Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
40CHUYÊN ĐỀ 6
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI AX
2
+ BX + C = 0
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1. Giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0

Cách 1: Giải theo trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a + b + c = 0

x
1
= 1; x
2
=
c
a

+ Nếu a - b + c = 0

b
a
  

+ Nếu

= 0 thì phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
b
a

+ Nếu

< 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lưu ý: Có thể giải theo công thức nghiệm thu gọn nếu b

2

2. Tìm điều kiện để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có:
a. Hai nghiệm phân biệt: + Lập

= b
2
- 4ac ( hoặc

 







Với

= b
2
- 4ac; S = x
1
+ x
2
=
b
a

và P = x
1
.x
2
=
c
a

P
 





k. Hai nghiệm đối nhau: giải hệ phương trình:

0
0
S
 



l. Hai nghiệm nghịch đảo: Giải hệ phương trình:

0
1
P
 






Cách 2: + Giải phương trình được nghiệm x
1,
x
2

+ Thay giá trị x
1
và x
2
vào biểu thức cần tính

Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 4x
3
+ 8 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Tính giá trị
của biểu thức: Q =
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
x x x x
 

.x
2
=
c
a
= 8

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
42Q =
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
x x x x
 

=


 
2 2
1 2 1 2

1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
6 2
5 2
x x x x
x x x x x x
 
 
 
 

Thay S và P vào Q ta có: Q =


 
 
 
2
2
6 4 3 2.8
16 18 1
17
40.16 3 1 80
5.8 4 3 2.8


 
 


2

Bước 2: Cho x
1
=

hoặc x
2
=

ta tìm được m
Bước 3: Thay m vừa tìm được vào nghiệm còn lại hoặc thay m vào phương
trình (6) và giải ta được 1 nghiệm bằng

và một nghiệm còn lại.
Cách 2: Vận dụng hệ thức vi-ét ta có: S = x
1
+ x
2


x
2
= S - x
1
= S -


hoặc P = x
1

> 0 ( vì
2
1
0
2
m
 
 
 
 
)

2
1
1 1
x m m m
     2
2
1 1
x m m m
    

Với x
1
= 3



x
2
= 4 - x
1
= 4 - 3 = 1
Với x
2
= 3

2
1 1 3
m m m
    

2
2 1
m m m
     
m
2
- 4m + 4 = m
2
- m + 1


3m = 3

m = 1
Thay m = 1 vào phương trình x
2

Cách giải:
Bước 1: Khẳng định phương trình (7) có



0 (hoặc

'

0) cúng có thể tìm
điều kiện theo m để



0 (hoặc

'

0)
Bước 2: Tính S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2

Bước 3: Biến đổi điều kiện (*) thành biểu thức chỉ chứa S , P và thay S, P ở
bước hai vào điều kiện (*) ta được điều kiện (**) theo m.
3
m
 

Với
3
m

. Theo hệ thức vi-ét ta có:
S = x
1
+ x
2
=
b
a

= 4 P = x
1
.x
2
=
1
c
m
a
 



m = 2 ( thỏa
3
m

)
Vậy với m = 2 thì phương trình x
2
- 4x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa
x
1
2
+ x
2
2
= 10

8. Tìm điều kiện để biểu thức chứa nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 đạt
cực trị (GTLN hoặc GTNN) với hệ số a, b, c có chứa m.
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để




,
x
2
thỏa mãn x
1
2
+ x
2
2
(*) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Phương trình luôn có nghiệm x
1
, x
2
vì

= a
2
- 4(a - 1)



= a
2
- 4a + 4


= (a - 2)
2

1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
(*)
Thay S, P vào biểu thức (*) ta được:
x
1
2
+ x
2
2 = (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= a


đạt GTNN là 1

a - 1 = 0 hay a = 1

Lưu ý: + Ta có thể bỏ qua bước tìm điều kiện
'
 
0 nhưng khi giải ra a = 1 thì phải
thay giá trị a vào phương trình x
2
- ax + a - 1 = 0 và kiểm tra
'
 
0
+ Nếu việc giải phương trình theo tham số a là đơn giản hoặc biểu thức (*)
không thể biến đổi thành tổng và tích thì ta giải ra nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào biểu
thức để tìm cực trị. 9. Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x
1
, x
2
không phụ thuộc vào tham
số m:

