐS.
10
)
[>
circle(C,x^2+y^2-6*x+2*y+5=0,[x,y]);

C


=
−
+
12
2
x
y
0

[>
intersection(TX1,L1,C,[M,N]);

TX1

[>
A:=coordinates(TX1);

:=
A
[
]
,
2
-320

[>

C
) : (x– 1)
2
+ (y – 1)
2
= 4 và đường thẳng
d
: x – y – 1 = 0.
Viết phương trình của đường tròn (
C
’) đối xứng với đường tròn (
C
) qua
đường thẳng
d
. Tìm toạ độ giao điểm của (
C
) và (
C
’).
[>
circle(C,(x-1)^2+(y-2)^2=4,[x,y]);

C

[>
line(d,x-y-1=0,[x,y]);

d


[
]
,
3
253

[>
IsTangent(Q,S,'cond');

IsTangent: "unable to determine if 2*77^(1/2)-1/77*abs(-51+m)*77^(1/2) is zero"
FAIL

[>
solve(2*77^(1/2)-1/77*abs(-51+m)*77^(1/2)=0,{m});

,
{
}
=
m~
205
{
}
=
m~
-103


4.
x t
y t
z t
= +


= − −


= −

l
2
:
5,
4 1,
4.
x t
y t
z t
= +


= − −


= −



l1
l2

[>
intersection(gd1,l1,l2);52

[>
plane(P,4*x+3*z-17=0,[x,y,z]),sphere(S,(x-3)^2+(y+2)^2+(z-
1)^2=25,[x,y,z]);

,
P
S

[>
assume( m <>-17);

[>
plane(P1,4*x+3*z+m=0,[x,y,z]);

P1

[>
IsTangent(P1,S,'cond');

IsTangent: "unable to determine if 5-1/5*abs(15+m) is zero"
FAIL

3
7
2
13
3
1
2
5
−
=
−
+
=
++
=
−
−
=
+
z
y
x
z
y
x
, .
ĐS. 4x + 6y + 5z – 103 = 0, 4x + 6y + 5z + 205 = 0.
[>
line(L1,[point(M1,-5,1,-13),[2,-3,2]]),line(L2,[point(M2,-7,-1,8),[3,-
2,0]]);


[>
plane(Q,4*x+6*y+5*z+m=0,[x,y,z]);

Q21

[>
coordinates(N);

[
]
,
1
0

Ở đây, (C1) là (C’) của đề bài.
412.
Viết phương trình của đường tròn đi qua điểm A(1; –1) và qua các
giao điểm của hai đường tròn
x
2
+ y
2
+ 2x – 2y – 23 = 0, x
2
+ y
2

[
]
,
M
N

[>
coordinates(M);









,
47
13
38
13

[>
coordinates(N);

[
]
,
-5

tangentpc(l, P, c );

22l -
the name of the tangent line (tên tiếp tuyến ).
418
. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (x + 2)
2
+ (y – 3)
2
=25
tại điểm A(–5; 7)
Write the equation of the line tangent to the circle(x + 2)
2
+ (y – 3)
2
=25
at the point A(–5;7). (ĐS. 3x – 4y + 43= 0).
[>
point(A,-5,7),circle(C,(x+2)^2+(y-3)^2=25,[x,y]);

,
A
C

[>
tangentpc(l,A,C);







−
3
5
3
5
;A .
From the point






−
3
5
3
5
;A , tangent lines are drawn to the circle
x
2
+ y
2
= 5. Find their equations. (ĐS. x – 2y – 5 = 0 và 2x – y – 5 = 0).


2
+ y
2
+ z
2

= 49 tại điểm
M(6; – 3; – 2).
[>
sphere(S,x^2+y^2+z^2=49,[x,y,z]),point(M,6,-3,-2);

,
S
M

[>
TangentPlane(P,M,S);

P

[>
Equation(P,[x,y,z]);

=
−
+
+
49
6
x

,
S
M1

[>
TangentPlane(P,M1,S);
P

[>
Equation(P,[x,y,z]);

=
+
−
−
10
4
x
2
y
2
z
0

* Loại 2 : Tiếp diện song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng cho
trước
1116
. Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(x – 3)
2

+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y + 6z – 25 = 0 và các điểm :
A(1; 2; 0), B(n; n – 3; – 4), C( – m; 2; 4)
a)

Tìm phương tích của điểm A đối với mặt cầu S;
b)

