TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
--------------

NGUYỄN THỊ THÚY VÂN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT
HÀM BIẾN PHỨC TRONG MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM VÀ
PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TH.S PHÙNG ĐỨC THẮNG

HÀ NỘI 2010


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc
tới các thầy, cô trong khoa Toán - Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên
giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy - Phùng Đức Thắng đã tạo
điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn
này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài
không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy, cô và các bạn trong khoa.
Em xin chân thành cảm ơn!


3

1.1.1 Định nghĩa

3

1.1.2 Các phép toán trên số phức

4

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức

6

1.1.4 Dạng mũ của số phức

8

1.1.5 Phép khai căn của một số phức

9

1.2 Hàm biến phức

10

1.2.1 Định nghĩa hàm biến phức

10

Chƣơng 3: Số phức và lời giải của phƣơng trình sai phân
3.1 Các kiến thức cơ bản

36

3.1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân

36

3.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính

37

3.1.3 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

38

3.2 Bài tập vận dụng

42

3.3 Bài tập củng cố

49

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

Chƣơng 1: SỐ PHỨC, HÀM BIẾN PHỨC
1.1 Số phức
1.1.1 Định nghĩa
Ta biết rằng trong tập hợp số thực, phương trình bậc n  2 không phải
bao giờ cũng có nghiệm, ví dụ như phương trình x2  1  0 . Vì vậy cần phải
đưa vào một loại số mới có bản chất tổng quát hơn, mà số thực là một trường
hợp đặc biệt. Và tất nhiên khi đưa ra loại số mới này ta cần phải trang bị trên
nó một số phép toán, mà các phép toán này phải phù hợp với phép toán đã có
trên tập hợp số thực. Có nhiều phương pháp để xây dựng loại số mới này, ở
đây ta đưa vào số i ( gọi là đơn vị ảo ) là nghiệm của phương trình x2  1  0
trong tập hợp các số mới đưa vào.
Định nghĩa. Số phức là số có dạng z  x  iy trong đó x, y  và i được gọi
là đơn vị ảo ( i 2  1  0 ).
x : được gọi là phần thực của số phức z , kí hiệu: Re z ;

y : được gọi là phần ảo của số phức z , kí hiệu: Im z .
Đặc biệt: Nếu y  0 khi đó số phức z  x  i.0  x là số thực x .
Nếu x  0 khi đó số phức z  0  iy  iy gọi là số thuần ảo.

 x  x2
Hai số phức z1  x1  iy1, z2  x1  iy2 gọi là bằng nhau nếu  1
.
 y1  y2
Cho số phức z  x  iy , số phức có dạng x  iy được gọi là số phức liên hợp
của số phức z . Kí hiệu z , nghĩa là
z  x  iy  x  iy .

Kí hiệu:   z  x  iy x, y    là tập hợp các số phức.

6

Chú ý: z.z  x 2  y 2  0 .
Phép chia: Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số
đó khác không.
Giả sử z2  0 , khi đó ta có thể tìm được số phức z  x  iy sao cho z2 .z  z1 .
Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

 x2 x  y2 y  x1
.

y
x

x
y

y
 2
2
1
Vì z2  0 nghĩa là định thức Crame khác 0 , nên hệ phương trình trên luôn có
một nghiệm  x, y  duy nhất. Số phức z  x  iy này được gọi là thương của
hai số phức z1 , z2 .
Giải hệ phương trình này ta được

Kí hiệu: z 

x

x1 x2  y1 y2
x22  y22

1.1.3 Dạng lƣợng giác của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Descartes xOy và ta biểu diễn một số
phức z  x  iy bởi một điểm có tọa độ  x, y  . Như vậy các số thực sẽ được
biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox , nó được gọi là trục thực; các số thuần ảo
được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy , nó được gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng xOy có tọa độ  x, y  ta đặt tương
ứng với một số phức z  x  iy .
Vậy có sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp các số phức  với tập hợp các điểm
của mặt phẳng xOy .
Vì mỗi một điểm có tọa độ  x, y  trong mặt phẳng đều tương ứng với một
vectơ có bán kính vectơ r  x2  y 2 và góc cực tương ứng  . Do đó, mỗi số
phức z  x  iy có thể biểu diễn
z  r  cos  i sin   ,

9


Trong đó r , lần lượt là bán kính cực và góc cực của số phức z .
Bán kính r gọi là môđun của số phức z . Kí hiệu: r  z .
Góc cực  gọi là argument của số phức z . Kí hiệu:   Argz .
Môđun của số phức z được xác định một cách duy nhất

z  x2  y 2  0 .
Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của 2

y

 arctan x  2k  k   
  Argz  
arctan y   2k  1   k  Z 


z n  r n  cos n  i sin n  .

