SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ SỰ TIẾP XÚC GIỮA CÁC ĐƯỜNG
Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA, NĂM 2014
1
MỤC LỤC

NỘI DUNG
TRANG
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
2
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN 2
II.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 3
III. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4
IV. BỐN BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC 4
BÀI TOÁN 1 4
BÀI TOÁN 2 6
BÀI TOÁN 3 15

cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận
dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán
liên quan đến sự tiếp xúc giữa các đường.
Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi hướng
dẫn học sinh tiến hành theo các bước sau đây:
+ Bước1:Dự đoán đường cong ( đường thẳng).
+ Bước 2:Chứng minh tiếp xúc.
Để giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường ta cần nắm vững một số kiến
thức sau:
1.Một số định nghĩa
Định nghĩa 1
3
Hai đường cong (C) và (G) được gọi là tiếp xúc với nhau,nếu giữa chúng tồn tại
một tiếp tiếp tuyến chung tại cùng một điểm.
Định nghĩa 2.
Cho các họ đường cong (C
m
): y =f(m,x); (G
m
): y = g(m,x) phụ thuộc tham số m.
Hai họ (C
m
) và (G
m
) được gọi là tiếp xúc với nhau nếu ứng với mỗi m,ta có cặp
(C
m
) và (G

f x g x
f x g x
=


=

II .THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
- Trong sách giáo khoa Toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay các bài tập về
sự tiếp xúc giữa các đường có tham số có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh
đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
- ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ là tập
hợp các phương pháp cho ta cách giải các bài toán tiếp xúc giữa các đường có
chứa tham số phức tạp một cách đơn giản và dễ hiểu hơn đối với các đối tượng
học sinh học lực trung bình trở lên.
4
- ’’Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’cho ta
cách nhìn đa chiều về một bài toán,kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham
khám phá của học sinh.
- ’’ Một số phương pháp giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các đường’’ có thể
giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường
tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt.

III. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
-Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài toán về sự tiếp xúc giữa các
đường , giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì
thi tuyển sinh.
- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu các phương pháp này cho học sinh từ năm
lớp 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các
dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em

xúc với nhau.
Phương pháp giải: Sử dụng mệnh đề 1.
2 2
2
2 2
5 9 4 12 4 4 3 0
( 5 9)' ( 4 12)' 2 5
4 4 3 0 2 3 0
2 2
1
1
1
2
3
3
3
2
2
x mx mx m x mx m
x mx mx m x m m
x mx m x x
x x
m m
x
x
m
x
x
x
m



=




= −




= −




+Với
1
2
m =
ta có pa ra bol (P):
2
5
9
2
y x x
= + −
tiếp xúc với đường thẳng
(d) :

m
).
Cách giải
Bước 1: Đoán đường cong (G).
Bước 2: Chứng minh (G) và (C
m
) tiếp xúc với nhau.
Các phương pháp dự đoán đường cong (G)
1.Phương pháp nội suy(tách bộ phận kép)
Nếu f(m,x)=h(m,x)+g(x) trong đó h(m,x) có nghiệm kép,g(x) độc lập với m
thì (d) có phương trình y= g(x).
2.Phương pháp biên
Xem y = f(m,x) (1) là phương trình đối với m.
Nếu y=g(x) là điều kiện giới hạn giữa sự có nghiệm và vô nghiệm của
phương trình (1) đối với ẩn m,thì y = g(x) là phương trình của (G).
3.Phương pháp đạo hàm theo tham số.
Viết lại phương trình y = f(x) thành F(x,y,m) = 0 .
Từ hệ phương trình
( , , ) 0
( , , )
0
F x y m
dF x y m
dm
=



=


(1) ( ) ( 2 )
2 2
1 7
( ) ( ) .
2 2
f x m mx x x x
f x x m x x
⇔ = + + + +
= + + +
Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) :
3 2
7
( )
2
g x x x
= +
Thật vậy xét hệ
2 3 2 3 2
2 2
2 2
1 7 7
( ) ( )
( )
2 2 2
( )' ( )'
3 8 3 7
0
3 8 3 7
f x g x
x m x x x x

