1
A.PHẦNLÝTHUYẾT
1.Ánhxạ
1.1.Địnhnghĩa.MộtánhxạftừtậpXđếntậpYlàmộtquytắcđặttươngứngmỗi
phầntửxcủaXvớimột(vàchỉmột)phầntửcủaY.Phầntửnàyđượcgọilàảnh
củaxquaánhxạfvàđượckíhiệulàf(x).
(i)TậpXđượcgọilàtậpxácđịnhcủaf.Tập hợpY đượcgọilàtập giátrịcủaf.
(ii)ÁnhxạftừXđếnY đượckíhiệ ulà
:f X Y ®
( )
x y f x = a
(iii)KhiX vàYlàcáctậpsốthực,ánhxạfđượcgọilàmộthàmsốxácđịnhtrên X
(iv)C ho ,a X y Y Î Î .Nếu
( )
f a y = thìtanóiylàảnhcủaavàalànghịchảnhcủay
quaánhxạ f.
(v)Tậphợp
( )
{ }
,Y y Y x X y f x = Î $ Î =
gọilàtậpảnhcủaf.Nóicáchkhác,tậpảnh
( )
f X làtậphợptấtcảcác phẩntửcủaYmàcónghịchảnh.
2.Đơnánh,toànánh,songánh
2.1. Định nghĩa.Ánhxạ :f X Y ® được gọilàđơnánhnếuvới ,a X b X Î Î mà
a b ¹ thì
( ) ( )
f a f b ¹ ,tứclàhaiphầntửphânbiệtsẽcóhaiảnhphânbiệt.
Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với ,a X b X Î Î mà
( ) ( )
f a f b = ,taphảicó a b = .

Á
Á
N
N
H
H
V
V
À
À
S
S
O
O
N
N
G
G
Á
Á
N
N
H
H
T
T
R
R
O
O

H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
H
H
À
À
M
M
TRẦNNGỌCTHẮNG
2
2.3. Định nghĩa.Ánhxạ :f X Y ® đượcgọilàsongánhnếunóvừalàđơnánh
vừalàtoànánh.Nhưvậyánhxạ :f X Y ® làsongánhnếuvàchỉnếuvớimỗi

n
p p p p = o o o
14243
.
5.Mộtsốkíhiệu
¥ :Tậpcácsốtựnhiên
*
¥
:Tậpcácsốnguyêndương
¤ :Tậpcácsốhữutỷ
+
¤ :Tậpcácsốhữutỷdươ ng
¢ :Tậpcácsốnguyên
+
¢ :Tậpcá csốnguyênd ương
¡ :Tậpcácsố thực
+
¡ :Tậpcácsốthựcdương.
B.PHẦNBÀITẬPMINHHỌA
BÀIT11/409(THTT,THÁNG072011).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ ,liên
tụctrên¡ vàthỏamãn điềukiện
( ) ( ) ( ) ( )
, , .f xy f x y f xy x f y x y + + = + + " Ρ (1)
3
LIGII
Thay 1y = vo(1)tac:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 ,f x f x f x f x + + = + " ẻĂ (2)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1f x f x f x f ị + + - =

ố ứ ố ứ
ố ứ
.Túsuyra:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 0 ,f x f x f f x + - = - " ẻĂ (3)
Vinlsnguyờndngvngthc(3)tathuc:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 0f x n f x n f f + - + - = -
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 2 0f x n f x n f f + - - + - = -

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 0f x f x f f + - = -
Cngtngvcỏcngthctrờnta c:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 0 , 1,f x n n f f f x n x + = - + " ẻĂ (4)
Tngttacú:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 1 2 0 1 , 1,f x n n f f f x n x + + = - + + " " ẻĂ (5)
Thay 2y n = vo(1)vkthpvingthc(4)ta c:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2f n x f n f nx f x n f n x f nx f x n f n + + = + + + - = + -

2 1 1f x f x f x f - = + -
Cngtngvcỏcngthctrờnta c:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 1 1 1 0f nx f x n f x f n f x f - = + - + - -
4
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1 1 1 0f nx n f x f x f n f ị = + + - - - .Kthpvingthc(2)ta c:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 0 ,f nx nf x n f x = - - " ẻĂ
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 ,f nx nf x n f x ị = - - " ẻĂ (8)
Trong(8)thay 2, 1n x = = tac:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 0 2 1 0 2 0 0 1 1 2 0 1f f f f f f f f f f f f = - - = - = - - ị - = -
t
( ) ( ) ( )
1 0 0a f f b f = - = .Khiúvimisnguyờndngnvtngthc
(8)tac:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0f n nf n f an b = - - = +
( ) ( )
1 1 1 1
. 1 0f n nf n f f a b

ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
( )
f r ar b ị = + (9)
Vimi xẻĂ ,tntidóyshut
{ }
n
x hitn x nờntngthc(9)vt ớnh
liờ ntcca f suyra
( )
f x ax b = + .Thlithythamón.
Bi1(IMO1988).Tỡmttccỏchm
* *
:f đ Ơ Ơ thamón ngt hc:
( ) ( )
( )
f f m f n m n + = + ,
vimi
*
,m nẻƠ .
Ligii. Thay m n = vongthctrờntac
( )
( )
2 2f f n n = (1),vtngthc
nytacú:nu
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2

( )
2 2f f x f y x y + = + ,
Vớimọi , .x y Τ
Bài3 (MởrộngCanada2008).Tìmtấtcảcáchà msố :f
+ +
® ¤ ¤ thỏamãnđẳng
thức:
( ) ( )
( )
2 2f f x f y x y + = + ,
Vớimọi , .x y
+
Τ
Bài4 (BalkanMO2009).Kíhiệu
*
¥
làtậphợpcácsốnguyêndương.Tìmtấtcả
cáchàm
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn đẳngthức:
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2f f m f n m n + = + ,
Vớimọi
*
, .m nÎ¥
Lờigiải.Nếu
*
1 2

2 2 1 2 2 1f n f n f n f n + + - = - + + (1)
Từđẳngthức(1)tacó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 2 1 
3 2 2 1 .
f n f n f n f n f n f n
f f f a
+ - + + = + - + - = =
- + =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2
1 2 2 3

1 2 1 2
1 2 2 1 3

f n f n f n f n a
f n f n f n f n a
f n f n f f a n
f n f n f f a n

2 2
3 3f f n n = (4)
Từ(3)và(4)tathuđược 1, 0b c d = = = .Vậy
( )
f n n = ,vớimọi
*
nÎ ¥
.
Nhậnxét.Bằngcáchlàmtươngtựtagiảiđượcbàitoánsau:
Bài5(HSGLớp10VĩnhPhúc2011).Kíhiệu ¥ chỉtậphợpcácsốtựnhiên.Giả
sử :f ® ¥ ¥ làhàmsốthỏamãncácđiềukiện
( )
1 0f > và
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2f m n f m f n + = + ,
vớimọi ,m nÎ ¥ .Tínhcácgiátrịcủa
( )
2f và
( )
2011f .
Bài6(IndonesiaTST2010).Xácđịnhtấtcả cácsốthực a saochocómộthàmsố
:f ® ¡ ¡ thỏamãn:
( ) ( )
( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
f xf y f f x f y yf x f x f y + + = + + ,
Vớimọi ,x y Ρ .
Lờigiải
+)Nếu
( )
0f x = vớimọi x Ρ ,thửvàophươngtrình đãchota thấythỏamãn.
7
+)Nếutồntại a Ρ saocho
( )
0f a ¹
.Khiđóvới
1 2
,y y Î ¡ saocho
( ) ( )
1 2
f y f y = ,
từphươngtrìnhtrênthay x bởia và
y
lầnlượtbởi
1 2
,y y tađược:
( )
( )
( ) ( )
( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0 0 0. 0
,
f xf f f x f f x f x f
f f x f x f x x x
+ + = + +
Û = Û = " Î ¡
Vậy
( )
0,f x x = " Ρ hoặc
( )
,f x x x = " Ρ.
Bài8(T11/407THTTtháng52011).Tìmtấtcảcáchàmsố f xácđịnhtrêntập
¡ ,lấygiátr ịtrong ¡ vàthỏamãnphươngtrình
( )
( )
( )
( )
2f x y f y f f x y + + = + ,
vớimọisốthực
,x y
.
Lờigiải.

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0 0 2
0 0 2 (4)
f f f y y f y f f f f y y
f y f f f f f y y
- + + = - +
Û + = - +
Từ(4)lầntha y
y
bởi
1 2
,y y tađược
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
0 0 2

Thay 2x y t = = vophngtrỡnhhmban uvkthpvi (1)tac:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 4 4 0f t f t f t f t f t + + = = (2)
T(1),(2)vdo f lnỏnhnờntacú:
( ) ( )
( )
( )
4 2 4 2 0 0
2
x f x
f t f t t t t x f x x
+
= = = - + = = .
Vy
( )
f x x = ,vimi x ẻĂ .
Bi10.Xộtttccỏ chmnỏnh :f đ Ă Ă thamón iukin:
( )
( )
2f x f x x + = ,
vimi xẻĂ .Chngminhrnghms
( )
f x x + lmtsongỏnh.(19)
Ligii.
t
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x x f x g x x = + ị = - .Khiútphngtrỡnhban utac:
( )

