I.ĐỀ TÀI:
Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 10 tránh những sai lầm khi giải các
bài tập về phương trình và bất phương trình.
II.ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học để giải bài toán của
học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm.Chính vì vậy giáo viên cần
hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán
mà không mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp .
Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương
trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do
không nắm vững lý thuyết vừa học.Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10
khi giải một phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà
không ghi thêm điều kiện nào.Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học
sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên
học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được
Vì lí do trên tôi chọn đề tài : Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 10
tránh những sai lầm khi giải các bài tập về phương trình và bất phương
trình.
III. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ở trường phổ thông,dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội
dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra …
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn
tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục,
chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng
tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ


Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

2
Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
4. Quan niệm về tiến trình giải toán
Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán
là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự
chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là
tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích
của bài tập. Đó là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng,
thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh
khi giải một bài toán có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp,
chuyển từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn
hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển
bài toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau.
Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con
của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu
ích cho việc giải bài toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán
phức tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm
một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán
đang tìm cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài
toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút
ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động:
hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo

= ⇔ =
?
Ví dụ: Giải phương trình:
2
2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
(1)
Sai lầm thường gặp :

2
2
6
0
2 3 2
x x
x x
− −
=
+ −
2
2
6 0
3

2 3 2 0
1
2;
2
x
x x
x loai
x
x x
x x

=




− − =
  = −

⇔ ⇔ ⇔ =
 
+ − ≠



≠ − ≠


GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ


2( 6) 0x x x− − − =
(2)
Sai lầm thường gặp:
Pt(2)
2
2
2 0
2
6 0
3
x
x
x
x x
x
=


− =

⇔ ⇔ = −


− + =



=

Nguyên nhân sai lầm:với x=-2 thì

 = − =
 

⇔ ⇔

 

= =

 


≥



KẾT LUẬN: f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

với x thuộc tập xác định của phương
trình f(x).g(x)=0.
Bài tâp tương tự: Giải phương trình

2
3 2x− +
) - (x
2
1x− +
)=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ
f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=

⇔

=

?

5

⇔
4x-3=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)


− + − − + =

Pt(*)
2 2 2
3 2 ( 1 1)x x x x⇔ − + = − + +

2 2 2
2
2 2
3 2 1 2 1 1
0
0
1 ( )
1
1 ( )
x x x x x x
x
x
x x x vn
x
x x x
⇔ − + = − + + − + +
− ≥
≤


⇔ − + = − ⇔ ⇔
 
=

3 2 1
( 3 2) ( 1)
1
3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − − +
⇔ =
− + + − +
− + − − +
⇔ =
− + + − +
⇔ − + − − + =

2 2
2 2 2
2 2 2
3 2 1 1
3 2 ( 1 1)
3 2 1 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + +
⇔ − + = − + + − + +

h x
=

= ⇔

≠

Bài tập tương tự: Giải phương trình:
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

6

a.
( 1 1)( 10 4)x x x+ + + − =
b.
2
( 1 1)( 1 7)x x x x x+ + + + + − =
4.DẠNG: Ví dụ: Giải phương trình
2
( 1)( 2) 1x x x x+ − − = +
(4)
Sai lầm thường gặp: Pt (3)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +

2
( 1) ( 2) 1
1 2 1


2 1
3
1
x
x
x

− =

⇔ ⇔ =

> −


Nguyên nhân sai lầm: x=-1 là nghiệm của phương trình.
Lời giải đúng:
Pt(4)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x⇔ + = +2
( 1) ( 2) 1
1 0
1 2 1
1 0
1
1
2 1
3


⇔ ⇔
− =



=



> −



2.Giải phương trình: 2
2
3
9 ( 5)
3
x
x x
x
+
− = +
−
(5)
Sai lầm thường gặp:
pt (5)
3
2 ( 3)( 3) ( 5)

3
x
x x
x
+
⇔ + − − =
−

3
(2( 3) ( 5) 0
3
3
( 11) 0
3
3 0 3
11
11 0 11
3 0 3
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
+
⇔ − − + =

11 0; 3
1 3 0; 3
11
3
3
3
3
x x
x x
x
x
x
x
x

 − = ≥




− = ≤


=



⇔ ⇔
>



≥ >


≥

= =


− − ≤ −


≤ <

−

GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

8
2
3 3 3 3
2 ( 3) ( 5) 2 . 3 ( 5)
3 3
3 3
3
(2 3 ( 5)) 0
3
2( 3) ( 5) 0; 3 0
2 3 ( 5) 0
2(3 ) ( 5) 0; 3 0

+
⇔ − − + =
−

 − − + = − ≥


 − − + =





− − + = − ≤



+


≥


⇔ ⇔
>


−



b.
2
2
2 6 ( 5)
3
x
x x x
x
+
− − = +
−
c.
2
(3 1)(3 4 1) 1x x x x− − + = −
d.
2
(2 3)(2 3) 1x x x x− − − = +
5.DẠNG:
. .
0
A C
A B AC
A

=
= ⇔

=

?

