SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
“
“
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
GP
P
H
H
Á
Á
P
P

N
NV
V
À
ÀC
C
Á
Á
C
CD
D
Ạ
Ạ
N
N
G
GT
T

Ớ
Ớ
I
IT
T
H
H
I
I
Ế
Ế
T
TD
D
I
I
Ệ
Ệ
N
N
”
”
dựng một mặt phẳng vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h.
(Đề thi ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A)


+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH  SC, BK  SC rồi không biết kết luận
thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB.
+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH  SC (hoặc BH  SC) rồi khẳng định tam giác
AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại sao).
+ 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH  SC sau đó chứng minh CHB = CHA (cgc) suy
ra AH  SC thiết diện là tam giác AHB.
+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh AB 
(SMC) sau đó dựng MH  SC được thiết diện là tam giác AHB.
Nguyên nhân:
Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra mặt phẳng phụ
chứng minh AB

SC từ đó kẻ MH

SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết diện không
được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh có định hướng phát hiện vấn đề
(sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề này).
Vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài này.
II. Phƣơng pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
2. Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Phương pháp thống kê
III. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ. Các bài
toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phân chia khối đa

4. Các cách xác định mặt phẳng:
+ Biết ba điểm không thẳng hàng
+ Hai đường thẳng cắt nhau.
+ Một điểm nằm ngoài một đường thẳng.
+ Hai đường thẳng song song.
5. Một số lưu ý:
- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T.
- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần
biện luận nếu có.
- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc
dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.
- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T.
- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu
bài.
- Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là:
+ Tính diện tích thiết diện
+ Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất
+ Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước
(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).

- Các ví dụ được đánh thứ tự liên tục từ đầu cho đến hết chuyên đề.

B. NỘI DUNG CHÍNH
I. Một số phƣơng pháp dựng thiết diện
I.1.        Ba    àng, hai 
  .
1. Phƣơng pháp giải
Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (thường được
gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao điểm của giao tuyến
gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các


Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các cạnh hình
bình hành ABCD.
Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt BB’ tại I,
nối C’F cắt DD’ tại J.
Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.
J
I
E
F
B
A
C
B'
D'
C'
A'
D
M
N

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó thường
phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác
DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Giải:
Chưa có giao tuyến gốc giữa mặt phẳng
cắt và tứ diện. Mặt phẳng(MNP) có điểm
chung P với mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm

A
B
C
D
K
E
F
P
Hình a

N
1
M
1
I
E
N
O
A
B
C
D
P
F
M

Tùy theo vị trí OP trong tam giác ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK (hình a) hoặc tam
giác EFI (hình b)
Khi MN // M
1

P
N
Q
A
H
F
S
B
D
E
M
C

b) Tương tự phần a. lúc này
EC
thiết diện là tứ giác
MNCQ.
E

C
N
Q
A
H
F
S
B
D
M


D
S
Q

Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm chung
của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K, nối KE, PF. Ta
có thiết diện là ngũ giác EFPQK.
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần lượt chứa
hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai
đường thẳng đó.

I.2. Mặt phẳng (P) đƣợc cho bởi các tính chất song song

I.2.1 d 
 l.
1. Phƣơng pháp
Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’
// l.
Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q)
dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi
hai đường thẳng cắt nhau d và d’.
2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh
SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD.

Giải:
Chọn mp (SBD) chứa BD. Gọi O là
giao điểm AC và BD. Đường thẳng
AH cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm
của AH và SO. Trong mp (SBD) kẻ

b. Theo cách dựng thiết diện ở
phần a) thiết diện là hình thang
MENF (ME // NF) ta có
1
2
ME BC
nên để MENF là hình
bình hành thì
1
2
NF BC
hay N là
N
E
B
C
D
A
M
Ftrung điểm CD.

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC. Hãy dựng
thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD.
Giải:
K
E
F

nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK.
Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.

  
và l.
1. Phƣơng pháp

Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường
thẳng qua M song song với d và l. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường
thẳng vừa dựng.
2. Ví dụ
Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng tâm tam
giác SBD. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SB.
AC.
Giải:
Gọi O là giao điểm AC và BD. Ta
có trọng tâm M thuộc SO. Mặt phẳng
(M,SB) là (SBD) trong mp này kẻ qua M
đường thẳng song song với SB cắt SD, DB
tại N, K.
Mặt phẳng (M, AC) là mặt phẳng
(SAC) nên qua M kẻ đường thẳng song
song với AC cắt SA. SC tại P, I vậy (P)
chứa NK, PI.
Xét mp (P) và mp (ABCD) có
điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song
với AC cắt AB. BC tại E, F.
Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.

Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD. Dựng thiết diện của

J
I
F
E
B
A
C
B'
D'
C'
A'
D
M

EF cắt AC tại I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song với AC’ nó
cắt CC’ tại J. Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H.
Thiết diện là ngũ giác MNHJG.
Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d) (gọi là mặt
phẳng (P). Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt
phẳng chứa d’ và song song với l.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’. Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA. OB. OE, H
là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng
(P) trong các trường hợp:
a. Qua F song song với B’E và A’O
b. Qua M song song với A’E và OH.
Giải:
a. Ta có mặt phẳng (OBB’O’) mặt phẳng qua F và song song B’E, mặt phẳng qua F và
song song với A’O khó xác định hơn.
Trong mp (OBB’O’) qua F kẻ đường thẳng song song với B’E và cắt O’B’ tại K.
(P) là mặt phẳng chứa FK và song song A’O.

M
L
H
E
A'
B'
O
B
A
O'

H1
H2
b. Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua M và
song song với A’E khó xác định hơn. Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua M đường thẳng
song song với OH cắt AA’ tại L. (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E.
Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)
Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB).
Nối MT cắt AB tại G.
Thiết diện là tam giác MLG. (H2).

I.2.3. M  
1. Phƣơng pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì
phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P)

(R) = a’,a’ // a. a’ qua M.
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R).
Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’
sao cho
: ’ : ’AM MD D N NC
. Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua
MN và song song với mp(C’BD).
Giải:
Theo giả thiết:
AM D N AM MD AD
MD NC D N NC D C
   
'
' ' ' ' '

Theo định lý Talet đảo MN, AD’,
DC’ cùng song song với một mặt
phẳng (P) nên MN // (C’BD).
Ta có (ABCD) chứa M
và (ABCD)  (C’BD) = BD
Nên (P) cắt (ABCD) theo giao
tuyến ME // BD (E AB).
F
I
J
E
C
B
D
D'

AB (do tam giác SAB đều), BC 
AB suy ra (P) đi qua M song song
với BC, SI.
Xét mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(ABCD) có M chung và cùng song
song với BC nên
   
P ABCD EF
với EF qua M và
song song với BC cắt AB. CD tại E,
F.
G
H
F
E
M
I
D
B
C
A
S

Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại H, trong
(SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G.
Thiết diện là tứ giác EFGH.

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với
đáy. Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
Giải:

= a. AA’ =
2a
, M là trung điểm CA. Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P)
qua M và vuông góc với A’B.

Giải:
Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân
tại C nên AB =
2a
. Tứ giác ABB’A’ là
hình vuông  AB’  A’B.
Gọi H là trung điểm AB  CH  AB
 CH  (ABB’A’)  CH  A’B.
Vậy (P) qua M và song song với CH, AB’.

Q
P
E
N
M
H
A
C
B
B'
C'
A'

Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng (ABC) qua
M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì

Ta có :
1
.
2
AHB
S MH AB


.
H
O
M
A
C
B
S

Theo giả thiết AB = a. ta có
2
3a
MC 
,
3
3
a
OC 
,
SO = h,
2
2 2 2

AHB
ah
S MH AB
ha



.
.
Nhận xét: Mặt phẳng (Q) trong lý thuyết là mặt phẳng (SMC)

 (d

1. Phƣơng pháp
Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song với a. (Sử
dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc với (Q) thì hoặc (Q)
// d hoặc (Q)

d).
2. Ví dụ
Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên bằng
3
.
Gọi M, N là trung điểm AB. AC. Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)
chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Giải:
Gọi I là trung điểm BC, H là trung
điểm SI. Do hình chóp đều nên BC 
(SAI)
BC AH

Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông, CA = CB
= a. AA’ =
2a
, M, N, I, K là trung điểm CA. CC’, AB. BB’. Dựng thiết diện của lăng
trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt phẳng (IKC).
Giải:
Ta tìm một đường thẳng vuông góc
(IKC).
Theo giả thiết:
 
' ' '
'
CI AB
CI ABB A CI A B
CI AA


   




Lại có: AA’ = AB =
2a

nên ABB’A’ là hình vuông nên
A B AB IK AB A B IK  ' ', / / ' '
suy ra
A’B  (IKC).
Vậy (P) chứa MN và song song với A’B.

AB SA







Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song
song với AB.
Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M
chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường
thẳng và song song với AB cắt BC tại
N. (P)  (ABCD) = MN.
N
E
F
A
B
D
S
C
M Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với AB cắt
SB tại E. Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.
 Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm được
cách dựng thiết diện. Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành
nhiều.


- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos.
- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta áp dụng các
phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacovxki
…dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hình học…
- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a
i
, i = 1,2,3…
12
12
n
n
n
a a a
a a a
n
  
, đẳng thức khi a
1
= a
2
=…= a
n
.
2. Ví dụ

Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối xứng với

N
I
B
C
D
K
J
ANên
13
6
a
IM IN
.
Gọi H là trung điểm MN ta có IH  MN
và IH =
2
a
.

Vậy S
IMN
=
2
1
26
a
IH MN .

MN MB
AC AB AB
  

MQ // BD nên
MQ MA BD
MQ MA
BD AB AB
  