g
ltonỏnh.Thtvyvimi xẻĂ tacú:
( )
( ) ( ) ( )
2.
2 2 2
f x f x f x
f x f f
ổ ử
ổ ử
= = +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
vkthpvi f lmtnỏnhtathuc:
( ) ( ) ( )
2 2 2
f x f x f x
x f g
ổ ử ổ ử
= + =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.ngthcnychngt
g
lmttonỏnh.
Doú
g

suyra
g
làmộtđơ nánh.
+)Tachứngminh
( )
g x làtoànánh.Thậtvậyvớimọi xΡ vàdo h làmộtsong
ánhnêntồntại y Ρ saocho
( ) ( ) ( )
( )
( )
f x h y f g y x g y = = Þ = (do f làđơnánh).Từđósuyra
g
là mộttoàn
ánh.
Vậy
( )
g x làmộthàmsongánh.
Bài12.Xéttấtcảcá chàm
{ }
: 0f
+
® ¡ U ¡ thỏamãn đồ ngthờihaiđiềukiệnsau:
(i)
( ) ( ) ( )
f x y f x f y + = + ,vớimọi
{ }
, 0x y
+
Ρ U
(ii)Sốphầntửcủatậphợp

( )
( )
( )
1 2 1 2
0f n x x nf x x - = - = ,vớimọi
*
nÎ ¥
.Từđókết
hợpvớiđiềukiện(ii)tasuyra
1 2
x x = .Vậy f làmộthàmđơnánh.
Bài13(ShortlistIMO2002).Tìmtất cảcác hàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
( )
2f f x y x f f y x + = + - ,
vớimọi , .x yÎ ¡.
Lờigiải.
+)Tachứngminh f làtoànánh.Thậtvậy,tha y
( )
y f x = - vàophươngtrìnhban
đầutađược:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

Với
1 2
,y y Ρ sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2
2 2f y f y f f x f y f f x f y = Þ + = + suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2
f x y f y f x y f y y y + + = + + Þ = .Dođó f làmộtsongánh.
Thay
( )
y f x = - vàophương trìnhban đầutađược:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
f f x f f x f f x
f x f f x f x
+ - = -
Þ + - = -
( )

( )
,f x x x = " Ρ .
Bài14.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đồ ngthờicácđiề ukiệnsau:
(i)
( )
( )
( )
f f x y x f y + = + ,vớimọi ,x y Ρ
(ii)Vớ imọi
x
+
Î ¡
tồntại y
+
Ρ saocho
( )
.f y x = (27)
Lờigiải.
Với
1 2
,x x Ρ saocho
( ) ( )
1 2
f x f x = nêntừđiềukiện(i)tađược:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2

Tachứngminh f làhàmđồngbiến.Thậtvậyvới
1 2 1 2
, ,x x x x Î > ¡ vàkếthợpvới
(3)tacó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 2 2
f x f x x x f x x f x f x = - + = - + > suyra f là một hà m số
đồngbiến.
Dohàmsố f đồngbiếnvàđẳngthức(2)tathuđược:
( )
,f x x x = " Ρ .
Vậy
( )
,f x x x = " Ρ .
Bài14(France1995).Chohàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ làmộtsongánh.Chứ ngminhrằng
tồntạibas ốnguyêndương , ,a b c saocho a b c < < và
( ) ( ) ( )
2f a f c f b + = .
Tasẽchứngminhbàitoántổngquáthơnbàitoántrên.
Bài15.Chohàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ làmộtso ngánh.Chứngminhrằngtồntạibốnsố
nguyêndương , , ,a b c d saocho a b c d < < < và
( ) ( ) ( ) ( )
f a f d f b f c + = + .
Lờigiải.
Dof làmộtsongánhtừ
*

{ }
1,2,3, ,k n Î thì
( )
( )
f f k k = .
1) Chứngminhrằng
n
a làsốchẵnvớimọi 2n ³ .
2) Chứngminhrằngvới 10n ³ và 3nM thì
9
3
n n
a a
-
- M .
12
Chứngminh. Tacó
n
a bằngtổngcủasốcácsongánhthỏamãn
( )
f n n = vàsốcác
songánhthỏamãn
( )
f n n ¹ .Chúýrằngvới
( )
f n n ¹ thì
( ) { }
1, 2,3, , 1f n n Î - nên
( )
f n có 1n - cáchchọn.Dođótacóđẳngthứcsau:

n n
a a
-
Þ - º nếu
( )
0 mod3n º .
Từđótasuyra:
( )
9 3 3 6 6 9
0 mod3 , 10
n n n n n n n n
a a a a a a a a n
- - - - - -
- = - + - + - º " ³ .
Bài16.Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( )
( )
f x y f xy f f x y xy + + = + + ,
vớimọisốthực
,x y
. (1)
Lờigiải.
Trướchếttachứngminh f làmộthàmđơnánh.Thậtvậy,xéthaisốa, bbấtkì.
Chọn ssaocho
2 2
4 ; 4s a s b > > .Khiđóphươngtrình
2
0t st a - + =

