Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
o0o
SƠ YẾU LÝ LỊCH
Họ và tên: VŨ THỊ LAN
Ngày, tháng, năm sinh: 06/ 04 / 1980
Năm vào nghành: 2002
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Viên
Trình độ chuyên môn: Đại học toán
Hệ đào tạo : Chính quy
Bộ môn giảng dạy: Môn toán
Ngoại ngữ: Anh văn
Trình độ chính trị: Sơ cấp
Khen thưởng :
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2002 – 2003
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2003 – 2004
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2006 – 2007
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2007 – 2008
- Giáo viên giỏi cấp cơ sở năm học 2009 – 2010
- Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh năm học 2003 -2004
- Sáng kiến kinh nghiệm loại C cấp thành phố năm học 2007 – 2008
- Sáng kiến kinh nghiệm loại B cấp thành phố năm học 2009 – 2010
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
PHẦN THỨ NHẤT
A. MỞ ĐẦU
1.Lý do ch ọ n đề tài

thích toán hơn từ đó các em có ý thức học tập đảm bảo yêu cầu của thời đại mới.
b)Cơ sở thực tiễn:
Là một giáo viên dược phân công giảng dạy lớp 7A, 7C với đối tượng
học sinh khá giỏi, các em có tư duy nhạy bén và nhu cầu hiểu biết ngày càng
cao, làm thế nào để phát huy được hết khả năng của các em đó là trách nhiệm
của các giáo viên chúng ta. Qua giảng dạy chương trình toán lớp 7 tôi nhận thấy
đề tài về Tỉ lệ thức là một đề tài thật lý thú, phong phú đa dạng không thể thiếu ở
môn đại số lớp 7.
Việc giải bài toán về tỉ lệ thức là một dạng toán hay, với mong muốn cung
cấp cho các em một số phương pháp giải các bài toán về tỷ lệ thức, giúp các em
làm bài tập tốt hơn nhằm tích cực hoá hoạt động học tập, phát triển tư duy, do đó
trong năm học này tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ
lệ thức”để thực hiện trong chương trình toán lớp 7.
2)Mục đích nghiên cứu
- Các phương pháp thường dùng để giải các bài toán về tỉ lệ thức
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về tỉ lệ thức, học sinh nắm
vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập, vận dụng trong hình học 8 phần
Định Lí Ta-let và tam giác đồng dạng.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng giờ
dạy, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân, thông qua đó
giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào quá trình giảng dạy
môn Toán ở trường THCS đạt hiệu quả cao.
- Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện giải quyết nhiệm vụ nhận thức
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

3
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
và có ý thức vận dụng linh hoạt sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận
được.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

các kiến thức trong SGK là đủ. Chính vì vậy mà các em tiếp thu kiến thức một
cách thụ động, không tự mày mò, khám phá kiến thức mới.
H u h t các em u h p t p khi gi i các b i t p d ng n y.ầ ế đề ấ ấ ả à ậ ạ à
VD: L i gi i c a em Lê Th Thu - L p 7A ờ ả ủ ị ớ
(B i 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai s x, y bi t:à ố ế

; 10
2 5
x y
xy
= =
HS giải: Ta có:
459.5y
189.2x
9
10
90
5.2
xy
5
y
2
x
==
==→
====
Lời giải đúng: Đặt




y = 5.(-3) = -15
Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
(H c sinh m c sai l m do ch a hi u rõ tính ch t ọ ắ ầ ư ể ấ của dãy tỉ số bằng nhau).
Qua m t th i gian tôi ã ti n h nh i u tra c b n v thu c k t qu nhộ ờ đ ế à đ ề ơ ả à đượ ế ả ư
sau:
+ L p 7A: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 50%, s h cớ ố ườ ọ à ườ à à ậ ế ả ố ọ
sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 30%.ắ đượ ế ứ à ế ậ ụ à à ậ ế ả
+ L p 7C: S em l i h c b i, l i l m b i t p chi m kho ng 85%, s h cớ ố ườ ọ à ườ à à ậ ế ả ố ọ
sinh n m c ki n th c v bi t v n d ng v o b i t p chi m kho ng 10%.ắ đượ ế ứ à ế ậ ụ à à ậ ế ả
I. 2 .Nguyên nhân:
Nguyên nhân c a v n trên l do các em ch a có ý th c t giác h củ ấ đề à ư ứ ự ọ
t p, ch a có k ho ch th i gian h p lý t h c nh , h c còn mang tính ch tậ ư ế ạ ờ ợ ự ọ ở à ọ ấ
l y i m, ch a n m v ng hi u sâu ki n th c toán h c, không t ôn luy nấ đ ể ư ắ ữ ể ế ứ ọ ự ệ
th ng xuyên m t cách h th ng, không ch u tìm tòi ki n th c m i qua sáchườ ộ ệ ố ị ế ứ ớ
nâng cao, sách tham kh o, còn hi n t ng d u d t, không ch u h c h i b nả ệ ượ ấ ố ị ọ ỏ ạ
bè, th y cô.ầ
ng tr c th c tr ng trên tôi th y c n ph i l m th n o kh c ph cĐứ ướ ự ạ ấ ầ ả à ế à để ắ ụ
tình tr ng trên nh m nâng cao ch t l ng h c sinh, l m cho h c sinh thíchạ ằ ấ ượ ọ à ọ
h c toán h n V y tôi thi t ngh t i c a tôi nghiên c u v v n n y lọ ơ ậ ế ĩ đề à ủ ứ ề ấ đề à à
b c i úng ướ đ đ
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