Với r  1 ta có công thức Moive sau

 cos  i sin  

n

 cos n  i sin n

n  1 .

Công thức Moive còn đúng với cả n  0 và n nguyên âm.
Thật vậy
Với n  0 ta có  cos  i sin    1  cos0  i sin 0 .
0

Với n , đặt k  n ta có

 cos  i sin  




k

  cos  i sin  

1


z  r.ei .

Dạng z  r.ei được gọi là dạng mũ của số phức z .
Từ cách viết z1  r1.ei1 , z2  r2 .ei2 ta có các đẳng thức

11


1) z1.z2  r1.r2 .e 

i 1 2 

2)

z1 r1 i1 2 
 e
z2 r2

.

 z2  0  .

3) z n  r nein .
Từ đó ta có
(E)

cos 

1 i




k  n r . cos

  k 2
n

 i sin

Ta viết

12

  k 2 
n

 , k  0,1,..., n  1 .



n

 
  2k
  2k
z   n r  cos
 i sin
n
n

Bằng cách viết   u  iv, u  Re, v  Im , hàm f có thể viết dưới dạng
f z  uz ivz .

Hai hàm u, v được gọi là hàm phần thực và phần ảo của f .
u  z   Re f  z    Re f   z  .
v z  I m f  z   I m f  z  .

1.2.2 Tính liên tục, liên tục đều
Cho hàm số f xác định trên tập tùy ý D   với giá trị trong  và

13


z0  D là điểm tụ của D .

Số phức a gọi là giới hạn của hàm f khi z dần đến z0 và viết

lim f  z   a . Nếu với mỗi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z0 sao cho
z  z0

f  z  V , z U , z  z0 .
Điểm xa vô tận a      gọi là giới hạn của f  z  khi z  z0
nếu R  0 tồn tại lân cận U của z0 sao cho: f  z   R , z U .
Hàm f gọi là liên tục tại z0 nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:
C1. Nếu z0 là điểm cô lập của D nói cách khác tồn tại lân cận U của z0
trong D sao cho U  D   z0  .
C2. Nếu z0 không là điểm cô lập của D thì lim f  z   f  z0  .
z  z0

Viết f  z   u  z   iv  z  , z  D . Khi đó, f liên tục tại z0  x0  iy0  D


15


Chƣơng 2: PHƢƠNG TRÌNH HÀM VỚI
BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH
Ta khảo sát các phương trình hàm với acgumen biến đổi sinh bởi hàm
phân tuyến tính thực dạng

f   x    a f  x   b ,
trong đó

  x 

x
,    0 .
x 

2.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính
Trước hết, ta khảo sát phương trình đại số với hệ số thực dạng:
m
 x, m  0 .
x 

(2.1)

Phương trình (2.1) tương đương với phương trình bậc 2

x2   x  m  0, m  0 .


x
 x,     0 .
x 

(2.3)

về phương trình dạng (2.1).
Ta sử dụng đồng nhất thức sau

x
  
 
x 
x 
và viết phương trình (2.3) dưới dạng



  
  
 x  
  x     ,
x 
x 

hay

  
t,
t     


Đẳng cấu phân tuyến tính

Ánh xạ phân tuyến tính đã được đề cập ở phần trên. Ở đây, ta sẽ trình bày
những tính chất cơ bản của ánh xạ đó.
Ánh xạ phân tuyến tính được xác định bởi hệ thức



az  b
, ad  bc  0 ,
cz  d

(2.6)

trong đó a, b, c, d là các số phức.
Với điều kiện ad  bc  0    const .
c  0
Trong công thức (2.6) nếu 
thì
 d  0



a
b ~ ~
z azb.
d
d






   ,      
c
c
ta thấy rằng (2.6) liên tục trên  . Định lí được chứng minh.
Định lí 2.2. Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên  .
Chứng minh
d
Đối với trường hợp z   ,  tính bảo giác suy ra từ nhận xét rằng tại các
c

điểm đó có

d ad  bc

 0.
dz  cz  d 2
Bây giờ giả sử hai đường cong  1 ,  2 đi qua điểm z  

d
và  là góc giữa
c

 1 và  2 tại điểm ấy. Suy ra rằng góc giữa các ảnh  1* ,  2* của  1 ,  2 tương ứng
d

qua ánh xạ (2.6) tại điểm     z    là bằng  vì

1) Hợp (tích) các đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.
2) Ánh xạ ngược của đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.
Chứng minh
Khẳng định (2) là hiển nhiên.
Ta chứng minh (1). Giả sử




a1 z  b1
, a1d1  b1c1  0 ,
c1 z  d1

a2  b2
, a2 d 2  b2c2  0 .
c2  d 2

Khi đó
a1 z  b1
 b2
 a a  b c  z   a2b1  b2d1   az  b ,
c1 z  d1

 1 2 2 1
a z  b1
c2 1
 d 2  a1c2  c1d 2  z   b1c2  d1d 2  cz  d
c1 z  d1
a2


S  a, R    z  a  R -hình tròn.