( )
( )
( )
( )
0 ( ) (0)f x f f f x f x x f + = Þ = + .
Vậy
( )
f x x a = + ,trongđó a làmột hằngsố.
C.PHẦNBÀITẬPĐỀNGHỊ
Bài17.Tìmtấtcảcáchàm
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãncácđiềukiệnsau:
(i) f làtoànánh;
(ii)m làướccủa n khivàchỉkhi
( )
f m làướccủa
( )
f n .
Bài18.Tìmtấtcảcáchàm
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn điềukiện:
13
( )
( )
( )
1f m f n n f m + = + + ,
vớimọi
*
,m nÎ¥ .
Bài19(CHSéc2006).Tìmtấtcảcá chàm :f ® ¢ ¢ thỏamãn điềukiện:

.
Bài22.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2f x f x y x f f x f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(9)
Bài 23 (Olimpiad Áo – B alan 1997). Chứng minh rằng không tồn tại hàm số
:f ® ¢ ¢ s aochovớimọisốnguyên
,x y
tacó
( )
( )
( )
f x f y f x y + = - .
Bài24.Xéttấtcảcá chàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2f x f x y x f x f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .Chứngminhrằng f làmộtsongánh.(8)
Bài25.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( )
( ) ( )
f f x f y x f y f x y + = + + +
,

( ) ( ) ( )
1 , 2 , 3 , f f f lậpthànhmộtcấp sốcộngvớicôngsaidương.
14
Bài29.Cótồntại haykhôngmộtsongánhthỏamãn điềuk iện:
( ) ( ) ( )
1 2 f f f n n + + + M ,
vớimọisốnguyêndươngn .
Bài30.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2 2f x f x y x f x f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .Chứngminhrằng
( )
0 0.f = (11)
Bài31.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2 2f x f x y x f y f y + + = + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(10)
Bài32.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( )
( )
( ) ( )
2 2f x f y x f x y f y + = + + + ,
vớimọi ,x y Ρ .(16)
Bài33.Tìmtấtcảcáchàm :f ® ¡ ¡ thỏamãn đ iềukiện:
( ) ( )
( )

{ } { }
: 0 0f
+ +
® ¡ U ¡ U thỏamãn điềukiện:
( )
( )
2
x f x
f y f x y
+ æ ö
+ = +
ç ÷
è ø
,
vớimọi
{ }
, 0x y
+
Ρ U (24).
Bài37.Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
f f f x f y z x f y f f z + + = + +
,
vớimọi , , .x y z Ρ (29)
Bài38(Morocco2011).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:

+
Ρ .
Bài 41 (Macedonia NMO 2008). Tìm tất cả các hà m đơn ánh
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa
mãn điềukiện:
( )
( )
( )
2
n f n
f f n
+
£ , vớimọi
*
nÎ ¥
.
Bài42(MacedoniaNMO2007).Cho n làmộtsốtựnhiênchiahếtcho4.Xác
địnhsốsongánh
{ } { }
: 1,2, , 1,2, ,f n n ® saocho:
( ) ( )
1
1f j f j n
-
+ = + ,
vớimọi 1,2, , .j n =
Bài43.Tìmtấtcảcáchàmsố
* *
:f ® ¥ ¥ thỏa mãn điềukiện:

( )
f f g x g g g x =
.
Bài45 (APMO1989).Chohàmsố f tăngthựcsự,nhậngiátr ịthựctrêntậpcác
sốthực.Giảsửtồntạihàmngược
1
f
-
.Tìmtấtcảcáchàmsố f nhưthếsaocho
( ) ( )
1
2f x f x x
-
+ = ,vớimọisốthực x .
Bài46.Chocáchà msố , :f g ® ¢ ¢ .Chứngminhrằnghàmsố f go khônglàmột
toànánh.
Bài 47. Cho toàn ánh :f ® ¢ ¢ .  Chứng minh rằng tồn tại hai hàm toàn ánh
, :g h ® ¢ ¢ saocho .f gh = .
Bài48.Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
f xf x f y f x y + = + ,
vớimọi ,x y Ρ .
Bài 49. Cho
m n ³
là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng số các toàn ánh
{ } { }

( )
( )
{ }
:T U f g g f
w w w
= Î =
,
vàgiảsửU S T = U .Chứngminhrằngvới U
w
Î ,
( )
f S
w
Î khivàchỉkhi
( )
g S
w
Î .
Bài51(Shortlist2009).Tìmtấtcảcáchàmsố :f ® ¡ ¡ thỏamãn điềukiện:
( )
( )
( )
( )
2
f xf x y f yf x x + = + ,vớimọisốthực x và
y
.