6
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
n v i tình tr ng v s c h c c a h c sinh hi n nayđắ ớ ạ à ứ ọ ủ ọ ệ
II.BI N PH P GI I QUY T V N NGHIÊN C U.Ệ Á Ả Ế Ấ ĐỀ Ứ
t c hi u qu khi gi i các b i toán nói chung v gi i các b iĐể đạ đượ ệ ả ả à à ả à
toán v ề tỷ lệ thức nói riêng. Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức, tôi đã cho
học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất cơ
bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, của đại lượng tỉ

0
≠
thì ta có các tỉ lệ thức sau:

d
c
b
a
=
;
d
b
c
a
=
;
a
c
b
d
=
;
a
b
c
d
=
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

7

c
b
a
==
suy ra:

=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
Chú ý: Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

b) Ta có : 0,3 : 2,7 =
0,3 1
2,7 9
=
và 1,71 : 15,39 =
1,71 1
15,39 9
=
Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 và 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có được từ các số sau.
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; 8
Giải:
( Sử dung tinh chất 2: điều kiện để 4 số lập thành tỉ lệ thức)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập được các tỉ lệ thức sau:
0,16 0,4
0,32 0,8
=
;
0,16 0,32
0,4 0,8
=
;
0,32 0,8
0,16 0,4
=
;
0,4 0,8
0,16 0,32

một lần). Nếu có lập được bao nhiêu tỉ lệ thức?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
DẠNG II: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Bài toán 1:Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
15
)
2 3
) 1,5: 4,5 : 0,3
x
a
b x
=
− =
Giải:
( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thành phần chưa biết của
tỉ lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ thức ta tìm được số hạng còn lại
trong tỷ lệ thức.

b
da
c
c
da
b
a
cb
d
d
cb
a

⇒
x = - 0,45 : 4,5

⇒
x = - 0,1 .
Vậy x = 0,1
Bài toán 2: Tìm hai số x và y biết
32
yx
=
và
20
=+
yx
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt
k
yx
==
32
, suy ra:
kx 2
=
,
ky 3
=
Theo giả thiết:
4205203220
=⇒=⇒=+⇒=+

x
;
124
3
=⇒=
y
y
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
KL:
12,8
==
yx
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết
3
2
32
y
x
yx
=⇒=

mà
1260520
3
2
20

yxyx
=⇒=
(1) ;
201253
zyzy
=⇒=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
20129
zyx
==
(*)
Ta có:
3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129
==
+−
+−
======
zyxzyxzyx
( áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó:

( sau đó giải như cách 1
của VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
5
3
53
z
y
zy
=⇒=
;
20
9
4
5
3
.3
4
3
43
z
z
y
x
yx
===⇒=mà

zyx
Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng:
52
yx
=
và
40.
=
yx
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt
0
2 5
x y
k
= = ≠
, suy ra
kx 2
=
,
ky 5
=
Theo giả thiết:
244010405.240.
22
±=⇒=⇒=⇒=⇒=
kkkkkyx
+ Với
2


13
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Hiển nhiên x
0
≠
Nhân cả hai vế của
52
yx
=
với x ta được:
8
5
40
52
2
===
xyx

4
16
2
±=⇒
=⇒
x
x
+ Với
4
=
x

10,4
−=−=
yx
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1
Bài toán 5: Tìm x, y, z biết
a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:
Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã
nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến
tính chất của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải cho phù
hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích ta có lời giải
sau:
Ta có: 3x = 5y 
24
y
40
x
hay
8
1
.
3
y
8
1
.
5

==→=

2
79
158
152440
zyx
15
z
24
y
40
x
==
++
++
===
 x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết tìm bội
số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z 
120
1
.z8
120
1

8
1
5
1
3
1
zyx
8
1
z
5
1
y
3
1
x
==
++
++
===
 x =
80240.
3
1
=
y =
48240.
5
1
=