( , ) ( , )
, 0 .
df m x df m x
x m m x
dm dm
= + = ⇔ = −
(ở đây ký hiệu
( , )df m x
dm
là đạo hàm theo biến số m của hàm số f(m,x) )
Thế m= -x vào (1) ta có
8
3 2
7
( )
2
g x x x
= +
Bước 2. Ta chứng minh (C) tiếp xúc với (G) :
3 2
7
( )
2
g x x x
= +
( chứng minh tương tự cách 1)
Cách 3(Phương pháp biên).
Bước 1: Dự đoán đường cong (G).
Ta có:
2

= +
( chứng minh tương tự cách 1)
Ví dụ 3. Tìm đường cố định tiếp xúc với họ hypebol (H
m
):
2
2 (1 ) 1
( )
x m x m
y f x
m x
+ − + +
= =
−
(1)
Giải
Cách1.
Bước 1: Dự đoán đường cong (G).
9
Ta có: (1) => y(m-x) = 2x
2
+ (1-m)x + 1 + m
<=>m(y + x – 1) = 2x
2
+x + 1 + xy. (2)
Phương trình (2) vô nghiệm khi và chỉ khi
2
1 0
2 1 0
y x

1
( 1)
1
2 4 2 1
1
1
( 1)
( )
2 1 0 ( 1) 0 1
x m x m
x x
x
x
m x
m
m
x mx m m
m
m x
x x x x

+ − + +

+ + =
= −

= −

−
 

) suy biến thành đường thẳng y = - x – 2,không có sự
tiếp xúc.
Cách 2.(Đạo hàm theo m)
Bước 1: Dự đoán đường cong (G).
Ta có (1) = > y(m – x) = 2x
2
+ (1 - m)x + 1+ m
<=> m( y+ x – 1) – (2x
2
+ x + 1 +xy) = 0.
Gọi F(m) = m( y+ x – 1) – (2x
2
+ x + 1 +xy) => [F(m)]’
m
= y +x - 1
= > [F(m)]’
m
=0 < = > y + x - 1 =0 < = > y = - x + 1
Bước 2. Ta chứng minh (H
m
) tiếp xúc với đường thẳng (d ) :g(x) = 1 – x
10
( chứng minh tương tự cách 1).
Đối với dạng toán chứng minh họ (H
m
) tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
chúng ta cũng làm tương tự , ta xet ví dụ sau :
Ví dụ 4. Chứng minh rằng họ hypebol (H
m
) :

) tiếp xúc với 2 đường thẳng (d
1
) :g
1
(x) = x – 6
(d
2
) :g
2
(x) = x + 2
Thật vậy :
Xét hệ :
2
2
2
2
( 2) ( 2 4)
6
( ) 6
4
( )' 1
1
( )
( 2) 0
2
( ) 4
m x m m
x
f x x
x m

∈
�, hệ đang xét luôn có nghiệm x = m + 2 < = > (H
m
) và đường
thẳng (d
1
) luôn tiếp xúc với nhau.
Tương tự hệ
( ) 6
2
( )' 1
f x x
x m
f x
= −

⇔ = −

=


 ∀ m
∈
�, hệ đang xét luôn có nghiệm x = m - 2 < = > (H
m
) và đường
thẳng (d
2
) luôn tiếp xúc với nhau.
 Đpcm.

