ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ II MÔN TOÁN 11
A. GIẢI TÍCH
Bài 1 Tìm các giới hạn sau
a. lim
3 2
3
6n 2n 3
n 3n 2
− +
+ +
b. lim
2
2n 1
n 3
+
+
c. lim(
2
n 3n 1 n+ + −
)
d. lim(
3
3 2
n 6n 4n n+ + −
) e. lim(
2n 3 n 1+ − +
) f. lim(
2
n n 3 n− + +
)
g. lim

→−
−
+
b.
2
x 4
x 5x 4
lim
x 4
→−
+ +
+
c.
3 2
3
x 2
x 3x 9x 2
lim
x x 6
→
+ − −
− −
d.
x 2
2 x
lim
x 7 3
→
−
+ −

+ + + −
i.
2
x 2
x 3x 3
lim
x 2
+
→
− +
−
j.
2
2
x 3
2x 15
lim
x 9
−
→
−
−
k.
2
2
x 1
x 5x 3
lim
(x 1)
→

−
o.
2
x
lim ( x 2x 3 x)
→ +∞
+ + −
p.
2 2
x
lim ( x x 1 x x 1)
→ −∞
+ − − − −
q.
3 2
x
lim ( x x x 1)
→−∞
− + − +
r.
2
x
lim 3x 5x
→−∞
−
Bài 3 Xác định m để hàm số có giới hạn tại x
o
.
a.
mx 1 x 2


tại x
o
= 0
Bài 4 Xét sự liên tục của hàm số
a. f(x) =
2
x 3x 4 x 1
2x 3 x 1

− + <


− ≥


tại x
o
= 1 b. f(x) =
3
2
x x 6
x 2
x x 2
11
x 2
3

− −
≠

o
= 1 d. f(x) =
2
x 1
x 1
x 1
x 2 x 1

−

>

−

+ ≤

tại x
o
= 1
Bài 5 Tìm m hoặc a để hàm số liên tục.
a. f(x) =
1 x 1 x
x 0
x
4 x
a x 0
x 2

− − +
<

3 2
x x 2x 2
x 1
x 1
3x 5m x 1

− + −

<

−

+ ≥

liên tục trên R.
d. f(x) =
2
x 1
x 1
x 1
1 m x 1

−

≠

−

+ =


(x x 1)+ +
i. y = x
2
1 x+
j. y =
3
6 x
x
−
k. y =
2
1
x 2x−
ℓ. y = sin² 2x – 2cos
2x
m. y = 3sin (3x – 2) – 4cos 2x. n. y = sin 2x cos 3x o. y =
sin 2x 1+
p. y =
2sin 2x
q. y = 3sin² x + 2cos³ x r. y = (1 + tan x)² s. y = cos x sin² x
t. y =
1 sin x
2 sin x
+
−
u. y = tan³ 2x + 3tan (2x – π/4) v. y =
2
2 tan x+
Bài 9 Cho hàm số: y = x³ + 4x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trong các
trường hợp sau

3
(n 1)(3 2n)
lim
n 1
+ −
+
d.
2
4
2n n 2
lim
3n 5
− + +
+
e.
n n
n n
4 6
lim
3 2.6
−
+
g.
lim n( n 1 n)− −
h.
1 1 1
lim[ ]
1.2 2.3 n(n 1)
+ + +
+

b.
2
x 1
3x 4x 1
lim
x 1
→
− +
−
c.
2
x 2
x 3x 2
lim
x 4
→
− −
−
d.
2
x 2
x 3x 1
lim
x 2
+
→
− +
−
e.
2

− −
−
j.
2
2
x 0
x 1 1
lim
x 16 4
→
+ −
+ −
k.
2
x
x 2 3x 2
lim
2x 1
→−∞
+ − +
+
ℓ.
x 2
x 2
lim
x 7 3
→
−
+ −
m.

1 x 2

− −
≠


−

=

tại x = 2
c. h(x) =
3
x 2x 1 x 1
5x 1 x 1

+ + ≥


− <


trên R
Bài 13 Tìm số thực m sao cho hàm số sau liên tục tại điểm cho trước
a. f(x) =
2
3x x 2
2mx 1 x 2

<

Bài 15 Tính đạo hàm của hàm số
a. y =
5
x 2 x− +
b. y =
3
( 3x)( x 3)
x
− + −
c. y =
2
x 3x
x 1
− +
−
d. y =
2
(2x 1) x 5− + +
e. y = (x³ + 2x)
5
. f. y = 2(x² – 4x) sin² 2x
g. y = sin³ 3x – cos² 2x + tan x h. y = (2tan³ 2x + 3sin² x)²
i. y = sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x j. y = sin² (cos x) + cos² (sin x)
k. y = x² cos x + x sin x ℓ. y =
sin x
sin x cos x
+
m. y =
1 2 tan x
+

: x = –1 và d
2
: y = 1 lần lượt tại A và B
sao cho bán kính đường tròn nội tiếp ΔIAB là lớn nhất, với I là giao điểm của d
1
và d
2
.
Bài 22 Tìm vi phân của hàm số y = (sin 3x + 3)³
Bài 23 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số
a. y = sin 5x b. y =
2
1
x
c. y =
x 2
x 1
−
−
Bài 24 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a. y =
1
x 2−
b. y = sin x c. y = sin 3x cos x
B. PHẦN HÌNH HỌC
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA
vuông góc với (ABCD); SA = a
6
. Gọi AM, AN lần lượt là các đường cao của tam
giác SAB và SAD.

