Phần I: Cơ sở lý luận
1. Phơng trình bậc hai và hệ thức viét học sinh đợc học trong trơng trình đại số
lớp 9 ở bậc THCS. Đối với các em học sinh có năng khiếu, các đối tợng học sinh
có năng lực học toán thì các dạng bài tập về phơng trình bậc hai trong sách giáo
khoa thờng cha làm các em thoả mãn. Vì tính hiếu học của mình, xét trên địa
bàn và thực tế qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 tôi thấy nhu cầu học tập của các
học sinh muốn đợc tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải
các bài tập trong kỳ thi vào trờng THCS, Trờng Chuyên Hùng Vơng học một số
trờng, lớp chất lợng cao ở một số vùng miền.
2. Từ thực tế các dạng bài tập với một số nội dung yêu cầu biện luận để phơng
trình có nghiệm, vô nghiệm khi các hệ số a của x
2
, hoặc hệ số b của x, hoặc hệ
số tự do của c có chứa tham số. Trong các trờng hợp này các em không thể quên
điều kiện xét hệ số a = 0 (trong trờng hợp a có chứa tham số).
3. Học sinh thờng chỉ làm quen với các công thức nghiệm, tính biệt số và tính
ngay tổng S và tích P của nghiệm, cha quan tâm đến dấu của để xem phơng
trình có nghiệm hay không.
4. Với các bài tập liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét, phần lớn
không biết vận dụng, bắt đầu từ đâu để giải bài tập.
5. Khi học về phơng trình bậc hai và định lý viét có nhiều dạng toán phải vận
dụng các kiến thức có liên quan, học sinh rất lúng túng, không biết nên bắt đầu
từ đâu, làm thế nào để xuất hiện các hệ thức có chứa các dữ kiện cần tìm. Thậm
chí có học sinh đọc đề bài song không hiểu trong đó nói gì, yêu cầu gì.
6. Thực trạng học sinh nh vậy đã đề cấp đến việc phân loại, hớng dẫn học sinh
giải các bài tập liên quan tới phơng trình bậc hai và định lý viét ở chơng trình đại
số lớp 9 là điều cần thiết.
7. Trên cơ sở đã nắm đợc các dạng bài và cách giải học sinh vận dụng để giải các
bài tập tơng tự, nâng cao kiến thức và phát triển t duy cho học sinh.
Chính từ thực tế năng lực, trình độ học sinh khi học phần Phơng trình bậc
hai và định lý viét, từ nhu cầu của học sinh, qua những năm giảng dạy tôi đã tích

lớp 8 có thể đa về dạng tích, với lớp 9 các em đợc học trong chơng trình chính
khoá do vậy với chuyên đề này tôi không hệ thống lại các phơng pháp giải mà
chỉ đề cập đến các sai lầm thờng mắc của các em trong quá trình luyện tập, ôn
tập.
3. Trong quá trình luyện tập khi giải các bài toán mà còn phải sử dụng nhiều đến
kiến thức có liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét, nhiều phơng trình
phải quy về phơng trình bậc hai, với các dạng bài tập này các em thờng rất lúng
túng. Không tìm đợc mối liên quan giữa những "điều đã cho" tới "điều phải đi
tìm" khi bài toán ấy có chứa các tham số.
4. Những bài tập các em coi là "khó" - khó hiểu, khó trình bày lời giải nhất là khi
các em học khá muốn nâng cao năng lực học toán của mình tìm đến với các sách
tham khảo, đề thi tuyển sinh vào các trờng THCS chuyên cũng nh vào các trờng
THCS khác.
II- Quá trình thử nghiệm:
2
1. Để giúp các em học sinh giải các bài toán có liên quan đến phơng trình bậc
hai và định lý viét, tôi đã hớng dẫn và lu ý các em đến với các bài toán có chứa
tham số và phân loại các dạng bài tập. Nhất là các bài toán có thể đa về phơng
trình bậc hai quen thuộc đối với học sinh.
2. Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất
hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm.
3. Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hớng dẫn và phân loại cho các em
một số dạng bài tập có liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét nh sau:
** Dạng 1: Phép giải và biện luận phơng trình bậc hai.
Hớng dẫn học sinh cần chú ý.
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Nếu hệ số a của x2 chứa tham số, khi đó phải xét từng trờng hợp a = 0
Ví dụ: Cho phơng trình:

(1) (x + 2) (x
2
- 2x + 4 - m)
3
Nh vậy số nghiệm của phơng trình sẽ phụ thuộc vào số nghiệm của:
F(x) = x
2
- 2x + 4 - m
Các em phải biện luận ' = m - 3
Nếu m < 3 phơng trình (1) có một nghiệm x = -2
Nếu m = 3 và