S *  a, R    z  a  R -phần ngoài hình tròn.





P  R,   z   : Re  ei z   R là nửa mặt phẳng.
Thật vậy, đặt ei  cos  i sin  , z  x  iy , ta có

P  R,    x, y    2 : xcos  y sin   R .
Đó là nửa mặt phẳng.
Định lí 2.4. Đẳng cấu phân tuyến tính bất kì biến “hình tròn” (“đường tròn”)
thành “hình tròn” (tương ứng thành “đường tròn”).
Nói cách khác: “hình tròn” và “đường tròn” đều là bất biến của nhóm các
đẳng cấu phân tuyến tính.
Chứng minh
Ánh xạ phân tuyến tính có thể biểu diễn dưới dạng hợp của các ánh xạ:



a bc  ad
1
d


,



1



 a  R, 1  a  R  , 1  a  R 2 
2

2

 1  2Re  a   a   R 2  .
2

2

2

Tiếp theo, ta xét 3 trường hợp sau
a) a  R . Ta có

a

2



 R 2   2Re  a   1  0
2

   2Re



a
2

R2
a  R2
2

R
a  R2
2

2

 R2





 a
2

a
2

2

.





1
a  R2
2


1
1
.
Re  a    Re  ei  
2
2a
Đó là nửa mặt phẳng.
2. Đối với phần ngoài hình tròn S *  a, R  , định lí được xét tương tự.
3. Bây giờ, ta xét ánh xạ nửa mặt phẳng Re  ei z    R, R  0 .
Ảnh của nó sẽ là
 i  
2
 i 1 
Re  e
  R  Re  ei    R  ,
   R  Re  e
2 


 



Đó là phần ngoài hình tròn.
Phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re  ei z   R  0 được xét tương tự.
Nhận xét 2.2. Trong mọi trường hợp, điểm a được ánh xạ thành điểm
điểm này thuộc ảnh hình tròn S  a, R  cùng với một lân cận nào đó của nó.
Định lí 2.5. Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền.
Chứng minh
Giả sử B là miền,     z  là ánh xạ phân tuyến tính, D    B  .
1. Chứng minh D là tập hợp mở.

23

1
,
a


Với mọi 0  D tồn tại duy nhất điểm z0  B sao cho   z0   0 .
Giả sử U  z0   B là lân cận của điểm z0 (hình tròn với tâm z0 nếu z0   ,
hoặc phần ngoài hình tròn nếu z0   ).
Khi đó, theo định lí 2.4 ta có  U  z0   là “hình tròn” chứa điểm 0 cùng với
một lân cận nào đó của nó.
Như vậy, 0 là điểm trong của D và do đó D là tập hợp mở.
2. Chứng minh D là tập hợp liên thông.
Vì B là tập hợp liên thông nên từ định lí 2.1 suy ra rằng D là tập hợp liên
thông.
Như vậy, D là tập hợp mở và liên thông, nghĩa là D là miền.
Định lí 2.1, 2.2, 2.4 là những tính chất đặc trưng của ánh xạ phân tuyến tính.
Ngoài tính bảo giác và bảo toàn đường tròn, nhóm các đẳng cấu phân tuyến
tính còn có những bất biến khác nữa.
Đẳng cấu phân tuyến tính (2.6) chứa ba tham số phức là tỉ số của ba trong bốn

thì
 zk , k  1,2,3 ,
cz  d
cz k  d

hay là
cz 2k   d  a  zk  b  0, k  1,2,3 .

Đa thức bậc hai ở vế trái chỉ có thể có ba nghiệm khác nhau ( z1  z2  z3 )
khi mọi hệ số của nó đều bằng 0, tức là a  d , b  c  0 và  2 1  z   z hay
là 1  z   2  z  .
2. Sự tồn tại. Đẳng cấu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí
được xác định theo công thức (2.8).
Thật vậy, giải phương trình (2.8) đối với  ta thu được hàm phân tuyến tính.
Ngoài ra, khi thế cặp z  z1 ,  1 vào công thức (2.8) thì cả hai vế của (2.8)
đều bằng 0.
Thế cặp z  z3 ,  3 vào (2.8) ta thu được cả hai vế bằng 1. Và cuối cùng thế

z  z2 ,  2 ta thu được cả hai vế đều bằng  .

25