− = −


− − − =



2
0
2 3 2
x
x x
=

⇔

− = −

2 2
0 0
2 2
2 3 2 2 3 0
x x
x x
x x x x
= =
 


⇔ ⇔ =
 =







= −





Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi phương trình sau không phải là phép
biến đổi tương đương
2 2
(2 3) ( 2) 2 3 2x x x x x x x x− = − ⇔ − = −
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

9
Lời giải đúng: pt(6)
⇔
2
(2 3) ( 2)x x x x− = −
2
2
0

⇔ ⇔ ⇔

− = −




= −
≥

 


− ≥





≤




KẾT LUẬN:

0
. .
0; . 0
A

(7)
Sai lầm thường gặp:Bpt(7)
2
2
2
4; 3
12 0
3 10 0
2( 1) ( 12)
x x
x x
x x
x x x
≠ − ≠

+ − =


⇔ ⇔
 
+ − ≥
+ ≥ − + −




4; 3
2
5 3
2

Lời giải đúng:
Bpt(7)
2 2
2 2 2
1 1 2( 1) ( 12) 3 10
0 0 0
12 2 12 12
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + − + −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

( ) 0
( )
. ( ) . ( )
( )
g x
f x a
b f x a g x
g x b
≠

≥ ⇔

≥

;
( ) 0; ( ) 0

+
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm bất phương trình:
S=(
−∞
;-5]
∪
(-4;2]
∪
(3;
+∞
)

2.Giải bất phương trình:
1 1
3 4 6x x
≥
+ −
(8)
Sai lầm thường gặp:
Bpt(8)
3 3
( 3)(4 6) 0
3; 3;
3
2 2
3 4 6
3 9 3
x x
x x x x
x

⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ − + − + −
Lập bảng xét dấu:
x -
∞
-3 3/2 3 +
∞
x-3 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
4x-6 - - 0 + +
VT -
P
+
P
- 0 +
Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là:
S=(-3;3/2)
∪
[3;
+∞
)
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

11
KẾT LUẬN:
( ) ( )
0 . ( )[bf(x)-ag(x)]>0
( ) ( )
1 1
( ). ( )[ ( ) ( )] 0


≤

Nguyên nhân sai lầm: Với x=0 thì x
2
(2x
2
-3x+1)=0 nên (9) thỏa mãn.Cách
giải trên đã làm mất nghiệm.
Lời giải đúng: Bpt(9)
2
0
1
( ; ] [1; ) {0}
2
2 3 1 0
x
x
x x
=

⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ∪

− + ≥

KẾT LUẬN:
2 2
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 0 ; ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0

 
≥ ≤
 
?

12
Bpt(10)
2
2
2
1
3
2 3 2 0
2
1
3 0
3
2
0
x
x
x
x x
x
x x
x
x
 ≥



2 2 2
2
2 2
2
2
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0 3 0
2 3 2 0
( 3 ) 2 3 2 0
2 3 2 0
3 0
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x


− − =




− − − = − =


⇔ ⇔



x
x x
x
x
x
 =






= −

=




⇔ = ⇔ ≥ −




>

≤ −






=
=


≥ ⇔ ⇔


≥

 >



>




>


Bài tập tương tự:Giải bất phương trình:
2
(2 5) 2 5 2 0x x x− − + ≥
4.DẠNG:

Ví dụ: Giải bất phương trình sau:
2

+ −
⇔ − − + − ≤

2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −



2
0
0
2 3
6 0
x
x
x
x x
≠
≠



2 2 2
0
4 4 2 4
x
x x x x
≠


⇔

− − + − ≤ + −



2
2
0
0
0
4 0 2 2
2 2
2 3
6 0
x
x
x
x x
x
x
x x

Bài tập tương tự:Giải bất phương trình:

2
2 2
2
3 2 1 25
5 25
x
x x x
x
− + − − ≥
+ −
VI.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho
tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tôi
dạy thì thu được kết quả sau:
Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu
10C1 2009-2010 38/51 (74,5 %)
10C2 2009-2010 41/52 (78,8%)
GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

14
10A3 2009-2010 41/50 (82,0%)
VI. KẾT LUẬN:
Được giảng dạy các lớp 10 nên tôi đã nhận thấy được một số khuyết
điểm, sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài tập,nhất là
những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có
chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai.
Khi hướng dẫn học sinh sửa bài tập gặp những bài toán về phương
trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức

NXBGD.
5.G.Polia (1975), Giải một bài toán như thế nào, NXBGD.
6.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các
sáng
tạo khi giải toán, NXB Hà Nội.

GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

17
MỤC LỤC

Trang
I.Đặt vấn đề 1
II.Cơ sở lí luận. 1-3
III.Cơ sở thực tiễn. 3
IV.Nội dung nghiên cứu
1.Sai lầm thường gặp trong giải phương trình ở lớp 10 3-8
2.Sai lầm thường gặp trong giải bất phương trình ở lớp10 8-11
V.Kết quả nghiên cứu 11
VI.Kết luận 12
VII.Tài liệu tham khảo 13

GV: Trần văn Trứ-Trường THPT Lê Quý Đôn –Tam Kỳ

18