=+
0)2(
02
f
x
thì (1) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 1; m = 3
Nếu m > 3 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt khác - 2 khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt.
** Dạng 2: Biểu thức đối xứng của hai nghiệm.
- Nhắc lại biểu thức F (x
1
; x
2
) gọi là đối xứng.
- Nếu F (x
2

2
+ 4m + 3
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của f(x). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

- Học sinh thờng mắc sai lầm không cần xem xét f(x) có nghiệm hay
không mà áp dụng luôn hệ thức:
S = x
1
+ x
2
= - (m + 1) và P =
2
34
2
++ mm
- Cần lu ý các em f(x) có nghiệm
0 (m + 1) (-m-5) 0 - 5 m -1
Khi đó áp dụng hệ thức.

Xảy ra dấu bằng khi m = -4. Vậy mà A =
2
9
khi m = -4
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình:
4
3x
2
+ 4 (m-1)x + m
2
- 4m + 1 = 0
Có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn.
)(
2
111
21
2
1
xx
x
x
+=+
Với bài toán này học sinh cũng bỏ qua không xét xem với điều kiện nào của m
thì phơng trình đã cho có nghiệm mà áp dụng luôn hệ thức.
S = x
1

21
2
1
xx
x
x
+=+
2(x
1
+x
2
) = (x
1
+x
2
)x
1
x
2
hai vế của đẳng thức
x
1
+ x
2
liền rút gọn đi
Điều đó không thể đợc vì có thể có giá trị của m làm cho x
1
+ x
2
= 0

.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
x
2
không phụ thuộc tham số.
- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
5
- > 0 28m + 9 > 0 m >
28
9

- Biểu thị S = x
1
+ x
2
= 2 +
m
3
và P = x
1
x
2
=
m
m 4
- Khử tham số đợc: 4(x
1
+x
2

2
= -b/a và x
1
x
2
= c/a kết hợp F(x
1
, x
2
) = 0 khử x
1
, x
2
Tìm giá trị của tham số.
Ví dụ 1: Tìm m sao cho
x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
với
1
= 2x
2
Phơng trình có nghiệm 0 4m - 3 0 m 3/4
Biểu thị


2
ac = kb
2
(với k -1)
Là điều kiện cần và đủ để phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm đồng
thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia.
Hớng dẫn học sinh xác định điều kiện cần, điều kiện đủ của bài toán.
+ Điều kiện cần:
Phơng trình ax
2
+ bx = c = 0 (a 0)
Giả sử có nghiệm x
1
, x
2
và x
1
= kx
2
Thì ta có hệ thức: (k + 1)
2
ac = kb
2
(với k -1)
Biểu thị S = x
1
+ x
2

+Điều kiện đủ: Ta có hệ thức (k + 1)
2
ac = kb
2
6
Phải chứng minh phơng thức ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x
1
= kx
2
Rút ac từ hệ thức đã có (liên quan đến ).
Vì k - 1 khi đó ac =
2
2
)1( +b
kb
Do đó phơng trình có hai nghiệm.
=
0
)1(
)1(
2
22

+

k
kb
x1 =

2
= 1




+<<





>

0
5252
0
0'
m
m
a
Biểu thị









** Dạng 5. Xét dấu các nghiệm số.
Phơng trình bậc hai ã2 + bx + c = 0 (a 0)
Nếu P =
0
a
c
thì phơng trình có nghiệm
Nếu P > 0 xét điều kiện 0
Nếu P > 0 thì xét dấu của S =
a
b

cho biết kết quả so sánh giá trị tuyệt đối các
nghiệm.
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình
x
2
- 2mx + (m + 1) x - m + 1 = 0 (1) có nghiệm duy nhất
Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
7
X = x - m với 0 X ta đợc phơng trình
X
2
+ (m = 1) X - m
2
+ 1 = 0(2)
Tìm điều kiện để (2) có nghiệm 0
m -1 hoặc m
5
3


=
1
1
01
01
0
0
2
m
m
m
m
S
P
Vậy m = 1
** Dạng 6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng bậc hai
Cho đờng bậc hai y = f(x) và đờng thẳng y = ax + b. Hoành độ điểm chung của
hai đờng là nghiệm của phơng trình f(x) = ax + b (*)
- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì hai đờng cắt nhau tại hai điểm.
- Nếu (*) có một nghiệm kép thì hai đờng thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có
hoành độ là nghiệm kép. Khi đó đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thì
hàm số y = f(x).
- Nếu (*) vô nghiệm thì hai đờng thẳng không có điểm chung.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x luôn cắt parabol
y = x
2
- 2 (m + 2)x + m
2
+ 3m = -x có hai nghiệm phân biệt và khoảng cách giữa