2
)
Từ P = x
1
.x
2
ta rút m theo x
1
, x
2
. Giả sử m = B(x
1
; x
2
)
Bước 4: Lập A(x
1
; x
2
) = B(x
1
; x
2
) là hệ thức cần lập.
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 2(m - 1)x + 2m - 3 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ độc lập
giữa hai nghiệm x
1
, x

1
+ x
2
+ 2 hay m =
1 2
2
2
x x
 
(1)
P = x
1
.x
2
= 2m - 3


2m = x
1
.x
2
+ 3 hay m =
1 2
. 3
2
x x

(2)

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận

2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
- 3x
1
x
2
(x
1

1
x
2
]
2
- 2(x
1
x
2
)
2

x
1
6
+ x
2
6
= (x
1
2
)
3
+ (x
2
2
)
3
= (x
1

3
- 3(x
1
x
2
)
2
[(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
]

1 2
1 2 1 2
1 1
x x
x x x x

 
 

11. Với giá trị nào của tham số m thì hai phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
a'x
2
+ b'x

+ c' = 0 (2)

có hai nghiệm chung
Cách giải: Điều kiện cần
Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x
0

Bước 2: Thay nghiệm x = x
0
vào phương trình (1) và (2) ta có:
ax
0
2
+ bx
0
+ c = 0 (3)
a'x
0
2
+ b'x
0


46
2x
0
2
+ (3m + 1)x
0
- 9 = 0 (3)
6x
0
2
+ (7m - 1)x
0
- 19 = 0 (4)
Vì x
0
= 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) và (2) nên x
0


0 Từ (3) suy ra 3mx
0
= -2x
0
2


Suy ra
2
0 0
0
9 - 2x - x
3x
=
2
0 0
0
19 6
7
x x
x
 


63 - 14x
0
2
- 7x
0
= 57 - 18x
0
2
+ 3x
0
2
)
2
+ (3m + 1)
3
2
- 9 = 0




3 3 1
9
9 0
2 2
m
  2
9 6
3
m m
   

Với x
0
= 1 thay vào (3) ta được:
2.1
2

+ 11x - 57 = 0 (6)
Giải phương trình (5) và (6) ta được nghiệm chung x =
3
2

Thay m = 1 vào phương trình (1) và (2) ta được:
2x
2
+ 4x - 9 = 0 (7)
6x
2
+ 6x - 19 = 0 (8)
Giải phương trình (7) và (8) không có nghiệm chung
Vậy với m =
2
3
thì phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là
3
2

Lưu ý: Trong trường hợp tìm giá trị của tham số để 2 phương trình:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
47ax
2
+ bx + c = 0 (9)

1. Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 3m = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi
giá trị của m
b. Tính giá trị của biểu thức A = x
1
3
+ x
2
3
và B = x
1
- x
2
theo m
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa:
1 2
2 1
5
x x
x x

x

làm nghiệm
g. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương ? Hai nghiệm trái dấu ?
Hai nghiệm đối nhau ?
h. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia.
i. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 2x
1
- 3x
2
= 1
2. Cho phương trình bậc hai: (m + 1)x
2
- 2(m + 1)x + m - 3 = 0 (m

-1)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm
đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
3. Chứng minh rằng nếu phương trình x
2

+ 2mx + n = 0 có nghiệm thì phương trình:
x
2
+ 2(k +
1
k
)mx + n(k +
1
k

x
+ m = 0 có nghiệm
6. Cho phương trình x
2
- 2mx + m + 2 = 0
a. Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm
b. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức E =
1 2
x x
 theo m 7. Cho phương trình x
2

- 2(m + 4)x + m
2
- 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
a. A = x
1
+ x
2
- 3x
1
x

2
- x + 2 = 0 có nghiệm chung
10. Cho ba phương trình:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Với a, b và c khác 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên
phải có nghiệm.
11. Cho phương trình x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
x
1
- x
2
= 5, x
1
3
- x

- 2(m + 1)x + m
2
+ 2m - 5 = 0 có hai nghiệm sao cho:
(x
1
2
- 1)(x
2
2
- 1) - x
1
2
x
2
2
đạt GTLN
14. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
- 3x + a = 0. Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm
của phương trình t
2
- 12t + b = 0. Cho biết