− = = −
 
⇔ − − − − = ⇔ ⇔
 
− = − = +
 
Bước 2. Ta chứng minh (H
m
) tiếp xúc với 2 đường thẳng (d
1
) :g
1
(x) = x – 6
(d
2
) :g
2
(x) = x + 2 ( làm tương tự cách 1).
Cách 3 .( Phương pháp hệ số bất định)
Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = ax + b
• (H
m
) tiếp xúc với (d) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm với mọi m :
2
2
( 2) ( 2 4)
ax (2)
( ) ax
4
'( )

12
Từ (2) => ax
2
+ [b + 1- m(a + 1)]x +m
2
– m(b+2) + 4 = 0 (5)
Với a > 0 , phương trình (5) có:
∆
x
= [b + 1- m(a + 1)]
2
-4a[m
2
– m(b+2) + 4]
= (a - 1)
2
m
2
+ 2( a – 1)(b + 2 )m + (b + 2 )
2
– 16 a.
Gọi h(x) = (a - 1)
2
m
2
+ 2( a – 1)(b + 2 )m + (b + 2 )
2
– 16 a
Phương trình (5) có nghiệm với mọi m trong hai trường hợp sau đây:
Trường hợp 1:

Trường hợp 2:
2
0 1
0 1
( ) 0
' 0
16 ( 1) 0
m
a
a
h x m
a a
< ≠
< ≠


≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔
 
∆ ≤
− ≤


¡
(vô nghiệm) (7)
Từ (6) và (7) suy ra có hai đường thẳng tiếp xúc với họ hypebol (H
m
) là:
(d
1
): g

2
– 6x – 4
Bước 2 :Ta sẽ chứng minh (P
m
) tiếp xúc với (P): g(x) = x
2
– 6x – 4.
13
Thật vậy: Xét hệ
2 2 2
( ) ( )
( 2) 6 4 6 4
'( ) '( )
4 2( 1) 2 6
f x g x
m x x x x x
f x g x
x m x
=

+ + + − − = − −

⇔
 
=
+ − = −


<=> x= - m – 2
Suy ra với mọi m, hệ trên luôn có nghiệm x = - m – 2 suy ra (P

2
( ) 6 4g x x x= − −
Bước 2 :Ta sẽ chứng minh (P
m
) tiếp xúc với (P): g(x) = x
2
– 6x – 4
( chứng minh tương tự như ở cách 1).
Cách 3.(Phương pháp đạo hàm theo tham số)
Bước 1: Dự đoán đường cong.
Gọi F(m) = m
2
+ 2(x + 2)m + 2x
2
– 2x – y (2)
[F(m)]’
m
= 2m + 2(x + 2)
[F(m)]’
m
= 0 <=> m = - x - 2 thế vào phương trình F(m) = 0 ta có:
(x+2)
2
– 2(x+2)
2
+ 2x
2
– 2x – y =0
< = > x
2

2
+ y
2
=64.
Thật vậy : Đường tròn (C) có tâm I(6 ; 0) bán kính R = 8
Khoảng cách từ tâm I(6 ; 0) của (C ) đến đường thẳng (d
α
) là :
2 2
6cos 0.sin 6cos 8
( ;( )) 8
os sin
d I d R
c
α
α α α
α α
+ − +
= = =
+

 (d
α
) tiếp xúc với đường tròn (C).
Cách 2.(Phương pháp đạo hàm theo tham số)
Bước 1: Dự đoán đường cong.
Đặt F(α) = xcosα + ysinα – 6cosα + 8
Lấy đạo hàm theo α ta có : F’(α)
α
= - xsinα + ycosα + 6sinα = 0

 
+ − + =



− − −

15
2 2
2 2
2 2 2 2
8( 6) 8
1 ( 6) 64
( 6) ( 6)
x y
x y
x y x y
   
−
⇒ + = ⇔ − + =
   
− − − − − −
   
 Dự đoán đường cố định là đường tròn (C) : ( x- 6)
2
+ y
2
=64.
Bước 2 : Ta sẽ chứng minh (d
α

(*)
Điều kiện đủ.
16
Bài toán 3 Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C
m
) : y = f(x)
Cách giải
Điều kiện cần
Bước 1: Tìm trên đồ thị (C
m
) các điểm x
0
thỏa mãn y’(x
0
) = c (const) (1)
(Để có (1) nhiều khi phải đặt tham số phụ)
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x
0
theo công thức :y = f’(x
0
)(x - x
0
) + y
0
.
Nếu tiếp tuyến tại x
0
cố định thì đó chính là lời giải bài toán.
Nếu tiếp tuyến tại x
0

