TRƯỜNG TH CHUYÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Năm học 2009 – 2010)
TỔ TOÁN - TIN HỌC. Môn: Toán Lớp: 11
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ BÀI
Câu I. (2 điểm)
Cho phương trình
os
os
4 4
2009 2009
4
sin 2 2
tan tan
4 4 4
x c x
x x
c x
π π
+
   
= − +
 ÷  ÷
   
(1)
1) Giải phương trình (1).
2) Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010].
Câu II. (2 điểm)
1) Khai triển (1+x+x
2
)

( ) 2010
2
f
π
=
(iii)
( ) ( ) 2 ( ).cos ; ,f x y f x y f x y x y+ + − = ∀ ∈¡
.
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
TRƯỜNG TH CHUYÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Năm học 2009 – 2010)
TỔ TOÁN - TIN HỌC. Môn: Toán Lớp: 11
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
I 1
Điều kiện:
8 4
4 2
x k
x k
π π
π π

≠ +





x
x
x
x k
x k
π
π
⇔ + =
⇔ − =

=

⇔

=


⇔ =
⇔ =
⇔ =
Kết hợp với điều kiện ta được:
2
x k
π
=
, k
∈¢
.
2
[1;2010] 1 2010 1 1279

(1 )
k
k k k k i i k
k
k k i
k
k i k i
k
k i
C x x C C x x
C C x
−
−
−
= = =
−
+
−
= =
 
+ + = + + = + =
 ÷
 
=
∑ ∑ ∑
∑∑
x
5
ứng với I, k thỏa 2k + i = 5
0


=




=


(vì k, i
∈¥
).
Suy ra: hệ số của x
5
trong khai triển là
0 5 1 3 2 1
10 10 10 9 10 8
C C C C C C+ +
.
2 Có 64 cách đặt quân xe đầu tiên lên một ô trên bàn cờ.
Quân xe thứ nhất có thể ăn trực tiếp theo hàng dọc hoặc hàng ngang nằm
trên 14 ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó. Do đó chỉ có thể đặt quân xe thứ
hai vào 63 – 14 = 49 ô còn lại.
Tiếp tục ta có, quân xe thứ hai có thể ăn trực tiếp theo hàng dọc hoặc hàng
ngang nằm trên 14 ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó, để ý rằng có 2 vị trí
giao nhau của các hàng và cột của hai quân xe thứ nhất và thứ hai, suy ra số
cách đặt quân xe thứ ba là 48 – (14 – 2) = 36 cách.
Suy ra số cách đặt 3 quân xe thỏa đề bài là: 64.49.36 = 112896.
III Chứng minh được MNPQ là hình bình hành
MNPQ là hình vuông

MG GA MG GB MG GC MG GD
MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD
MG GA GB GC GD
GA GB
+ + + = + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + +
≥ +
uuur uuur uuuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur uuur
2 2 2
GC GD+ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M
≡
G.
Vậy:
2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của
tứ diện.
2
Ta có:
4
7
2
2 7
2 7
A

os
1 1 1 1 1 1 1
4 2
2 sin 2 sin 2
sin sin
7 7
4 2
sin sin
1 1 1 1
7 7
4 2 4 2
2 2
sin sin sin sin
7 7 7 7
3
sin .
1 1 1
7 7
4
2
sin .sin . 2 sin
7 7 7 7
BC CA R A R B R
R R
c
R AB
c R
π π
π π
π π π π

2 2
x
π π
=
ta được
os( ) ( ) 2
2 2
f t f t f c t
π π
π
   
+ − = −
 ÷  ÷
   

hay
( ) ( ) 2.2010.sinf t f t t
π
+ − =
(2).
+ Từ (iii), thay
y=t-0,x
π
=
ta được
( ) ( )
os( ) ( ) 2 0f t f t f c t
π π π
− + − = −