Tìm n để điểm B ở trong mặt cầu S;
c)

Chứng minh rằng điểm C luôn ở ngoài mặt cầu
∀
m
∈
R.

a [>
powerps(A,S);

-30

b) [>
point(B,n, n-3,-4);

B


2

+ 2m + 11 = (m + 1)
2

+ 10 > 0,
∀
m nên có ĐPCM
IV.
Tiếp diện của mặt cầu

* Loại 1: Tiếp diện tại một điểm thuộc mặt cầu

Để khai báo tiếp diện của mặt cầu S tại điểm P, ta nhập :

TangentPlane( tên tiếp diện, P, S); 23

[>
Equation(L1);

= − + −
5
3
1
3
x
2

2
+ y
2
+ 10x – 2y + 6 = 0 and parallel to the line 2x + y – 7 = 0.
(ĐS. 2x + y – 1 = 0, 2x + y + 19 = 0).
[>
line(D,2*x+y+m=0,[x,y]),circle(C,x^2+y^2+10*x-2*y+6=0,[x,y]);

,
D
C

[>
AreTangent(D,C,'cond');

AreTangent: "hint: unable to determine if -19-18*m+m^2 is zero"
FAIL

[>
solve(m^2-18*m-19=0,{m});

,
{
}
=
m
19
{
}
=

B(1; 0) và O(0; 0)
[>
point(A,0,1),point(B,1,0),point(O,0,0),triangle(T,[A,B,O]);

,
,
,
A
B
O
T

[>
incircle(noitiep,T);

noitiep

[>
Equation(noitiep);

enter name of the horizontal axis >
x;

enter name of the vertical axis >
y;

= + − − + − x
2
y
2

factor(%);

= + − + − + + − x
2
y
2
2 x x 2 2 y y 2
3
2
2 0

Các phép biến đổi trong hình học phẳng
Ở phần trước, chúng ta đã xét phép đối xứng của một điểm qua
một đường thẳng, trong phần này ta xét tất cả các phép biến đổi trong
hình học phẳng.
1) Phép tònh tiến
geometry[translation]
- find the translation of a geometric object with
respect to a directed segment

Calling Sequence
translation(
Q
,
obj
,
AB
)
Parameters


16
7
z 0

b) [>
plane(BCD,[B,C,D],[x,y,z]);

BCD

[>
Equation(sphere(S,[A,BCD],[x,y,z]));

=
+
+
+
−
+
+
x
2
y
2
z
2
3 6 x 4 y 4 z 0

c) [>
Equation(sphere(S,[A,B],[x,y,z]));


= + + + + − − x
2
y
2
z
2
23
5
2 x 2 y 4 z 0

Chú ý
: Trong câu d)
v
Ở dòng lệnh thứ nhất, ta khai báo BC là đường thẳng qua hai
điểm B và C.
v
Ở dòng lệnh thứ hai, ta gán R là khoảng cách từ điểm D đến
đường thẳng BC. 48
II) Lập phương trình mặt cầu thỏa điều kiện cho trước.
Maple cho phép lập phương trình mặt cầu thỏa một trong các điều kiện
sau:


v
Nếu không cần để ý tới tâm m thì ta có thể bỏ

'
centername
'= m
khi khai báo.
v
Ta cũng có thể lồng lệnh Equation trong khi khai báo, chẳng hạn :
Equation(sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z] , 'centername'= m );
Khi đó, Maple sẽ viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
có tâm m.

Ví dụ
: Cho bốn điểm A(3; – 2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D( – 1; 1; 2).
Viết phương trình mặt cầu :
a)

Đi qua bốn điểm A, B, C, D;
b)

Tâm A và tiếp xúcvới mặt phẳng (BCD);
c)

Đường kính AB;
d)

Tâm D và tiếp xúc với đường thẳng BC.


the name of the object to be created

P -
geometric object

g -
the angle of rotation

co -
the direction of rotation, either
clockwise
or
counterclockwiseR -
(optional) the center of rotation

3) Phép vò tự:
geometry[dilatation]
- find the dilatation of a geometric object

geometry[expansion]
- find the expansion of a geometric object

geometry[homothety]
- find the homothety of a geometric object

geometry[stretch]
- find the stretch of a geometric object

Q
,
P
,
k
,
O
)
Parameters
Q - the name of the object to be created
P - geometric object