1
3
là : y = -
4
3
(x -
1
3
) +
4 16
27
m +
< = > y =-
4
3
x+
4 28
27
m +
.
Đó là một tiếp tuyến thay đổi theo m
Kết luận : khi m thay đổi, họ đồ thị (C
m
) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = 0.
Ví dụ 8. Chứng tỏ rằng có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với cả họ đồ thị :
2
2 2 1
( ) : , 1
m
x mx m

1m
m x
≠ −


≠

nên nếu có điều
đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại x = -1 .
Điều kiện đủ. Tại x = -1 ta có y’(-1) = 1 ,y(-1) = 3.
Phương trình tiếp tuyến tại x = -1 là y = x – 2.
Đó là một tiếp tuyến cố định duy nhất của họ đồ thị (C
m
).
Ví dụ 9. Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C
m
) : y =
2
2
2 ( 2)
2
x m x m
x x m
+ − +
− +
.
Giải
Viết lại
2
1

Do
2 2
0 0
2 0 2
m m
x x m x x m
≠ ≠
 
⇔
 
− + ≠ − ≠
 
nên nếu có điều đó xảy ra thì ắt phải xảy ra tại
x =0 hoặc x = 2.
Điều kiện đủ. Tại x =0 ta có y’(0) = 1, y(0) = 1 .phương trình tiếp tuyến tại x = 0
là y = x +1
Tại x = 2 ta có y’(2) = 1-
1
m
. Rõ ràng y’(2) thay đổi theo m nên giá trị x = 2
không thích hợp. duy
Vậy y = x – 2 là tiếp tuyến cố định của họ đồ thị (C
m
) đã cho
Ví dụ 10. Cho họ hypecbol (H
m
) : y =
2
2
( 2)

x y x x y
y x x y
− − = = =
 
⇔


− − = = =
 
=> với mọi m≠0 ,họ (H
m
) luôn đi qua 2 điểm cố
định I( 0 ;1) và J(2 ;3)
2
2 2
'
( 2 )
m mx
y
x x m
−
=
− +
y’(0) = 1 , với mọi m ≠ 0 suy ra tại điểm cố định J , (H
m
) có hệ số góc của tiếp
tuyến không đổi. Điều đó chứng tỏ rằng khi m thay đổi ( m ≠0),họ hypecbol
(H
m
) luôn tiếp xúc với nhau.

3
+ 2x
2
-x+5.
Tọa độ điểm cố định của họ (C
m
) là nghiệm của hệ :
2
2 0 2
2 5 15
x x
y x x y
 + = = −

⇔
 
= − + =


+Khi m thay đổi , họ (C
m
) luôn đi qua điểm cố định I(-2 ; 15)
+ y’ = 3m(x+2)
2
+4x -1 ; y’(-2) = -9 không đổi
= > Tại điểm cố định I , (C
m
) có hệ số góc của tiếp tuyến không đổi. Điều đó
chứng tỏ khi m thay đổi , họ (C
m

( 0)
m x m
y m
x m
+ −
= ≠
−
luôn tiếp xúc với một
parbol cố định.
4.Tìm tiếp tuyến cố định của họ đồ thị
2
2
( 1)
( ) :
m
x m x m
C y
x m
+ − −
=
−
.
5.Tìm m để (C
m
) : y = f(x)=2x
3
-3(m+3)x
2
+18mx – 8 tiếp xúc với trục Ox.
V. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG

3.Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương,NXB Hà Nội 2006.
4.Các bài toán về hàm số,Phan Huy Khải- NXB Hà Nội 1997.
5.Đề luyện thi tuyển sinh môn toán,NXB Giáo dục Việt Nam 2006.
6. Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trong trường và ngoài trường.
7.Tạp chí toán học và tuổi trẻ( các năm 2000-2013)
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN
VỊ
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm
2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Vi Thanh Hoàng
21