a. Chứng minh rằng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD).
b. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD)
c. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
d. Tính góc giữa đường SB và (ABCD).
e. Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH vuông góc với SM, chứng minh H là trực tâm
tam giác SCD
f. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
g. Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.
Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) và SA = a; đáy ABCD
là hình thang vuông có đáy bé là BC, biết AB = BC = a, AD = 2a.
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
c. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD, SM. Chứng minh rằng AH vuông góc với
(SCM)
d. Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD)
e. Tính góc giữa SC và (SAD)
f. Tính tổng diện tích các mặt của chóp.
Bài 32 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB =
OC = a.
a. Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc nhau
b. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (OAM)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
d. Tính góc giữa (OBC) và (ABC)
e. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
Bài 33 Cho chóp OABC có OA = OB = OC = a; góc AOC = 120°; góc BOA = 60°;
góc BOC = 90°.
a. Chứng minh ABC là tam giác vuông
b. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh tam giác BOM là tam giác vuông
c. Chứng minh rằng (OAC) vuông góc với (ABC)
d. Tính góc giữa (OAB) và (OBC)

góc với (P) tại A lấy điểm D. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A trên
DM.
a. Chứng minh AH vuông góc với CD.
b. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).
Bài 41 Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H và K lần lượt là
trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh
a. AH, SK, BC đồng quy.
b. SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)
c. HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Bài 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, SA vuông góc
với (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với SC và cắt SC tại I.
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
c. Tìm giao điểm K của SO và mặt phẳng (α).
d. Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // (α)
e. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α).
Bài 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc
với (ABCD), cạnh bên SC tạo với đáy (ABCD) góc 60°.
a. Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD.
b. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
c. Chứng minh BD vuông góc với SC và (SBC) vuông góc với (SAB).
d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SB.
e. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng (ABK).
Bài 44 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a
2
.
a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAD)
c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)

Bài 49 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết
rằng (AMN) vuông góc với (SBC).
Bài 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA
vuông góc với đáy. Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a. Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.
b. Tính góc giữa SC và (ABCD).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
d. Chứng minh (SAC) vuông góc (AIK)
Bài 51 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc
với đáy, SA = a
3
a. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAM).
b. Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 52 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là
tâm của đáy ABCD.
a. Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBD), (SBD) vuông góc với (ABCD).
b. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) và từ điểm O đến mặt phẳng
(SBC).
c. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SA = a
6
a. Chứng minh: BD vuông góc với SC, (SBD) vuông góc với (SAC).
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
c. Tính góc giữa SC và (ABCD).
ĐỀ 1
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a)lim


x x
khi x
f x
x
x khi x
2
5 6
3
( )
3
2 1 3
2) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
= − +y x x x x
2
(2 )cos 2 sin
b)
=
+
y
x
4
2 5
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với
(ABCD), SA= 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD.
1) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông.
2) Chứng minh MN vuông góc với mặt phẳng (SAC).
3) Gọi P là điểm trên cạnh AB sao cho AP = 2PB. Tính khoảng cách từ P đến
(SBD)

−
b)
2
3
9
lim
1 2
x
x
x
→
−
+ −
Bài 2. 1) Tìm điều kiện của số thực a để hàm số sau liên tục tại x
0
=2
7 3
2
( )
2
1 2
x
khi x
f x
x
ax khi x

+ −
≠


2. CMR: CD
SC⊥
.
3. Tính góc
α
giữa SC và (ABCD), góc
β
giữa SC và (SAB), góc
γ
giữa SD và
(SAC).
Bài 4.
1) Chứng minh rằng phương trình:
4 2
2( 3) 2 0x mx m x+ − − − =
luôn có nghiệm với
mọi m
2) Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
3) Cho hàm số
.siny x x=
. Chứng minh rằng:
2( sin ) 0xy y x xy
′ ′′
− − + =
.
Bài 5. Cho (C): y = x
3

+ −
≠


−
=



=

x
khi x
x
f x
ax +2 khi x
2
1 2
3
9
( )
3 3
Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 3.
b) Chứng minh phương trình
m m x x
2 3
( 2 2) 3 3 0− + + − =
luôn luôn có nghiệm với mọi
m.
Câu 3(3đ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC)

x
−
=
−
(C) . (2đ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến bằng
2
………………Hết…………
ĐỀ 4
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
2
4 1
lim
1 2
n n
n
+ +
−
2)
x
x
x
2
3
1 2
lim
9
→
+ −

5 6
3
( )
3
2 1 3
2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
x x x
3 2
2 5 1 0− + + =
.
Bài 3. 1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2
1= +
b)
y
x
2
3
(2 5)
=
+
2)Cho hàm số
x
y
x
1
1
−

2) Cho
x x
y
x
2
3 3
1
− +
=
−
. Giải bất phương trình
y
/
0>
………………Hết…………
ĐỀ 5
………………Hết…………
ĐỀ 5
………………Hết…………
ĐỀ 6
………………Hết…………
ĐỀ 7