1
2
2


x
xx
a) Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thì tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm k sao cho OA OB.
Phơng trình x2 - 2x = (x - 1) (-x + k) có hai nghiệm phân biệt
> 0 (k - 1)
2
+ 8 > 0k
OA OB tích các hệ số bằng - 1
Hệ số của OA, OB là tỷ số giữa tung độ và hoành độ tơng ứng.
a
1
=
A
A
B
A
x
kx
y
y +
=
a =
AB
A

=+
2
2
3
k
xx
k
xx
BA
BA
Từ (*) k
2
- k = 0 k = 0 hoặck = 1
Loại k = 0 vì khi đó a
1
a
2
= 1
** Dạng 7: Thiết lập phơng trình bậc hai.
Nếu có hai số x
1
, x
2
mà x
1
+ x
2
= S và x
1
x






=
=+




=
=+
qxx
q
p
xx
qxx
pxx
111
11
21
21
21
21
Phơng trình cần lập: x
2
+
010
1

=+
26)(3)(
2
3
yxxyyx
yx
Đặt S = x + y = 2, P = xy đợc



=
=
263
2
3
SPS
S
Tìm S = 2 và P = -3
Nghiệm của hệ (-1; 3) và (3; -1)
Chú ý: Nếu hệ đối xứng nêu trên có nghiệm (a; b) nó cũng có nghiệm (b; a).
Ví dụ 2: Giải hệ





=+
=+
35
30

Giải tìm đợc S = 5 và P = 6.
Chú ý U và V là nghiệm không âm của phơng trình
t
2
- 5t + 6 = 0 t = 2 và t = 3
đa về





=
=
3
2
y
x
hoặc





=
=
2
3
y
x
Nghiệm của hệ (4; 9) và (9 ; 4).

2
= x + 1 và v
2
= y - 1 đợc hệ



=
=




+=+
=+
vuP
mS
mmvu
mvu
.
64
222
10




+=
=
642


+









2
2
3
6
0
032
0128
0
0
0
2
m
m
m
m
mm
S
P
Ví dụ 4: Biết rằng các số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Hãy tìm giá trị nhỏ





=
=




=
=
6
8
2
3
2
3
F
P
S
FPSS
S
x, y là nghiệm của t
2
- 2t +
(*)0
6
8
=

2
2
có nghiệm
Nếu hệ có chứa tham số cả hai ẩn
đặt y = x
2
đợc



=++
=++
0 c' x b' y a'
0 c bx ay
Hai phơng trình có nghiệm chung hệ hai ẩn
x, y có hệ thoả mãn y = x
2
Ví dụ 1: Tìm m để hai phơng trình
x
2
+ mx + 1 = 0 và x
2
+ x + m = 0 có nghiệm chung.
11
Đặt y = x
2
0 hệ có nghiệm chung




2
= 0
có nghiệm chung thì (q
1
- q
2
) + (p
1
- p
2
) (q
2
p
1
- q
1
p
2
) = 0
Cách làm tơng tự ví dụ 1:
Trờng hợp D = 0 p
1
= p
2
hệ có nghiệm khi q
1
= q
2
II- Hai phơng trình tơng đơng:
Hai phơng trình vô nghiệm là tơng đơng.

23
0
0
2
1
m
m
m
Điều này không xảy ra.
(1) và (2) có nghiệm x1, x2 thì
2
132
4
21
2
21
=



==
+==+
m
mxx
mmmxx
Ví dụ 2: Tìm m và n để hai phơng trình.
x
2
- (m + n)x - 3 = 0 (1) và x
2

21
n
m
nxx
nmxx
12
Phần III: Cơ sở lý luận
Đối chứng với những vài giải lần đầu với các bài giải lần sau khi đó có h-
ớng dẫn phân loại, kết quả có tăng. Số học sinh có phơng pháp giải hớng đi đúng
đạt tỷ lệ cao hơn. Kết quả thực hiện đối với học sinh đại trà và đối với một số
học sinh xếp loại khá trở lên.
TS
Lần 1 Lần 2 Lần 3
Ghi chú
Không
làm đợc
Làm
đợc
Không
làm đợc
Làm
đợc
Không
làm đợc
Làm
đợc
30 20 10 17 13 15 15 HS Đại trà
30 10 20 8 22 5 25 HS Khá
Phần Iv: đánh giá kết luận
Học sinh THCS - Lớp 9 với các em có năng lực có ý thức học tập. Kỹ năng tính