1
.3
y7z5x3
21
1
z
15
1
y
10
1
x
==
−+
−+
===
 x =
84840.
10
1
=
y =
56840.
15
1
=
z =
40840.
21
1

1x
=−+
−
=
−
=
−
Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế nào
để xuất hiện được tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y - z = 50 hoặc2x + 3y- 5z
=10
Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn ra ngay và có
hướng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng nhau có lời
giải của bài toán như sau:
a) Ta có :
1 2 2 2( 2) 2 4
5 3 2 2.3 6
x y z y y
− − − − −
= = = =

1 2 4 ( 2) 2 3 12 3
1
5 6 2 9 9
x y z x y z
− + − − − + − − −
= = = =
+ −
 x - 1 = 5  x = 6
x - 2 = 3  y = 5

giải phần (b) và của bài toán 5.
Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:
zyx
1
z
3yx
y
2zx
x
1zy
++
=
−+
=
++
=
++
Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu? đi từ
kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện
x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng
nhau và đã có lời giải của bài toán như sau:
Giải:
Điều kiện : x, y, z ≠ 0
Ta có:
2
zyx
)zyx(2
zyx
3yx2zx1zy
z

x + z = 0,5 – y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

18
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
+)
1 0,5 1
2 2
y z x
x x
+ + − +
= ⇒ =

 0,5 - x + 1 = 2x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
+)
2 0,5 2
2
x z y
y y
+ + − +
⇒ =
 2,5 - y = 2y
 2,5 = 3y
 y =
6
5
+)

43
yx
=
,
75
zy
=
và
12432
=−+
zyx

c)
5
4
4
3
3
2 zyx
==
và
49
=++
zyx
d)
32
yx
=
và
54

211
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
zyyx 57,23
==
và
32
=+−
zyx
b)
4
3
3
2
2
1
−
=
−
=
−
zyx
và
5032
=−+
zyx

c)
zyx 532
==

C
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
)0(
≠=
n
nb
na
b
a
+)
nn
d
c
b
a
d
c
b
a






=


cbda
d
c
b
a

=⇒=

Xét tích
cbcacba ) (
−=−

Thay
adcdacacbadacb ).( ).(
−=−=−⇒=
Vậy
c
dc
a
ba
adccba
−
=
−
⇒−=− ).().(
Như vậy để chứng minh:
c
dc
a
ba

−
=
−
=
−
(1)
Và
k
k
kd
kd
kd
dkd
c
dc 1
.
)1(
.
.
−
=
−
=
−
=
−
(2)
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

21

=⇒=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a
ba
c
dc
dc
ba
c
a
dc
ba
d
b
c
a
−
=
−
⇒
−
−
=⇒
−
−
==
hay
c
dc
a

−
111

Vậy
c
dc
a
ba
−
=
−
Cách 5: Từ
c
d
a
b
d
c
b
a
=⇒=
Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

22
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
c
dc
a
ba

.

.

.
).().(
+−
=
+−−
=
−−−
=
−
=
−
Mà
0
=
+−
⇒=
ac
adbc
cbda
vì
0,
≠
ca

c
dc

0,,,
≠
dcba
và
dc
±≠
Chứng minh :
d
c
b
a
=
hoặc
c
d
b
a
=
Cách 1: Ta sử dụng cách 6:
Vì
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
nên

−−+
⇔
=
+
+−+
⇔
dbacbcad
bcdadbbcadac
cdbabdabccda
cddc
abdabccdbcda
cddc
dcabcdbac
d
b
a
bdacbdac
d
c
b
a
bcadbcad
=⇒=⇒=−
=⇒=⇒=−
0
0
Vậy

22
22
22
22
=
+
+
⇒=
+
+

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

2
2
2
22
22
22
22
)(
)(
2
2







2
2






−
−
=
−
−
=
−+
−+
=
+
+
dc
ba
dc
ba
cddc
abba
dc
ba
(2)
Từ (1) và (2)
22

+
+
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

24
⇔
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
d
b
d
b
dcdc
baba
dc
ba
c
a
c
a
dcdc
baba
dc
ba
==
+−+
+−+
=
+
+

−
−=
+
+
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
2
2
2
a b b a a b b a b b
c d c d c d c d c c
a b b a a b b a a a
c d c d c d c d d d
+ − + + −
= = = =
+ − + + −
+ − + − +
= = = =
+ − + − +
c
d
b
a
c
b
d
a
=⇒=⇒
Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức
d

( )
bdbcacadcdbcdabacd .
2222
−=−=−
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
( ) ( )
2222
bacddcab
−=−

⇒

22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
(đpcm)
Tác giả : Vũ Thị Lan Trường THCS Cao Viên

25